MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofcutrtime Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofcutrtime 27249
Description: If 𝑋 is the cut of ðī and ðĩ and all of ðī and ðĩ are older than 𝑋, then ( L ‘𝑋) is cofinal with ðī and ( R ‘𝑋) is coinitial with ðĩ. Note: we will call a cut where all of the elements of the cut are older than the cut itself a "timely" cut. Part of Theorem 4.02(12) of [Alling] p. 125. (Contributed by Scott Fenton, 27-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofcutrtime (((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ( L ‘𝑋)ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ ( R ‘𝑋)ð‘Ī â‰Īs 𝑧))
Distinct variable groups:   ð‘Ĩ,ðī   𝑧,ðī   ð‘Ĩ,ðĩ   𝑧,ðĩ   𝑧,ð‘Ī,𝑋   ð‘Ĩ,𝑋,ð‘Ķ   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   ðī(ð‘Ķ,ð‘Ī)   ðĩ(ð‘Ķ,ð‘Ī)

Proof of Theorem cofcutrtime
StepHypRef Expression
1 ssun1 4133 . . . . . . . 8 ðī ⊆ (ðī ∊ ðĩ)
2 sstr 3953 . . . . . . . 8 ((ðī ⊆ (ðī ∊ ðĩ) ∧ (ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋))) → ðī ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
31, 2mpan 689 . . . . . . 7 ((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) → ðī ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
433ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ðī ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
54sselda 3945 . . . . 5 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
6 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ðī <<s ðĩ)
7 scutcut 27143 . . . . . . . . 9 (ðī <<s ðĩ → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
98simp2d 1144 . . . . . . 7 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ðī <<s {(ðī |s ðĩ)})
10 simpr 486 . . . . . . 7 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ð‘Ĩ ∈ ðī)
11 ovex 7391 . . . . . . . . 9 (ðī |s ðĩ) ∈ V
1211snid 4623 . . . . . . . 8 (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)}
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)})
149, 10, 13ssltsepcd 27136 . . . . . 6 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ð‘Ĩ <s (ðī |s ðĩ))
15 simpl3 1194 . . . . . 6 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
1614, 15breqtrrd 5134 . . . . 5 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ð‘Ĩ <s 𝑋)
17 leftval 27196 . . . . . . . 8 ( L ‘𝑋) = {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋}
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ( L ‘𝑋) = {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋})
1918eleq2d 2824 . . . . . 6 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → (ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋) ↔ ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋}))
20 rabid 3428 . . . . . 6 (ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋} ↔ (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ð‘Ĩ <s 𝑋))
2119, 20bitrdi 287 . . . . 5 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → (ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋) ↔ (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ð‘Ĩ <s 𝑋)))
225, 16, 21mpbir2and 712 . . . 4 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋))
23 leftssno 27213 . . . . . 6 ( L ‘𝑋) ⊆ No
2423, 22sselid 3943 . . . . 5 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ð‘Ĩ ∈ No )
25 slerflex 27114 . . . . 5 (ð‘Ĩ ∈ No → ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ĩ)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ĩ)
27 breq2 5110 . . . . 5 (ð‘Ķ = ð‘Ĩ → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ĩ))
2827rspcev 3582 . . . 4 ((ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋) ∧ ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ĩ) → ∃ð‘Ķ ∈ ( L ‘𝑋)ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
2922, 26, 28syl2anc 585 . . 3 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ðī) → ∃ð‘Ķ ∈ ( L ‘𝑋)ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
3029ralrimiva 3144 . 2 (((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ( L ‘𝑋)ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
31 ssun2 4134 . . . . . . . 8 ðĩ ⊆ (ðī ∊ ðĩ)
32 sstr 3953 . . . . . . . 8 ((ðĩ ⊆ (ðī ∊ ðĩ) ∧ (ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋))) → ðĩ ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
3331, 32mpan 689 . . . . . . 7 ((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) → ðĩ ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
34333ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ðĩ ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
3534sselda 3945 . . . . 5 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
36 simpl3 1194 . . . . . 6 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
37 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → ðī <<s ðĩ)
3837, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
3938simp3d 1145 . . . . . . 7 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ)
4012a1i 11 . . . . . . 7 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)})
41 simpr 486 . . . . . . 7 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ ðĩ)
4239, 40, 41ssltsepcd 27136 . . . . . 6 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → (ðī |s ðĩ) <s 𝑧)
4336, 42eqbrtrd 5128 . . . . 5 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑋 <s 𝑧)
44 rightval 27197 . . . . . . . 8 ( R ‘𝑋) = {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧}
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → ( R ‘𝑋) = {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧})
4645eleq2d 2824 . . . . . 6 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → (𝑧 ∈ ( R ‘𝑋) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧}))
47 rabid 3428 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧} ↔ (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝑋 <s 𝑧))
4846, 47bitrdi 287 . . . . 5 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → (𝑧 ∈ ( R ‘𝑋) ↔ (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝑋 <s 𝑧)))
4935, 43, 48mpbir2and 712 . . . 4 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋))
50 rightssno 27214 . . . . . 6 ( R ‘𝑋) ⊆ No
5150, 49sselid 3943 . . . . 5 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
52 slerflex 27114 . . . . 5 (𝑧 ∈ No → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
5351, 52syl 17 . . . 4 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
54 breq1 5109 . . . . 5 (ð‘Ī = 𝑧 → (ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ 𝑧 â‰Īs 𝑧))
5554rspcev 3582 . . . 4 ((𝑧 ∈ ( R ‘𝑋) ∧ 𝑧 â‰Īs 𝑧) → ∃ð‘Ī ∈ ( R ‘𝑋)ð‘Ī â‰Īs 𝑧)
5649, 53, 55syl2anc 585 . . 3 ((((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → ∃ð‘Ī ∈ ( R ‘𝑋)ð‘Ī â‰Īs 𝑧)
5756ralrimiva 3144 . 2 (((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ ( R ‘𝑋)ð‘Ī â‰Īs 𝑧)
5830, 57jca 513 1 (((ðī ∊ ðĩ) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (∀ð‘Ĩ ∈ ðī ∃ð‘Ķ ∈ ( L ‘𝑋)ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ī ∈ ( R ‘𝑋)ð‘Ī â‰Īs 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  âˆ€wral 3065  âˆƒwrex 3074  {crab 3408   ∊ cun 3909   ⊆ wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106  â€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   No csur 26991   <s cslt 26992   bday cbday 26993   â‰Īs csle 27095   <<s csslt 27123   |s cscut 27125   O cold 27176   L cleft 27178   R cright 27179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-1o 8413  df-2o 8414  df-no 26994  df-slt 26995  df-bday 26996  df-sle 27096  df-sslt 27124  df-scut 27126  df-made 27180  df-old 27181  df-left 27183  df-right 27184
This theorem is referenced by:  cofcutrtime1d  27250  cofcutrtime2d  27251
  Copyright terms: Public domain W3C validator