Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminf10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminf10ex 42409
 Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminf10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
liminf10ex (lim inf‘𝐹) = 0

Proof of Theorem liminf10ex
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1806 . . . 4 𝑘
2 nnex 11635 . . . . 5 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ ∈ V)
4 liminf10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 10681 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7 1xr 10693 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
96, 8ifcld 4473 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
104, 9fmpti 6857 . . . . 5 𝐹:ℕ⟶ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12 eqid 2801 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
131, 3, 11, 12liminfval5 42400 . . 3 (⊤ → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1413mptru 1545 . 2 (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
164, 15limsup10exlem 42407 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
1716infeq1d 8929 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
18 xrltso 12526 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 infpr 8955 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
2018, 5, 7, 19mp3an 1458 . . . . . . . 8 inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
21 0lt1 11155 . . . . . . . . 9 0 < 1
2221iftruei 4435 . . . . . . . 8 if(0 < 1, 0, 1) = 0
2320, 22eqtri 2824 . . . . . . 7 inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
2417, 23eqtrdi 2852 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
2524mpteq2ia 5124 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
2625rneqi 5775 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
27 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0)
28 ren0 42032 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
2928a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
3027, 29rnmptc 6950 . . . . 5 (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
3130mptru 1545 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
3226, 31eqtri 2824 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
3332supeq1i 8899 . 2 sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
34 supsn 8924 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3518, 5, 34mp2an 691 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
3614, 33, 353eqtri 2828 1 (lim inf‘𝐹) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  Vcvv 3444  ∅c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528  {cpr 4530   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   Or wor 5441  ran crn 5524   “ cima 5526  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  supcsup 8892  infcinf 8893  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667   < clt 10668  ℕcn 11629  2c2 11684  [,)cico 12732   ∥ cdvds 15603  lim infclsi 42386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fl 13161  df-ceil 13162  df-dvds 15604  df-liminf 42387 This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  42416
 Copyright terms: Public domain W3C validator