Theorem limsuppnfdlem 42343

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfdlem.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
limsuppnfdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfdlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsuppnfdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfdlem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		reex 10617	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
4		limsuppnfdlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	3, 4	ssexd 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6	1, 5	fexd 6967	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		limsuppnfdlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8	7	limsupval 14823	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
10	1	ffund 6491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
12		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
13	1	fdmd 6497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
14	13	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
15	12, 14	eleqtrrd 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
16	11, 15	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
17	16	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
18		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
20		pnfxr 10684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
22	4	ssrexr 42069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
23	22	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
24	23	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
25		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
26	4	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
27	26	ltpnfd 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 < +∞)
28	27	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 < +∞)
29	19, 21, 24, 25, 28	elicod 12775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
30		funfvima 6970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹) → (𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
31	17, 29, 30	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32	1	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
33	32	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
34	31, 33	elind 4121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
35	34	adantllr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
37		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38		breq2 5034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
39	38	rspcev 3571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
40	36, 37, 39	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
41		limsuppnfdlem.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
42	41	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
43	42	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
44	43	an32s 651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
45	40, 44	r19.29a 3248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
46	45	ralrimiva 3149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
47		inss2 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48		supxrunb3 42036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
49	47, 48	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
50	46, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
51	50	mpteq2dva 5125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
52	7, 51	syl5eq 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
53	52	rneqd 5772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
54		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞)
55		ren0 42039	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
57	54, 56	rnmptc 6946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
58	53, 57	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = {+∞})
59	58	infeq1d 8925	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
60		xrltso 12522	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
61		infsn 8953	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
62	60, 20, 61	mp2an 691	. . 3 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
63	62	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
64	9, 59, 63	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   Or wor 5437  dom cdm 5519  ran crn 5520   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  supcsup 8888  infcinf 8889  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,)cico 12728  lim supclsp 14819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-ico 12732  df-limsup 14820

This theorem is referenced by:  limsuppnfd  42344