Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuppnfdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuppnfdlem 44417
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnfdlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsuppnfdlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
limsuppnfdlem.u (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
limsuppnfdlem.g 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuppnfdlem (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsuppnfdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuppnfdlem.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2 reex 11201 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
4 limsuppnfdlem.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
53, 4ssexd 5325 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 7229 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
7 limsuppnfdlem.g . . . 4 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
87limsupval 15418 . . 3 (𝐹 ∈ V β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
96, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
101ffund 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ Fun 𝐹)
12 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
131fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐹)
1611, 15jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
1716ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
18 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1918rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
20 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
224ssrexr 44142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
2322sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
2423ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
264sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
2726ltpnfd 13101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 < +∞)
2827ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 < +∞)
2919, 21, 24, 25, 28elicod 13374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (π‘˜[,)+∞))
30 funfvima 7232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹) β†’ (𝑗 ∈ (π‘˜[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))))
3117, 29, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
321ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3332ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3431, 33elind 4195 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3534adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3635adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
37 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
38 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘—) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3938rspcev 3613 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘—) ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦)
4036, 37, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦)
41 limsuppnfdlem.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4241r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4342r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4443an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4540, 44r19.29a 3163 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦)
4645ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦)
47 inss2 4230 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
48 supxrunb3 44109 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
4947, 48mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
5046, 49mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
5150mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞))
527, 51eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞))
5352rneqd 5938 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 = ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞))
54 eqid 2733 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞)
55 ren0 44112 . . . . . 6 ℝ β‰  βˆ…
5655a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
5754, 56rnmptc 7208 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
5853, 57eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 = {+∞})
5958infeq1d 9472 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
60 xrltso 13120 . . . 4 < Or ℝ*
61 infsn 9500 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
6260, 20, 61mp2an 691 . . 3 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
6362a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
649, 59, 633eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  infcinf 9436  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-ico 13330  df-limsup 15415
This theorem is referenced by:  limsuppnfd  44418
  Copyright terms: Public domain W3C validator