Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sxbrsigalem1 31604
Description: The Borel algebra on (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem1 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . 4 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3 dya2ioc.2 . . . 4 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
41, 2, 3dya2iocucvr 31603 . . 3 ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
5 retop 23374 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
61, 5eqeltri 2912 . . . 4 𝐽 ∈ Top
7 uniretop 23375 . . . . 5 ℝ = (topGen‘ran (,))
81unieqi 4837 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
97, 8eqtr4i 2850 . . . 4 ℝ = 𝐽
106, 6, 9, 9txunii 22205 . . 3 (ℝ × ℝ) = (𝐽 ×t 𝐽)
114, 10eqtr2i 2848 . 2 (𝐽 ×t 𝐽) = ran 𝑅
121, 2, 3dya2iocuni 31602 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑦 = 𝑥)
13 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
141, 2, 3dya2iocct 31599 . . . . . . . . 9 ran 𝑅 ≼ ω
15 ctex 8520 . . . . . . . . 9 (ran 𝑅 ≼ ω → ran 𝑅 ∈ V)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → ran 𝑅 ∈ V)
17 elpwi 4531 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅𝑦 ⊆ ran 𝑅)
18 ssct 8594 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ⊆ ran 𝑅 ∧ ran 𝑅 ≼ ω) → 𝑦 ≼ ω)
1917, 14, 18sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅𝑦 ≼ ω)
20 elsigagen2 31468 . . . . . . . 8 ((ran 𝑅 ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ran 𝑅𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
2221adantr 484 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
2313, 22eqeltrrd 2917 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
2423rexlimiva 3273 . . . 4 (∃𝑦 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑦 = 𝑥𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
2512, 24syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → 𝑥 ∈ (sigaGen‘ran 𝑅))
2625ssriv 3957 . 2 (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
2714, 15ax-mp 5 . 2 ran 𝑅 ∈ V
28 sigagenss2 31470 . 2 (( (𝐽 ×t 𝐽) = ran 𝑅 ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅) ∧ ran 𝑅 ∈ V) → (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅))
2911, 26, 27, 28mp3an 1458 1 (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  Vcvv 3480  wss 3919  𝒫 cpw 4522   cuni 4824   class class class wbr 5052   × cxp 5540  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  cmpo 7151  ωcom 7574  cdom 8503  cr 10534  1c1 10536   + caddc 10538   / cdiv 11295  2c2 11689  cz 11978  (,)cioo 12735  [,)cico 12737  cexp 13434  topGenctg 16711  Topctop 21505   ×t ctx 22172  sigaGencsigagen 31458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-ac2 9883  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-refld 20301  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-lp 21748  df-perf 21749  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-haus 21927  df-cmp 21999  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-fcls 22553  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-cncf 23490  df-cfil 23866  df-cmet 23868  df-cms 23946  df-limc 24476  df-dv 24477  df-log 25155  df-cxp 25156  df-logb 25358  df-siga 31429  df-sigagen 31459
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  31606
  Copyright terms: Public domain W3C validator