Theorem sltssepcd 27764

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of sltssepc 27763. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
sltssepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sltssepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem sltssepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		sltssepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		sltssepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		sltssepc 27763	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   <s clts 27604   <<s cslts 27749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-slts 27750

This theorem is referenced by:  sltstr  27779  eqcuts3  27796  cofslts  27910  coinitslts  27911  cofcutrtime  27919  addsproplem2  27962  addsproplem4  27964  addsproplem5  27965  addsproplem6  27966  addsuniflem  27993  negsproplem2  28021  negsproplem4  28023  negsproplem5  28024  negsproplem6  28025  negsunif  28047  mulsproplem5  28112  mulsproplem6  28113  mulsproplem7  28114  mulsproplem8  28115  mulsproplem12  28119  sltmuls1  28139  sltmuls2  28140  mulsuniflem  28141  precsexlem11  28209  twocut  28415  pw2cut2  28454  bdayfinbndlem1  28459