Theorem sxbrsigalem1 34429

Description: The Borel algebra on (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem1	⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3		dya2ioc.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 34428	. . 3 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
5		retop 24726	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6	1, 5	eqeltri 2832	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
7		uniretop 24727	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
8	1	unieqi 4862	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
9	7, 8	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
10	6, 6, 9, 9	txunii 23558	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
11	4, 10	eqtr2i 2760	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ ran 𝑅
12	1, 2, 3	dya2iocuni 34427	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑦 = 𝑥)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → ∪ 𝑦 = 𝑥)
14	1, 2, 3	dya2iocct 34424	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝑅 ≼ ω
15		ctex 8910	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ∈ V)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ran 𝑅 ∈ V)
17		elpwi 4548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑦 ⊆ ran 𝑅)
18		ssct 8996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ ran 𝑅 ≼ ω) → 𝑦 ≼ ω)
19	17, 14, 18	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑦 ≼ ω)
20		elsigagen2 34292	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝑅 ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
23	13, 22	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
24	23	rexlimiva 3130	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
25	12, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
26	25	ssriv 3925	. 2 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
27	14, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
28		sigagenss2 34294	. 2 ⊢ ((∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ ran 𝑅 ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅) ∧ ran 𝑅 ∈ V) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅))
29	11, 26, 27, 28	mp3an 1464	1 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ωcom 7817   ≼ cdom 8891  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤcz 12524  (,)cioo 13298  [,)cico 13300  ↑cexp 14023  topGenctg 17400  Topctop 22858   ×_t ctx 23525  sigaGencsigagen 34282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-refld 21585  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-fcls 23906  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-cfil 25222  df-cmet 25224  df-cms 25302  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-cxp 26521  df-logb 26729  df-siga 34253  df-sigagen 34283

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  34431