Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuppnfdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuppnfdlem 44715
Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuppnfdlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsuppnfdlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
limsuppnfdlem.u (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
limsuppnfdlem.g 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuppnfdlem (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsuppnfdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuppnfdlem.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2 reex 11203 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
4 limsuppnfdlem.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
53, 4ssexd 5323 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
61, 5fexd 7230 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
7 limsuppnfdlem.g . . . 4 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
87limsupval 15422 . . 3 (𝐹 ∈ V β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
96, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
101ffund 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
1110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ Fun 𝐹)
12 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
131fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐹)
1611, 15jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
1716ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
18 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1918rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
20 pnfxr 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
224ssrexr 44440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
2322sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
2423ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
25 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
264sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
2726ltpnfd 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 < +∞)
2827ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 < +∞)
2919, 21, 24, 25, 28elicod 13378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (π‘˜[,)+∞))
30 funfvima 7233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹) β†’ (𝑗 ∈ (π‘˜[,)+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))))
3117, 29, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
321ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3332ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3431, 33elind 4193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3534adantllr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3635adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
37 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
38 breq2 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘—) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3938rspcev 3611 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘—) ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦)
4036, 37, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦)
41 limsuppnfdlem.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4241r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4342r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4443an32s 648 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4540, 44r19.29a 3160 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦)
4645ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦)
47 inss2 4228 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
48 supxrunb3 44407 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
4947, 48mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*)π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
5046, 49mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
5150mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞))
527, 51eqtrid 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞))
5352rneqd 5936 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 = ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞))
54 eqid 2730 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞)
55 ren0 44410 . . . . . 6 ℝ β‰  βˆ…
5655a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
5754, 56rnmptc 7209 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
5853, 57eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 = {+∞})
5958infeq1d 9474 . 2 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
60 xrltso 13124 . . . 4 < Or ℝ*
61 infsn 9502 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
6260, 20, 61mp2an 688 . . 3 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
6362a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
649, 59, 633eqtrd 2774 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  [,)cico 13330  lim supclsp 15418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-ico 13334  df-limsup 15419
This theorem is referenced by:  limsuppnfd  44716
  Copyright terms: Public domain W3C validator