Theorem sltssepcd 27752

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of sltssepc 27751. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
sltssepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sltssepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem sltssepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		sltssepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		sltssepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		sltssepc 27751	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   <s clts 27592   <<s cslts 27737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5628  df-slts 27738

This theorem is referenced by:  sltstr  27767  eqcuts3  27784  cofslts  27898  coinitslts  27899  cofcutrtime  27907  addsproplem2  27950  addsproplem4  27952  addsproplem5  27953  addsproplem6  27954  addsuniflem  27981  negsproplem2  28009  negsproplem4  28011  negsproplem5  28012  negsproplem6  28013  negsunif  28035  mulsproplem5  28100  mulsproplem6  28101  mulsproplem7  28102  mulsproplem8  28103  mulsproplem12  28107  sltmuls1  28127  sltmuls2  28128  mulsuniflem  28129  precsexlem11  28197  twocut  28403  pw2cut2  28442  bdayfinbndlem1  28447