MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsproplem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsproplem12 27823
Description: Lemma for surreal multiplication. Demonstrate the second half of the inductive statement assuming ๐ถ and ๐ท are not the same age and ๐ธ and ๐น are not the same age. (Contributed by Scott Fenton, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsproplem.1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
mulsproplem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
mulsproplem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
mulsproplem.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ No )
mulsproplem.5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ No )
mulsproplem.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
mulsproplem.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ <s ๐น)
mulsproplem12.1 (๐œ‘ โ†’ (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
mulsproplem12.2 (๐œ‘ โ†’ (( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น) โˆจ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
Assertion
Ref Expression
mulsproplem12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ถ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ท,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘’,๐‘“,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)

Proof of Theorem mulsproplem12
Dummy variables ๐‘” โ„Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘ ๐‘ž ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ก ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulsproplem.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
2 unidm 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )))) = ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )))
3 unidm 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) = (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))
4 bday0s 27567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( bday โ€˜ 0s ) = โˆ…
54, 4oveq12i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) = (โˆ… +no โˆ…)
6 0elon 6418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โˆ… โˆˆ On
7 naddrid 8686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (โˆ… +no โˆ…) = โˆ…)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โˆ… +no โˆ…) = โˆ…
95, 8eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) = โˆ…
103, 9eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) = โˆ…
112, 10eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )))) = โˆ…
1211uneq2i 4160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช โˆ…)
13 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))
1412, 13eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))
15 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)))
16 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
1715, 16sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
18 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
1917, 18sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
2014, 19eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . 13 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
2120sseli 3978 . . . . . . . . . . . 12 (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
2221imim1i 63 . . . . . . . . . . 11 ((((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
23226ralimi 3126 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
241, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
25 mulsproplem.3 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ No )
26 mulsproplem.5 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ No )
2724, 25, 26mulsproplem10 27821 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐น) โˆˆ No โˆง ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐น)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ท ยทs ๐น)} โˆง {(๐ท ยทs ๐น)} <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐น)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
2827simp2d 1142 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐น)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ท ยทs ๐น)})
2928adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐น)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ท ยทs ๐น)})
30 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท))
31 bdayelon 27515 . . . . . . . . . . . 12 ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ On
32 mulsproplem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
34 oldbday 27633 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday โ€˜๐ท) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ (๐ถ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ท)) โ†” ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท)))
3531, 33, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (๐ถ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ท)) โ†” ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท)))
3630, 35mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ถ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ท)))
37 mulsproplem.6 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
39 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ <s ๐ท โ†” ๐ถ <s ๐ท))
40 leftval 27596 . . . . . . . . . . 11 ( L โ€˜๐ท) = {๐‘ฅ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ท)) โˆฃ ๐‘ฅ <s ๐ท}
4139, 40elrab2 3686 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ ( L โ€˜๐ท) โ†” (๐ถ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ท)) โˆง ๐ถ <s ๐ท))
4236, 38, 41sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ถ โˆˆ ( L โ€˜๐ท))
43 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))
44 bdayelon 27515 . . . . . . . . . . . 12 ( bday โ€˜๐น) โˆˆ On
45 mulsproplem.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ No )
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ธ โˆˆ No )
47 oldbday 27633 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday โ€˜๐น) โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ No ) โ†’ (๐ธ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐น)) โ†” ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น)))
4844, 46, 47sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (๐ธ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐น)) โ†” ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น)))
4943, 48mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ธ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐น)))
50 mulsproplem.7 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ <s ๐น)
5150adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ธ <s ๐น)
52 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ธ โ†’ (๐‘ฅ <s ๐น โ†” ๐ธ <s ๐น))
53 leftval 27596 . . . . . . . . . . 11 ( L โ€˜๐น) = {๐‘ฅ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐น)) โˆฃ ๐‘ฅ <s ๐น}
5452, 53elrab2 3686 . . . . . . . . . 10 (๐ธ โˆˆ ( L โ€˜๐น) โ†” (๐ธ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐น)) โˆง ๐ธ <s ๐น))
5549, 51, 54sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ธ โˆˆ ( L โ€˜๐น))
56 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ))
57 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘ ยทs ๐น) = (๐ถ ยทs ๐น))
5857oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) = ((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)))
59 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘ž) = (๐ถ ยทs ๐‘ž))
6058, 59oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐ถ ยทs ๐‘ž)))
6160eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐ถ ยทs ๐‘ž))))
62 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ž = ๐ธ โ†’ (๐ท ยทs ๐‘ž) = (๐ท ยทs ๐ธ))
6362oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ž = ๐ธ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) = ((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)))
64 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ž = ๐ธ โ†’ (๐ถ ยทs ๐‘ž) = (๐ถ ยทs ๐ธ))
6563, 64oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ž = ๐ธ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐ถ ยทs ๐‘ž)) = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)))
6665eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ž = ๐ธ โ†’ ((((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐ถ ยทs ๐‘ž)) โ†” (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ))))
6761, 66rspc2ev 3624 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ ( L โ€˜๐ท) โˆง ๐ธ โˆˆ ( L โ€˜๐น) โˆง (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
6856, 67mp3an3 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ ( L โ€˜๐ท) โˆง ๐ธ โˆˆ ( L โ€˜๐น)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
6942, 55, 68syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
70 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ V
71 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โ†’ (๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
72712rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
7370, 72elab 3668 . . . . . . . 8 ((((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
7469, 73sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))})
75 elun1 4176 . . . . . . 7 ((((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐น)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}))
7674, 75syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐น)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}))
77 ovex 7445 . . . . . . . 8 (๐ท ยทs ๐น) โˆˆ V
7877snid 4664 . . . . . . 7 (๐ท ยทs ๐น) โˆˆ {(๐ท ยทs ๐น)}
7978a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (๐ท ยทs ๐น) โˆˆ {(๐ท ยทs ๐น)})
8029, 76, 79ssltsepcd 27533 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s (๐ท ยทs ๐น))
8111uneq2i 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช โˆ…)
82 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น))
8381, 82eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น))
84 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))
85 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
8684, 85sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
8786, 18sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
8883, 87eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
8988sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
9089imim1i 63 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
91906ralimi 3126 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
921, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
9392, 32, 26mulsproplem10 27821 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) โˆˆ No โˆง ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐น)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ถ ยทs ๐น)} โˆง {(๐ถ ยทs ๐น)} <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐น)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
9493simp1d 1141 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทs ๐น) โˆˆ No )
9511uneq2i 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช โˆ…)
96 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))
9795, 96eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))
98 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))
9998, 85sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
10099, 18sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
10197, 100eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
102101sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
103102imim1i 63 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
1041036ralimi 3126 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
1051, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
106105, 25, 45mulsproplem10 27821 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐ธ) โˆˆ No โˆง ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ท ยทs ๐ธ)} โˆง {(๐ท ยทs ๐ธ)} <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
107106simp1d 1141 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยทs ๐ธ) โˆˆ No )
10894, 107addscomd 27690 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) = ((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)))
109108oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)))
11011uneq2i 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช โˆ…)
111 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช โˆ…) = (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ))
112110, 111eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) = (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ))
113 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น)))
114113, 16sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))
115114, 18sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
116112, 115eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โІ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ)))))
117116sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))))
118117imim1i 63 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
1191186ralimi 3126 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
1201, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))) โˆช ((( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s )) โˆช (( bday โ€˜ 0s ) +no ( bday โ€˜ 0s ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
121120, 32, 45mulsproplem10 27821 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐ธ) โˆˆ No โˆง ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ถ ยทs ๐ธ)} โˆง {(๐ถ ยทs ๐ธ)} <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})))
122121simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทs ๐ธ) โˆˆ No )
123107, 94, 122addsubsassd 27788 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = ((๐ท ยทs ๐ธ) +s ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ))))
124109, 123eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = ((๐ท ยทs ๐ธ) +s ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ))))
125124breq1d 5158 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s (๐ท ยทs ๐น) โ†” ((๐ท ยทs ๐ธ) +s ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ))) <s (๐ท ยทs ๐น)))
12694, 122subscld 27775 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) โˆˆ No )
12727simp1d 1141 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยทs ๐น) โˆˆ No )
128107, 126, 127sltaddsub2d 27799 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ))) <s (๐ท ยทs ๐น) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
129125, 128bitrd 279 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s (๐ท ยทs ๐น) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
130129adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ((((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s (๐ท ยทs ๐น) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
13180, 130mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
132131anassrs 467 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท)) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น)) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
133106simp3d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {(๐ท ยทs ๐ธ)} <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
134133adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ {(๐ท ยทs ๐ธ)} <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
135 ovex 7445 . . . . . . . 8 (๐ท ยทs ๐ธ) โˆˆ V
136135snid 4664 . . . . . . 7 (๐ท ยทs ๐ธ) โˆˆ {(๐ท ยทs ๐ธ)}
137136a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (๐ท ยทs ๐ธ) โˆˆ {(๐ท ยทs ๐ธ)})
138 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท))
13932adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
14031, 139, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (๐ถ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ท)) โ†” ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท)))
141138, 140mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ท)))
14237adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
143141, 142, 41sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ ( L โ€˜๐ท))
144 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))
145 bdayelon 27515 . . . . . . . . . . . 12 ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ On
14626adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐น โˆˆ No )
147 oldbday 27633 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ No ) โ†’ (๐น โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ธ)) โ†” ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
148145, 146, 147sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (๐น โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ธ)) โ†” ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
149144, 148mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐น โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ธ)))
15050adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ธ <s ๐น)
151 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐น โ†’ (๐ธ <s ๐‘ฅ โ†” ๐ธ <s ๐น))
152 rightval 27597 . . . . . . . . . . 11 ( R โ€˜๐ธ) = {๐‘ฅ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ธ)) โˆฃ ๐ธ <s ๐‘ฅ}
153151, 152elrab2 3686 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ ( R โ€˜๐ธ) โ†” (๐น โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ธ)) โˆง ๐ธ <s ๐น))
154149, 150, 153sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐น โˆˆ ( R โ€˜๐ธ))
155 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น))
156 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก = ๐ถ โ†’ (๐‘ก ยทs ๐ธ) = (๐ถ ยทs ๐ธ))
157156oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐ถ โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) = ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)))
158 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐ถ โ†’ (๐‘ก ยทs ๐‘ข) = (๐ถ ยทs ๐‘ข))
159157, 158oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ๐ถ โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐ถ ยทs ๐‘ข)))
160159eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ๐ถ โ†’ ((((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐ถ ยทs ๐‘ข))))
161 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = ๐น โ†’ (๐ท ยทs ๐‘ข) = (๐ท ยทs ๐น))
162161oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = ๐น โ†’ ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) = ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)))
163 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = ๐น โ†’ (๐ถ ยทs ๐‘ข) = (๐ถ ยทs ๐น))
164162, 163oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ข = ๐น โ†’ (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐ถ ยทs ๐‘ข)) = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)))
165164eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ข = ๐น โ†’ ((((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐ถ ยทs ๐‘ข)) โ†” (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น))))
166160, 165rspc2ev 3624 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ ( L โ€˜๐ท) โˆง ๐น โˆˆ ( R โ€˜๐ธ) โˆง (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น))) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
167155, 166mp3an3 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ ( L โ€˜๐ท) โˆง ๐น โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
168143, 154, 167syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
169 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โˆˆ V
170 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โ†’ (๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
1711702rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
172169, 171elab 3668 . . . . . . . 8 ((((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โˆˆ {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
173168, 172sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โˆˆ {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))})
174 elun1 4176 . . . . . . 7 ((((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โˆˆ {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โ†’ (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
175173, 174syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ท)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
176134, 137, 175ssltsepcd 27533 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (๐ท ยทs ๐ธ) <s (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)))
177122, 127addscomd 27690 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) = ((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)))
178177oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐น)))
179127, 122, 94addsubsassd 27788 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = ((๐ท ยทs ๐น) +s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น))))
180178, 179eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) = ((๐ท ยทs ๐น) +s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น))))
181180breq2d 5160 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐ธ) <s (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โ†” (๐ท ยทs ๐ธ) <s ((๐ท ยทs ๐น) +s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น)))))
182122, 94subscld 27775 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โˆˆ No )
183107, 127, 182sltsubadd2d 27797 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โ†” (๐ท ยทs ๐ธ) <s ((๐ท ยทs ๐น) +s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น)))))
184181, 183bitr4d 282 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐ธ) <s (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โ†” ((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น))))
185107, 127, 122, 94sltsubsub2bd 27791 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
186184, 185bitrd 279 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐ธ) <s (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
187186adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ((๐ท ยทs ๐ธ) <s (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ถ ยทs ๐น)) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
188176, 187mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
189188anassrs 467 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท)) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
190 mulsproplem12.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น) โˆจ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
191190adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ (( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น) โˆจ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
192132, 189, 191mpjaodan 956 . 2 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
19393simp3d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {(๐ถ ยทs ๐น)} <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐น)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
194193adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ {(๐ถ ยทs ๐น)} <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐น)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
195 ovex 7445 . . . . . . . 8 (๐ถ ยทs ๐น) โˆˆ V
196195snid 4664 . . . . . . 7 (๐ถ ยทs ๐น) โˆˆ {(๐ถ ยทs ๐น)}
197196a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (๐ถ ยทs ๐น) โˆˆ {(๐ถ ยทs ๐น)})
198 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))
199 bdayelon 27515 . . . . . . . . . . . 12 ( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ On
20025adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ท โˆˆ No )
201 oldbday 27633 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ No ) โ†’ (๐ท โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)) โ†” ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
202199, 200, 201sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (๐ท โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)) โ†” ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
203198, 202mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ท โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)))
20437adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
205 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ท โ†’ (๐ถ <s ๐‘ฅ โ†” ๐ถ <s ๐ท))
206 rightval 27597 . . . . . . . . . . 11 ( R โ€˜๐ถ) = {๐‘ฅ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)) โˆฃ ๐ถ <s ๐‘ฅ}
207205, 206elrab2 3686 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ ( R โ€˜๐ถ) โ†” (๐ท โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)) โˆง ๐ถ <s ๐ท))
208203, 204, 207sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ท โˆˆ ( R โ€˜๐ถ))
209 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))
21045adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ธ โˆˆ No )
21144, 210, 47sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (๐ธ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐น)) โ†” ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น)))
212209, 211mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ธ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐น)))
21350adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ธ <s ๐น)
214212, 213, 54sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ๐ธ โˆˆ ( L โ€˜๐น))
215 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ))
216 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฃ = ๐ท โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐น) = (๐ท ยทs ๐น))
217216oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฃ = ๐ท โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) = ((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)))
218 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฃ = ๐ท โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) = (๐ท ยทs ๐‘ค))
219217, 218oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ = ๐ท โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐ท ยทs ๐‘ค)))
220219eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐ท โ†’ ((((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐ท ยทs ๐‘ค))))
221 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค = ๐ธ โ†’ (๐ถ ยทs ๐‘ค) = (๐ถ ยทs ๐ธ))
222221oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค = ๐ธ โ†’ ((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) = ((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)))
223 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค = ๐ธ โ†’ (๐ท ยทs ๐‘ค) = (๐ท ยทs ๐ธ))
224222, 223oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค = ๐ธ โ†’ (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐ท ยทs ๐‘ค)) = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
225224eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = ๐ธ โ†’ ((((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐ท ยทs ๐‘ค)) โ†” (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
226220, 225rspc2ev 3624 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ ( R โ€˜๐ถ) โˆง ๐ธ โˆˆ ( L โ€˜๐น) โˆง (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
227215, 226mp3an3 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ ( R โ€˜๐ถ) โˆง ๐ธ โˆˆ ( L โ€˜๐น)) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
228208, 214, 227syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
229 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ V
230 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โ†’ (๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
2312302rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (๐‘— = (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
232229, 231elab 3668 . . . . . . . 8 ((((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)(((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
233228, 232sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})
234 elun2 4177 . . . . . . 7 ((((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โ†’ (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐น)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
235233, 234syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐น)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐น)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
236194, 197, 235ssltsepcd 27533 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ (๐ถ ยทs ๐น) <s (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
237127, 122addscomd 27690 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) = ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)))
238237oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
239122, 127, 107addsubsassd 27788 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐ธ) +s (๐ท ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
240238, 239eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) = ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
241240breq2d 5160 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) <s (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โ†” (๐ถ ยทs ๐น) <s ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))))
242127, 107subscld 27775 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โˆˆ No )
24394, 122, 242sltsubadd2d 27797 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โ†” (๐ถ ยทs ๐น) <s ((๐ถ ยทs ๐ธ) +s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))))
244241, 243bitr4d 282 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) <s (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
245244adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) <s (((๐ท ยทs ๐น) +s (๐ถ ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐ธ)) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
246236, 245mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
247246anassrs 467 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โˆง ( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น)) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
248121simp2d 1142 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ถ ยทs ๐ธ)})
249248adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s {(๐ถ ยทs ๐ธ)})
250 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ))
25125adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ No )
252199, 251, 201sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (๐ท โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)) โ†” ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
253250, 252mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ถ)))
25437adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ถ <s ๐ท)
255253, 254, 207sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ท โˆˆ ( R โ€˜๐ถ))
256 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))
25726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐น โˆˆ No )
258145, 257, 147sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (๐น โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ธ)) โ†” ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
259256, 258mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐น โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ธ)))
26050adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐ธ <s ๐น)
261259, 260, 153sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ๐น โˆˆ ( R โ€˜๐ธ))
262 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น))
263 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐ท โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) = (๐ท ยทs ๐ธ))
264263oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐ท โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) = ((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )))
265 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐ท โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) = (๐ท ยทs ๐‘ ))
266264, 265oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐ท โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐ท ยทs ๐‘ )))
267266eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐ท โ†’ ((((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐ท ยทs ๐‘ ))))
268 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  = ๐น โ†’ (๐ถ ยทs ๐‘ ) = (๐ถ ยทs ๐น))
269268oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  = ๐น โ†’ ((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) = ((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)))
270 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  = ๐น โ†’ (๐ท ยทs ๐‘ ) = (๐ท ยทs ๐น))
271269, 270oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  = ๐น โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐ท ยทs ๐‘ )) = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)))
272271eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  = ๐น โ†’ ((((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐ท ยทs ๐‘ )) โ†” (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น))))
273267, 272rspc2ev 3624 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ ( R โ€˜๐ถ) โˆง ๐น โˆˆ ( R โ€˜๐ธ) โˆง (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
274262, 273mp3an3 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ ( R โ€˜๐ถ) โˆง ๐น โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
275255, 261, 274syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
276 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) โˆˆ V
277 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) โ†’ (โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
2782772rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
279276, 278elab 3668 . . . . . . . 8 ((((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)(((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
280275, 279sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))})
281 elun2 4177 . . . . . . 7 ((((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}))
282280, 281syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ธ)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ถ)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ธ)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}))
283 ovex 7445 . . . . . . . 8 (๐ถ ยทs ๐ธ) โˆˆ V
284283snid 4664 . . . . . . 7 (๐ถ ยทs ๐ธ) โˆˆ {(๐ถ ยทs ๐ธ)}
285284a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (๐ถ ยทs ๐ธ) โˆˆ {(๐ถ ยทs ๐ธ)})
286249, 282, 285ssltsepcd 27533 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s (๐ถ ยทs ๐ธ))
287107, 94addscomd 27690 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) = ((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)))
288287oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐น)))
28994, 107, 127addsubsassd 27788 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s (๐ท ยทs ๐ธ)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = ((๐ถ ยทs ๐น) +s ((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น))))
290288, 289eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) = ((๐ถ ยทs ๐น) +s ((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น))))
291290breq1d 5158 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s (๐ถ ยทs ๐ธ) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) +s ((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น))) <s (๐ถ ยทs ๐ธ)))
292107, 127subscld 27775 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น)) โˆˆ No )
29394, 292, 122sltaddsub2d 27799 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทs ๐น) +s ((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น))) <s (๐ถ ยทs ๐ธ) โ†” ((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น))))
294291, 293bitrd 279 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s (๐ถ ยทs ๐ธ) โ†” ((๐ท ยทs ๐ธ) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s ((๐ถ ยทs ๐ธ) -s (๐ถ ยทs ๐น))))
295294, 185bitrd 279 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s (๐ถ ยทs ๐ธ) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
296295adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ((((๐ท ยทs ๐ธ) +s (๐ถ ยทs ๐น)) -s (๐ท ยทs ๐น)) <s (๐ถ ยทs ๐ธ) โ†” ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ))))
297286, 296mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ))) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
298297anassrs 467 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โˆง ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
299190adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โ†’ (( bday โ€˜๐ธ) โˆˆ ( bday โ€˜๐น) โˆจ ( bday โ€˜๐น) โˆˆ ( bday โ€˜๐ธ)))
300247, 298, 299mpjaodan 956 . 2 ((๐œ‘ โˆง ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
301 mulsproplem12.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ (( bday โ€˜๐ถ) โˆˆ ( bday โ€˜๐ท) โˆจ ( bday โ€˜๐ท) โˆˆ ( bday โ€˜๐ถ)))
302192, 300, 301mpjaodan 956 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทs ๐น) -s (๐ถ ยทs ๐ธ)) <s ((๐ท ยทs ๐น) -s (๐ท ยทs ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {cab 2708  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069   โˆช cun 3946  โˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  Oncon0 6364  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   +no cnadd 8668   No csur 27380   <s cslt 27381   bday cbday 27382   <<s csslt 27519   0s c0s 27561   O cold 27576   L cleft 27578   R cright 27579   +s cadds 27682   -s csubs 27735   ยทs cmuls 27802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-1o 8470  df-2o 8471  df-nadd 8669  df-no 27383  df-slt 27384  df-bday 27385  df-sle 27485  df-sslt 27520  df-scut 27522  df-0s 27563  df-made 27580  df-old 27581  df-left 27583  df-right 27584  df-norec 27661  df-norec2 27672  df-adds 27683  df-negs 27736  df-subs 27737  df-muls 27803
This theorem is referenced by:  mulsproplem13  27824
  Copyright terms: Public domain W3C validator