Theorem limsuppnfdlem 45622

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfdlem.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
limsuppnfdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfdlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsuppnfdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfdlem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		reex 11275	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
4		limsuppnfdlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	3, 4	ssexd 5342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6	1, 5	fexd 7264	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		limsuppnfdlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8	7	limsupval 15520	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
10	1	ffund 6751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
13	1	fdmd 6757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
15	12, 14	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
16	11, 15	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
17	16	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
18		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
20		pnfxr 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
22	4	ssrexr 45347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
23	22	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
24	23	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
26	4	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
27	26	ltpnfd 13184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 < +∞)
28	27	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 < +∞)
29	19, 21, 24, 25, 28	elicod 13457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
30		funfvima 7267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹) → (𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
31	17, 29, 30	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32	1	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
33	32	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
34	31, 33	elind 4223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
35	34	adantllr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
37		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38		breq2 5170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
39	38	rspcev 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
40	36, 37, 39	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
41		limsuppnfdlem.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
42	41	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
43	42	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
44	43	an32s 651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
45	40, 44	r19.29a 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
46	45	ralrimiva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
47		inss2 4259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48		supxrunb3 45314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
49	47, 48	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
50	46, 49	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
51	50	mpteq2dva 5266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
52	7, 51	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
53	52	rneqd 5963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
54		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞)
55		ren0 45317	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
57	54, 56	rnmptc 7244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
58	53, 57	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = {+∞})
59	58	infeq1d 9546	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
60		xrltso 13203	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
61		infsn 9574	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
62	60, 20, 61	mp2an 691	. . 3 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
63	62	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
64	9, 59, 63	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   Or wor 5606  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  infcinf 9510  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  lim supclsp 15516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-ico 13413  df-limsup 15517

This theorem is referenced by:  limsuppnfd  45623