Theorem liminf10ex 41610

Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
liminf10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
liminf10ex	⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

Proof of Theorem liminf10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1787	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 11494	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		liminf10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 10537	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1xr 10549	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
9	6, 8	ifcld 4428	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
10	4, 9	fmpti 6742	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12		eqid 2794	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
13	1, 3, 11, 12	liminfval5 41601	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14	13	mptru 1529	. 2 ⊢ (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
16	4, 15	limsup10exlem 41608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
17	16	infeq1d 8790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
18		xrltso 12384	. . . . . . . . . 10 ⊢ < Or ℝ*
19		infpr 8816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
20	18, 5, 7, 19	mp3an 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
21		0lt1 11012	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
22	21	iftruei 4390	. . . . . . . . 9 ⊢ if(0 < 1, 0, 1) = 0
23	20, 22	eqtri 2818	. . . . . . . 8 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0)
25	17, 24	eqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
26	25	mpteq2ia 5054	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
27	26	rneqi 5692	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
28		eqid 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
29		0re 10492	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
31		ren0 41229	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
33	28, 30, 32	rnmptc 6839	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
34	33	mptru 1529	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
35	27, 34	eqtri 2818	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
36	35	supeq1i 8760	. 2 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
37		supsn 8785	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
38	18, 5, 37	mp2an 688	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
39	14, 36, 38	3eqtri 2822	1 ⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1522  ⊤wtru 1523   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983  Vcvv 3436  ∅c0 4213  ifcif 4383  {csn 4474  {cpr 4476   class class class wbr 4964   ↦ cmpt 5043   Or wor 5364  ran crn 5447   “ cima 5449  ⟶wf 6224  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  supcsup 8753  infcinf 8754  ℝcr 10385  0cc0 10386  1c1 10387  +∞cpnf 10521  ℝ^*cxr 10523   < clt 10524  ℕcn 11488  2c2 11542  [,)cico 12590   ∥ cdvds 15440  lim infclsi 41587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-sup 8755  df-inf 8756  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-fl 13012  df-ceil 13013  df-dvds 15441  df-liminf 41588

This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  41617