Theorem limsuppnfdlem 46818

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfdlem.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
limsuppnfdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfdlem	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem limsuppnfdlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfdlem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2		reex 11296	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
4		limsuppnfdlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5	3, 4	ssexd 5285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6	1, 5	fexd 7235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		limsuppnfdlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8	7	limsupval 15648	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
10	1	ffund 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
13	1	fdmd 6723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
15	12, 14	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
16	11, 15	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
17	16	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
18		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
20		pnfxr 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
22	4	ssrexr 46549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
23	22	sselda 3909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
24	23	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
25		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
26	4	sselda 3909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
27	26	ltpnfd 13255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 < +∞)
28	27	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 < +∞)
29	19, 21, 24, 25, 28	elicod 13531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
30		funfvima 7238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐹) → (𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
31	17, 29, 30	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32	1	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
33	32	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
34	31, 33	elind 4096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
35	34	adantllr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
37		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
38		breq2 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑗) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
39	38	rspcev 3576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
40	36, 37, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
41		limsuppnfdlem.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
42	41	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
43	42	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
44	43	an32s 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
45	40, 44	r19.29a 3170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
46	45	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦)
47		inss2 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48		supxrunb3 46517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
49	47, 48	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞))
50	46, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = +∞)
51	50	mpteq2dva 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
52	7, 51	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
53	52	rneqd 5920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞))
54		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞)
55		ren0 46519	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
57	54, 56	rnmptc 7215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ +∞) = {+∞})
58	53, 57	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = {+∞})
59	58	infeq1d 9475	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
60		xrltso 13275	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
61		infsn 9504	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
62	60, 20, 61	mp2an 705	. . 3 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
63	62	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
64	9, 59, 63	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Or wor 5557  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  Fun wfun 6535  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  supcsup 9437  infcinf 9438  ℝcr 11204  +∞cpnf 11345  ℝ^*cxr 11347   < clt 11348   ≤ cle 11349  [,)cico 13483  lim supclsp 15644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-ico 13487  df-limsup 15645

This theorem is used by:  limsuppnfd  46819