Theorem sltssepcd 27789

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of sltssepc 27788. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
sltssepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sltssepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem sltssepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		sltssepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		sltssepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		sltssepc 27788	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079   <s clts 27629   <<s cslts 27774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-xp 5631  df-slts 27775

This theorem is referenced by:  sltstr  27804  eqcuts3  27821  cofslts  27935  coinitslts  27936  cofcutrtime  27944  addsproplem2  27987  addsproplem4  27989  addsproplem5  27990  addsproplem6  27991  addsuniflem  28018  negsproplem2  28046  negsproplem4  28048  negsproplem5  28049  negsproplem6  28050  negsunif  28072  mulsproplem5  28137  mulsproplem6  28138  mulsproplem7  28139  mulsproplem8  28140  mulsproplem12  28144  sltmuls1  28164  sltmuls2  28165  mulsuniflem  28166  precsexlem11  28234  twocut  28440  pw2cut2  28479  bdayfinbndlem1  28484