Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminf10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminf10ex 45067
Description: The inferior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminf10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
liminf10ex (lim infβ€˜πΉ) = 0

Proof of Theorem liminf10ex
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1798 . . . 4 β„²π‘˜βŠ€
2 nnex 12222 . . . . 5 β„• ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ β„• ∈ V)
4 liminf10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 11265 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ*)
7 1xr 11277 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ*)
96, 8ifcld 4569 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
104, 9fmpti 7107 . . . . 5 𝐹:β„•βŸΆβ„*
1110a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„*)
12 eqid 2726 . . . 4 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ))
131, 3, 11, 12liminfval5 45058 . . 3 (⊀ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1413mptru 1540 . 2 (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
164, 15limsup10exlem 45065 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) = {0, 1})
1716infeq1d 9474 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf({0, 1}, ℝ*, < ))
18 xrltso 13126 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 infpr 9500 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1))
2018, 5, 7, 19mp3an 1457 . . . . . . . 8 inf({0, 1}, ℝ*, < ) = if(0 < 1, 0, 1)
21 0lt1 11740 . . . . . . . . 9 0 < 1
2221iftruei 4530 . . . . . . . 8 if(0 < 1, 0, 1) = 0
2320, 22eqtri 2754 . . . . . . 7 inf({0, 1}, ℝ*, < ) = 0
2417, 23eqtrdi 2782 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) = 0)
2524mpteq2ia 5244 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 0)
2625rneqi 5930 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 0)
27 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 0) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 0)
28 ren0 44689 . . . . . . 7 ℝ β‰  βˆ…
2928a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
3027, 29rnmptc 7204 . . . . 5 (⊀ β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 0) = {0})
3130mptru 1540 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 0) = {0}
3226, 31eqtri 2754 . . 3 ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = {0}
3332supeq1i 9444 . 2 sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
34 supsn 9469 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3518, 5, 34mp2an 689 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
3614, 33, 353eqtri 2758 1 (lim infβ€˜πΉ) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Or wor 5580  ran crn 5670   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252  β„•cn 12216  2c2 12271  [,)cico 13332   βˆ₯ cdvds 16204  lim infclsi 45044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fl 13763  df-ceil 13764  df-dvds 16205  df-liminf 45045
This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  45074
  Copyright terms: Public domain W3C validator