Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem2 45339
Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbllem2.n 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
opnvonmbllem2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
opnvonmbl.k 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐺,𝑖   β„Ž,𝐾,𝑖   𝑆,β„Ž,𝑖   β„Ž,𝑋,𝑖   πœ‘,β„Ž,𝑖

Proof of Theorem opnvonmbllem2
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem2.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
32rrxmetfi 24928 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
41, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
5 metxmet 23839 . . . . . . . . . 10 ((distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
8 opnvonmbllem2.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
9 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ^β€˜π‘‹) = (ℝ^β€˜π‘‹)
109rrxval 24903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin β†’ (ℝ^β€˜π‘‹) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
111, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ^β€˜π‘‹) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1211fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))))
13 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1714, 15, 16tcphtopn 24742 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
2011eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (ℝ^β€˜π‘‹))
2120fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
2312, 19, 223eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
248, 23eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
26 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ 𝐺)
27 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
2827mopni2 24001 . . . . . . . 8 (((distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
297, 25, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
301ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
3231rrxtoponfi 44997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ Fin β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
34 toponss 22428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3533, 8, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3736, 26sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
4030, 38, 39hoiqssbl 45331 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
41403adant3 1132 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
42 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
43 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
44 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖π‘₯
45 nfixp1 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–))
4644, 45nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–))
47 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖(π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)
4845, 47nfss 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)
4946, 48nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))
5042, 43, 49nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
52513ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
53 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
55543ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
56 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
58573ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
59 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))
60 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
61 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
62 opnvonmbl.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
63 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(π‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜π‘–)⟩) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(π‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜π‘–)⟩)
6450, 52, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63opnvonmbllem1 45338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
65643exp 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
67663adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
6867rexlimdvv 3210 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–)))
6941, 68mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
70693exp 1119 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺 β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
7170rexlimdv 3153 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺 β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–)))
7229, 71mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
73 eliun 5001 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7472, 73sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7574ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
76 dfss3 3970 . . . 4 (𝐺 βŠ† βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7775, 76sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7862eleq2i 2825 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝐾 ↔ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
7978biimpi 215 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
8079adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
81 rabid 3452 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺} ↔ (β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
8280, 81sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
8382simprd 496 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8483ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
85 iunss 5048 . . . 4 (βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺 ↔ βˆ€β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8684, 85sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8777, 86eqssd 3999 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
88 opnvonmbllem2.n . . . 4 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
891, 88dmovnsal 45318 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
90 ssrab2 4077 . . . . . 6 {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺} βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋)
9162, 90eqsstri 4016 . . . . 5 𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋)
9291a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
93 qct 44062 . . . . . . 7 β„š β‰Ό Ο‰
9493a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„š β‰Ό Ο‰)
95 xpct 10010 . . . . . 6 ((β„š β‰Ό Ο‰ ∧ β„š β‰Ό Ο‰) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
9694, 94, 95syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
9796, 1mpct 43890 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) β‰Ό Ο‰)
98 ssct 9050 . . . 4 ((𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
9992, 97, 98syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
100 reex 11200 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
101100, 100xpex 7739 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
102 qssre 12942 . . . . . . . . . 10 β„š βŠ† ℝ
103 xpss12 5691 . . . . . . . . . 10 ((β„š βŠ† ℝ ∧ β„š βŠ† ℝ) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
104102, 102, 103mp2an 690 . . . . . . . . 9 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
105 mapss 8882 . . . . . . . . 9 (((ℝ Γ— ℝ) ∈ V ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
106101, 104, 105mp2an 690 . . . . . . . 8 ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋)
10791sseli 3978 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
108106, 107sselid 3980 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
109 elmapi 8842 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
110108, 109syl 17 . . . . . 6 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
111110adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
112 2fveq3 6896 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) = (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
113112cbvmptv 5261 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
114 2fveq3 6896 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) = (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
115114cbvmptv 5261 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
116111, 113, 115hoicoto2 45311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = X𝑖 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)))
1171adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
118111ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
119 xp1st 8006 . . . . . . 7 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
120118, 119syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
121120fmpttd 7114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
122 xp2nd 8007 . . . . . . 7 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
123118, 122syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
124123fmpttd 7114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
125117, 88, 121, 124hoimbl 45337 . . . 4 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
126116, 125eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ∈ 𝑆)
12789, 99, 126saliuncl 45029 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ∈ 𝑆)
12887, 127eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Ο‰com 7854  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973   ↑m cmap 8819  Xcixp 8890   β‰Ό cdom 8936  Fincfn 8938  β„cr 11108  β„šcq 12931  β„+crp 12973  [,)cico 13325  distcds 17205  TopOpenctopn 17366  βˆžMetcxmet 20928  Metcmet 20929  ballcbl 20930  MetOpencmopn 20933  β„fldcrefld 21156   freeLMod cfrlm 21300  TopOnctopon 22411  toβ„‚PreHilctcph 24683  β„^crrx 24899  volncvoln 45244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-prod 15849  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-field 20359  df-abv 20424  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-refld 21157  df-phl 21178  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-tng 24092  df-nrg 24093  df-nlm 24094  df-clm 24578  df-cph 24684  df-tcph 24685  df-rrx 24901  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-salg 45015  df-sumge0 45069  df-mea 45156  df-ome 45196  df-caragen 45198  df-ovoln 45243  df-voln 45245
This theorem is referenced by:  opnvonmbl  45340
  Copyright terms: Public domain W3C validator