Theorem sltssepcd 27923

Description: Two elements of separated sets obey less-than. Deduction form of sltssepc 27922. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltssepcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
sltssepcd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sltssepcd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sltssepcd	⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Proof of Theorem sltssepcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltssepcd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		sltssepcd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		sltssepcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		sltssepc 27922	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 <s 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 <s 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105   <s clts 27763   <<s cslts 27908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-slts 27909

This theorem is referenced by:  sltstr  27938  eqcuts3  27955  cofslts  28069  coinitslts  28070  cofcutrtime  28078  addsproplem2  28121  addsproplem4  28123  addsproplem5  28124  addsproplem6  28125  addsuniflem  28152  negsproplem2  28180  negsproplem4  28182  negsproplem5  28183  negsproplem6  28184  negsunif  28206  mulsproplem5  28271  mulsproplem6  28272  mulsproplem7  28273  mulsproplem8  28274  mulsproplem12  28278  sltmuls1  28298  sltmuls2  28299  mulsuniflem  28300  precsexlem11  28368  twocut  28574  pw2cut2  28613  bdayfinbndlem1  28618