Theorem liminf10ex 46784

Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
liminf10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
liminf10ex	⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

Proof of Theorem liminf10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1836	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 12341	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		liminf10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 11356	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1xr 11368	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
9	6, 8	ifcld 4528	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
10	4, 9	fmpti 7112	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
13	1, 3, 11, 12	liminfval5 46775	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14	13	mptru 1576	. 2 ⊢ (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
16	4, 15	limsup10exlem 46782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
17	16	infeq1d 9470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
18		xrltso 13270	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		infpr 9497	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
20	18, 5, 7, 19	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
21		0lt1 11838	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
22	21	iftruei 4488	. . . . . . . 8 ⊢ if(0 < 1, 0, 1) = 0
23	20, 22	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
24	17, 23	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
25	24	mpteq2ia 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
26	25	rneqi 5918	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
28		ren0 46412	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
30	27, 29	rnmptc 7213	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
31	30	mptru 1576	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
32	26, 31	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
33	32	supeq1i 9439	. 2 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
34		supsn 9465	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
35	18, 5, 34	mp2an 705	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
36	14, 33, 35	3eqtri 2787	1 ⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Or wor 5557  ran crn 5651   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9432  infcinf 9433  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  ℕcn 12335  2c2 12397  [,)cico 13478   ∥ cdvds 16422  lim infclsi 46761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fl 13932  df-ceil 13933  df-dvds 16423  df-liminf 46762

This theorem is used by:  liminfltlimsupex  46791