MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssct 8590
Description: Any subset of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssct ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem ssct
StepHypRef Expression
1 ctex 8516 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2 ssdomg 8547 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐵 ≼ ω → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
43impcom 410 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴𝐵)
5 domtr 8554 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
64, 5sylancom 590 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2108  Vcvv 3493  wss 3934   class class class wbr 5057  ωcom 7572  cdom 8499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-dom 8503
This theorem is referenced by:  measvuni  31466  measiuns  31469  sxbrsigalem1  31536  ssnct  41332  fzct  41638  fzoct  41644  salexct  42608  opnvonmbllem2  42906
  Copyright terms: Public domain W3C validator