Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuppnfdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuppnfdlem 42185
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnfdlem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfdlem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfdlem.u (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
limsuppnfdlem.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuppnfdlem (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsuppnfdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuppnfdlem.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2 reex 10613 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsuppnfdlem.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 5209 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 6971 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
7 limsuppnfdlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
87limsupval 14820 . . 3 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
96, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
101ffund 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Fun 𝐹)
1110adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐴) → Fun 𝐹)
12 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
131fdmd 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
1413adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
1611, 15jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → (Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
1716ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
18 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
1918rexrd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
20 pnfxr 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
224ssrexr 41911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2322sselda 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
2423ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
25 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
264sselda 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
2726ltpnfd 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 < +∞)
2827ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 < +∞)
2919, 21, 24, 25, 28elicod 12773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
30 funfvima 6974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹) → (𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
3117, 29, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
321ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
3332ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
3431, 33elind 4154 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3534adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3635adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
37 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
38 breq2 5051 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑗) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
3938rspcev 3608 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
4036, 37, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
41 limsuppnfdlem.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4241r19.21bi 3202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4342r19.21bi 3202 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4443an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4540, 44r19.29a 3281 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
4645ralrimiva 3176 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦)
47 inss2 4189 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48 supxrunb3 41878 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
4947, 48mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
5046, 49mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
5150mpteq2dva 5142 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
527, 51syl5eq 2871 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
5352rneqd 5789 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
54 eqid 2824 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞)
55 ren0 41881 . . . . . 6 ℝ ≠ ∅
5655a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
5754, 56rnmptc 6950 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
5853, 57eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → ran 𝐺 = {+∞})
5958infeq1d 8925 . 2 (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
60 xrltso 12520 . . . 4 < Or ℝ*
61 infsn 8953 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
6260, 20, 61mp2an 691 . . 3 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
6362a1i 11 . 2 (𝜑 → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
649, 59, 633eqtrd 2863 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wral 3132  wrex 3133  Vcvv 3479  cin 3917  wss 3918  c0 4274  {csn 4548   class class class wbr 5047  cmpt 5127   Or wor 5454  dom cdm 5536  ran crn 5537  cima 5539  Fun wfun 6330  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  supcsup 8888  infcinf 8889  cr 10521  +∞cpnf 10657  *cxr 10659   < clt 10660  cle 10661  [,)cico 12726  lim supclsp 14816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-ico 12730  df-limsup 14817
This theorem is referenced by:  limsuppnfd  42186
  Copyright terms: Public domain W3C validator