Theorem liminf10ex 46548

Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
liminf10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
liminf10ex	⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

Proof of Theorem liminf10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1837	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 12256	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		liminf10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 11273	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1xr 11285	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
9	6, 8	ifcld 4536	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
10	4, 9	fmpti 7111	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
13	1, 3, 11, 12	liminfval5 46539	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14	13	mptru 1577	. 2 ⊢ (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
16	4, 15	limsup10exlem 46546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
17	16	infeq1d 9445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
18		xrltso 13184	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		infpr 9472	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
20	18, 5, 7, 19	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
21		0lt1 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
22	21	iftruei 4496	. . . . . . . 8 ⊢ if(0 < 1, 0, 1) = 0
23	20, 22	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
24	17, 23	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
25	24	mpteq2ia 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
26	25	rneqi 5929	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
27		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
28		ren0 46176	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
30	27, 29	rnmptc 7212	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
31	30	mptru 1577	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
32	26, 31	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
33	32	supeq1i 9414	. 2 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
34		supsn 9440	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
35	18, 5, 34	mp2an 705	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
36	14, 33, 35	3eqtri 2792	1 ⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4286  ifcif 4489  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   Or wor 5570  ran crn 5664   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  supcsup 9407  infcinf 9408  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118  +∞cpnf 11257  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260  ℕcn 12250  2c2 12312  [,)cico 13392   ∥ cdvds 16334  lim infclsi 46525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fl 13845  df-ceil 13846  df-dvds 16335  df-liminf 46526

This theorem is used by:  liminfltlimsupex  46555