Theorem sltssepcd 28163

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of sltssepc 28162. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
sltssepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sltssepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem sltssepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		sltssepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		sltssepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		sltssepc 28162	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   <s clts 28003   <<s cslts 28148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-slts 28149

This theorem is used by:  sltstr  28178  eqcuts3  28195  cofslts  28309  coinitslts  28310  cofcutrtime  28318  addsproplem2  28361  addsproplem4  28363  addsproplem5  28364  addsproplem6  28365  addsuniflem  28392  negsproplem2  28420  negsproplem4  28422  negsproplem5  28423  negsproplem6  28424  negsunif  28446  mulsproplem5  28511  mulsproplem6  28512  mulsproplem7  28513  mulsproplem8  28514  mulsproplem12  28518  sltmuls1  28538  sltmuls2  28539  mulsuniflem  28540  precsexlem11  28608  twocut  28814  pw2cut2  28853  bdayfinbndlem1  28858