Theorem ssct 8826

Description: Any subset of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ssct	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem ssct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 8740	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2		ssdomg 8773	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
4	3	impcom 408	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ 𝐵)
5		domtr 8780	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6	4, 5	sylancom 588	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3429   ⊆ wss 3886   class class class wbr 5073  ωcom 7702   ≼ cdom 8718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-dom 8722

This theorem is referenced by:  measvuni  32190  measiuns  32193  sxbrsigalem1  32260  ssnct  42608  fzct  42899  fzoct  42904  salexct  43854  opnvonmbllem2  44152