Theorem sxbrsigalem1 34469

Description: The Borel algebra on (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem1	⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3		dya2ioc.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 34468	. . 3 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
5		retop 24744	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6	1, 5	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
7		uniretop 24745	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
8	1	unieqi 4850	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
9	7, 8	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
10	6, 6, 9, 9	txunii 23576	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
11	4, 10	eqtr2i 2763	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ ran 𝑅
12	1, 2, 3	dya2iocuni 34467	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑦 = 𝑥)
13		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → ∪ 𝑦 = 𝑥)
14	1, 2, 3	dya2iocct 34464	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝑅 ≼ ω
15		ctex 8900	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ∈ V)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ran 𝑅 ∈ V)
17		elpwi 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑦 ⊆ ran 𝑅)
18		ssct 8986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ ran 𝑅 ≼ ω) → 𝑦 ≼ ω)
19	17, 14, 18	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑦 ≼ ω)
20		elsigagen2 34332	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝑅 ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
23	13, 22	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
24	23	rexlimiva 3132	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
25	12, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
26	25	ssriv 3919	. 2 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
27	14, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
28		sigagenss2 34334	. 2 ⊢ ((∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ ran 𝑅 ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅) ∧ ran 𝑅 ∈ V) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅))
29	11, 26, 27, 28	mp3an 1469	1 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   × cxp 5616  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ωcom 7806   ≼ cdom 8881  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  ↑cexp 14014  topGenctg 17391  Topctop 22876   ×_t ctx 23543  sigaGencsigagen 34322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-refld 21580  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-cmp 23370  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-fcls 23924  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-cfil 25240  df-cmet 25242  df-cms 25320  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538  df-cxp 26539  df-logb 26747  df-siga 34293  df-sigagen 34323

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  34471