Theorem sxbrsigalem1 34917

Description: The Borel algebra on (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem1	⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣, 𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑣, 𝑢, 𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3		dya2ioc.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 34916	. . 3 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
5		retop 25080	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6	1, 5	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
7		uniretop 25081	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
8	1	unieqi 4879	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
9	7, 8	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
10	6, 6, 9, 9	txunii 23912	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
11	4, 10	eqtr2i 2785	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ ran 𝑅
12	1, 2, 3	dya2iocuni 34915	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑦 = 𝑥)
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → ∪ 𝑦 = 𝑥)
14	1, 2, 3	dya2iocct 34912	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝑅 ≼ ω
15		ctex 8990	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ∈ V)
16	14, 15	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ran 𝑅 ∈ V)
17		elpwi 4564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑦 ⊆ ran 𝑅)
18		ssct 9077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ ran 𝑅 ≼ ω) → 𝑦 ≼ ω)
19	17, 14, 18	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑦 ≼ ω)
20		elsigagen2 34781	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝑅 ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
22	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
23	13, 22	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
24	23	rexlimiva 3156	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
25	12, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
26	25	ssriv 3935	. 2 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
27	14, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
28		sigagenss2 34783	. 2 ⊢ ((∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ ran 𝑅 ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅) ∧ ran 𝑅 ∈ V) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅))
29	11, 26, 27, 28	mp3an 1490	1 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   × cxp 5649  ran crn 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ωcom 7877   ≼ cdom 8971  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   / cdiv 11973  2c2 12397  ℤcz 12693  (,)cioo 13476  [,)cico 13478  ↑cexp 14204  topGenctg 17608  Topctop 23211   ×_t ctx 23879  sigaGencsigagen 34771

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-refld 21911  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-fcls 24260  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-cfil 25576  df-cmet 25578  df-cms 25656  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093  df-siga 34741  df-sigagen 34772

This theorem is used by:  sxbrsigalem4  34919