Theorem liminf10ex 43315

Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
liminf10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
liminf10ex	⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

Proof of Theorem liminf10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1807	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 11979	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		liminf10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 11022	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1xr 11034	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
9	6, 8	ifcld 4505	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
10	4, 9	fmpti 6986	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
13	1, 3, 11, 12	liminfval5 43306	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14	13	mptru 1546	. 2 ⊢ (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
16	4, 15	limsup10exlem 43313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
17	16	infeq1d 9236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
18		xrltso 12875	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		infpr 9262	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
20	18, 5, 7, 19	mp3an 1460	. . . . . . . 8 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
21		0lt1 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
22	21	iftruei 4466	. . . . . . . 8 ⊢ if(0 < 1, 0, 1) = 0
23	20, 22	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
24	17, 23	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
25	24	mpteq2ia 5177	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
26	25	rneqi 5846	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
27		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
28		ren0 42942	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
30	27, 29	rnmptc 7082	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
31	30	mptru 1546	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
32	26, 31	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
33	32	supeq1i 9206	. 2 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
34		supsn 9231	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
35	18, 5, 34	mp2an 689	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
36	14, 33, 35	3eqtri 2770	1 ⊢ (lim inf‘𝐹) = 0

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   Or wor 5502  ran crn 5590   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  infcinf 9200  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  ℕcn 11973  2c2 12028  [,)cico 13081   ∥ cdvds 15963  lim infclsi 43292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fl 13512  df-ceil 13513  df-dvds 15964  df-liminf 43293

This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  43322