Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminf10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminf10ex 43947
Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminf10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
liminf10ex (lim inf‘𝐹) = 0

Proof of Theorem liminf10ex
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1806 . . . 4 𝑘
2 nnex 12155 . . . . 5 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ ∈ V)
4 liminf10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 11198 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7 1xr 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
96, 8ifcld 4530 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
104, 9fmpti 7056 . . . . 5 𝐹:ℕ⟶ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12 eqid 2736 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
131, 3, 11, 12liminfval5 43938 . . 3 (⊤ → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1413mptru 1548 . 2 (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
164, 15limsup10exlem 43945 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
1716infeq1d 9409 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
18 xrltso 13052 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 infpr 9435 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
2018, 5, 7, 19mp3an 1461 . . . . . . . 8 inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
21 0lt1 11673 . . . . . . . . 9 0 < 1
2221iftruei 4491 . . . . . . . 8 if(0 < 1, 0, 1) = 0
2320, 22eqtri 2764 . . . . . . 7 inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
2417, 23eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
2524mpteq2ia 5206 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
2625rneqi 5890 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
27 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
28 ren0 43573 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
2928a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
3027, 29rnmptc 7152 . . . . 5 (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
3130mptru 1548 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
3226, 31eqtri 2764 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
3332supeq1i 9379 . 2 sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
34 supsn 9404 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3518, 5, 34mp2an 690 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
3614, 33, 353eqtri 2768 1 (lim inf‘𝐹) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  c0 4280  ifcif 4484  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  cmpt 5186   Or wor 5542  ran crn 5632  cima 5634  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  supcsup 9372  infcinf 9373  cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048  +∞cpnf 11182  *cxr 11184   < clt 11185  cn 12149  2c2 12204  [,)cico 13258  cdvds 16128  lim infclsi 43924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-ico 13262  df-fl 13689  df-ceil 13690  df-dvds 16129  df-liminf 43925
This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  43954
  Copyright terms: Public domain W3C validator