Theorem sltssepcd 28045

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of sltssepc 28044. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
sltssepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sltssepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem sltssepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		sltssepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		sltssepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		sltssepc 28044	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   <s clts 27885   <<s cslts 28030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-slts 28031

This theorem is used by:  sltstr  28060  eqcuts3  28077  cofslts  28191  coinitslts  28192  cofcutrtime  28200  addsproplem2  28243  addsproplem4  28245  addsproplem5  28246  addsproplem6  28247  addsuniflem  28274  negsproplem2  28302  negsproplem4  28304  negsproplem5  28305  negsproplem6  28306  negsunif  28328  mulsproplem5  28393  mulsproplem6  28394  mulsproplem7  28395  mulsproplem8  28396  mulsproplem12  28400  sltmuls1  28420  sltmuls2  28421  mulsuniflem  28422  precsexlem11  28490  twocut  28696  pw2cut2  28735  bdayfinbndlem1  28740