Theorem sltssepcd 28188

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of sltssepc 28187. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
sltssepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sltssepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem sltssepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		sltssepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		sltssepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		sltssepc 28187	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   <s clts 28028   <<s cslts 28173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-slts 28174

This theorem is used by:  sltstr  28203  eqcuts3  28220  cofslts  28334  coinitslts  28335  cofcutrtime  28343  addsproplem2  28386  addsproplem4  28388  addsproplem5  28389  addsproplem6  28390  addsuniflem  28417  negsproplem2  28445  negsproplem4  28447  negsproplem5  28448  negsproplem6  28449  negsunif  28471  mulsproplem5  28536  mulsproplem6  28537  mulsproplem7  28538  mulsproplem8  28539  mulsproplem12  28543  sltmuls1  28563  sltmuls2  28564  mulsuniflem  28565  precsexlem11  28633  twocut  28839  pw2cut2  28878  bdayfinbndlem1  28883