Theorem limsuppnfdlem 45672

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfdlem.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
limsuppnfdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfdlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsuppnfdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfdlem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		reex 11135	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
4		limsuppnfdlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	3, 4	ssexd 5274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6	1, 5	fexd 7183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		limsuppnfdlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8	7	limsupval 15416	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
10	1	ffund 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
13	1	fdmd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
15	12, 14	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
16	11, 15	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
17	16	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
18		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
20		pnfxr 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
22	4	ssrexr 45401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
23	22	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
24	23	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
26	4	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
27	26	ltpnfd 13057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 < +∞)
28	27	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 < +∞)
29	19, 21, 24, 25, 28	elicod 13332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
30		funfvima 7186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹) → (𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
31	17, 29, 30	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32	1	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
33	32	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
34	31, 33	elind 4159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
35	34	adantllr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
37		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38		breq2 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
39	38	rspcev 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
40	36, 37, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
41		limsuppnfdlem.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
42	41	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
43	42	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
44	43	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
45	40, 44	r19.29a 3141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
46	45	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
47		inss2 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48		supxrunb3 45368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
49	47, 48	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
50	46, 49	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
51	50	mpteq2dva 5195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
52	7, 51	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
53	52	rneqd 5891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
54		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞)
55		ren0 45371	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
57	54, 56	rnmptc 7163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
58	53, 57	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = {+∞})
59	58	infeq1d 9405	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
60		xrltso 13077	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
61		infsn 9434	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
62	60, 20, 61	mp2an 692	. . 3 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
63	62	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
64	9, 59, 63	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   Or wor 5538  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  supcsup 9367  infcinf 9368  ℝcr 11043  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  [,)cico 13284  lim supclsp 15412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-ico 13288  df-limsup 15413

This theorem is referenced by:  limsuppnfd  45673