Theorem sxbrsigalem1 34253

Description: The Borel algebra on (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem1	⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3		dya2ioc.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 34252	. . 3 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
5		retop 24647	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6	1, 5	eqeltri 2824	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
7		uniretop 24648	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
8	1	unieqi 4870	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
9	7, 8	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
10	6, 6, 9, 9	txunii 23478	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
11	4, 10	eqtr2i 2753	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ ran 𝑅
12	1, 2, 3	dya2iocuni 34251	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑦 = 𝑥)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → ∪ 𝑦 = 𝑥)
14	1, 2, 3	dya2iocct 34248	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝑅 ≼ ω
15		ctex 8889	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ∈ V)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ran 𝑅 ∈ V)
17		elpwi 4558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑦 ⊆ ran 𝑅)
18		ssct 8975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ ran 𝑅 ≼ ω) → 𝑦 ≼ ω)
19	17, 14, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑦 ≼ ω)
20		elsigagen2 34115	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran 𝑅 ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → ∪ 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
23	13, 22	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
24	23	rexlimiva 3122	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
25	12, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
26	25	ssriv 3939	. 2 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
27	14, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
28		sigagenss2 34117	. 2 ⊢ ((∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ ran 𝑅 ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅) ∧ ran 𝑅 ∈ V) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅))
29	11, 26, 27, 28	mp3an 1463	1 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ωcom 7799   ≼ cdom 8870  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   / cdiv 11777  2c2 12183  ℤcz 12471  (,)cioo 13248  [,)cico 13250  ↑cexp 13968  topGenctg 17341  Topctop 22778   ×_t ctx 23445  sigaGencsigagen 34105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-refld 21512  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-fcls 23826  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-cfil 25153  df-cmet 25155  df-cms 25233  df-limc 25765  df-dv 25766  df-log 26463  df-cxp 26464  df-logb 26673  df-siga 34076  df-sigagen 34106

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  34255