Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem2 45647
Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbllem2.n 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
opnvonmbllem2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
opnvonmbl.k 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐺,𝑖   β„Ž,𝐾,𝑖   𝑆,β„Ž,𝑖   β„Ž,𝑋,𝑖   πœ‘,β„Ž,𝑖

Proof of Theorem opnvonmbllem2
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem2.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
32rrxmetfi 25160 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
41, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
5 metxmet 24060 . . . . . . . . . 10 ((distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
76adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
8 opnvonmbllem2.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
9 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ^β€˜π‘‹) = (ℝ^β€˜π‘‹)
109rrxval 25135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin β†’ (ℝ^β€˜π‘‹) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
111, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ^β€˜π‘‹) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1211fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))))
13 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V
14 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))
15 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
16 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1714, 15, 16tcphtopn 24974 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
2011eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (ℝ^β€˜π‘‹))
2120fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
2221fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
2312, 19, 223eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
248, 23eleqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
2524adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
26 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ 𝐺)
27 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
2827mopni2 24222 . . . . . . . 8 (((distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
297, 25, 26, 28syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
301ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
31 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
3231rrxtoponfi 45305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ Fin β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
34 toponss 22649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3533, 8, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3736, 26sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
39 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
4030, 38, 39hoiqssbl 45639 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
41403adant3 1130 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
42 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
43 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
44 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖π‘₯
45 nfixp1 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–))
4644, 45nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–))
47 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖(π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)
4845, 47nfss 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)
4946, 48nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))
5042, 43, 49nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
511adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
52513ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
53 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
5453adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
55543ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
56 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
5756adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
58573ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
59 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))
60 simp1r 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
61 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
62 opnvonmbl.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
63 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(π‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜π‘–)⟩) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(π‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜π‘–)⟩)
6450, 52, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63opnvonmbllem1 45646 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
65643exp 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
6665adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
67663adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
6867rexlimdvv 3208 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–)))
6941, 68mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
70693exp 1117 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺 β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
7170rexlimdv 3151 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺 β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–)))
7229, 71mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
73 eliun 5000 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7472, 73sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7574ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
76 dfss3 3969 . . . 4 (𝐺 βŠ† βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7775, 76sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7862eleq2i 2823 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝐾 ↔ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
7978biimpi 215 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
8079adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
81 rabid 3450 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺} ↔ (β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
8280, 81sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
8382simprd 494 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8483ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
85 iunss 5047 . . . 4 (βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺 ↔ βˆ€β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8684, 85sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8777, 86eqssd 3998 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
88 opnvonmbllem2.n . . . 4 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
891, 88dmovnsal 45626 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
90 ssrab2 4076 . . . . . 6 {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺} βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋)
9162, 90eqsstri 4015 . . . . 5 𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋)
9291a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
93 qct 44370 . . . . . . 7 β„š β‰Ό Ο‰
9493a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„š β‰Ό Ο‰)
95 xpct 10013 . . . . . 6 ((β„š β‰Ό Ο‰ ∧ β„š β‰Ό Ο‰) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
9694, 94, 95syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
9796, 1mpct 44198 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) β‰Ό Ο‰)
98 ssct 9053 . . . 4 ((𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
9992, 97, 98syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
100 reex 11203 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
101100, 100xpex 7742 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
102 qssre 12947 . . . . . . . . . 10 β„š βŠ† ℝ
103 xpss12 5690 . . . . . . . . . 10 ((β„š βŠ† ℝ ∧ β„š βŠ† ℝ) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
104102, 102, 103mp2an 688 . . . . . . . . 9 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
105 mapss 8885 . . . . . . . . 9 (((ℝ Γ— ℝ) ∈ V ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
106101, 104, 105mp2an 688 . . . . . . . 8 ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋)
10791sseli 3977 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
108106, 107sselid 3979 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
109 elmapi 8845 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
110108, 109syl 17 . . . . . 6 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
111110adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
112 2fveq3 6895 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) = (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
113112cbvmptv 5260 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
114 2fveq3 6895 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) = (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
115114cbvmptv 5260 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
116111, 113, 115hoicoto2 45619 . . . 4 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = X𝑖 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)))
1171adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
118111ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
119 xp1st 8009 . . . . . . 7 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
120118, 119syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
121120fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
122 xp2nd 8010 . . . . . . 7 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
123118, 122syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
124123fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
125117, 88, 121, 124hoimbl 45645 . . . 4 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
126116, 125eqeltrd 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ∈ 𝑆)
12789, 99, 126saliuncl 45337 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ∈ 𝑆)
12887, 127eqeltrd 2831 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976   ↑m cmap 8822  Xcixp 8893   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  β„cr 11111  β„šcq 12936  β„+crp 12978  [,)cico 13330  distcds 17210  TopOpenctopn 17371  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  ballcbl 21131  MetOpencmopn 21134  β„fldcrefld 21376   freeLMod cfrlm 21520  TopOnctopon 22632  toβ„‚PreHilctcph 24915  β„^crrx 25131  volncvoln 45552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-abv 20568  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-phl 21398  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-tng 24313  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-clm 24810  df-cph 24916  df-tcph 24917  df-rrx 25133  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-salg 45323  df-sumge0 45377  df-mea 45464  df-ome 45504  df-caragen 45506  df-ovoln 45551  df-voln 45553
This theorem is referenced by:  opnvonmbl  45648
  Copyright terms: Public domain W3C validator