Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem2 45944
Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbllem2.n 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
opnvonmbllem2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
opnvonmbl.k 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐺,𝑖   β„Ž,𝐾,𝑖   𝑆,β„Ž,𝑖   β„Ž,𝑋,𝑖   πœ‘,β„Ž,𝑖

Proof of Theorem opnvonmbllem2
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem2.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
32rrxmetfi 25327 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
41, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
5 metxmet 24227 . . . . . . . . . 10 ((distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
8 opnvonmbllem2.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
9 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ^β€˜π‘‹) = (ℝ^β€˜π‘‹)
109rrxval 25302 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin β†’ (ℝ^β€˜π‘‹) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
111, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ^β€˜π‘‹) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1211fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))))
13 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V
14 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))
15 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
16 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1714, 15, 16tcphtopn 25141 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
2011eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (ℝ^β€˜π‘‹))
2120fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
2312, 19, 223eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
248, 23eleqtrd 2830 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
26 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ 𝐺)
27 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
2827mopni2 24389 . . . . . . . 8 (((distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
297, 25, 26, 28syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
301ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
31 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
3231rrxtoponfi 45602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ Fin β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
34 toponss 22816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3533, 8, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3736, 26sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
39 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
4030, 38, 39hoiqssbl 45936 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
41403adant3 1130 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
42 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
43 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
44 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖π‘₯
45 nfixp1 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–))
4644, 45nfel 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–))
47 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖(π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)
4845, 47nfss 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)
4946, 48nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))
5042, 43, 49nf3an 1897 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
511adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
52513ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
53 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
55543ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
56 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
58573ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
59 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))
60 simp1r 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
61 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
62 opnvonmbl.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
63 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(π‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜π‘–)⟩) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(π‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜π‘–)⟩)
6450, 52, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63opnvonmbllem1 45943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
65643exp 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
6665adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
67663adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
6867rexlimdvv 3205 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–)))
6941, 68mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
70693exp 1117 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺 β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
7170rexlimdv 3148 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺 β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–)))
7229, 71mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
73 eliun 4995 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7472, 73sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7574ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
76 dfss3 3966 . . . 4 (𝐺 βŠ† βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7775, 76sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7862eleq2i 2820 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝐾 ↔ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
7978biimpi 215 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
8079adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
81 rabid 3447 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺} ↔ (β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
8280, 81sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
8382simprd 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8483ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
85 iunss 5042 . . . 4 (βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺 ↔ βˆ€β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8684, 85sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8777, 86eqssd 3995 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
88 opnvonmbllem2.n . . . 4 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
891, 88dmovnsal 45923 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
90 ssrab2 4073 . . . . . 6 {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺} βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋)
9162, 90eqsstri 4012 . . . . 5 𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋)
9291a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
93 qct 44667 . . . . . . 7 β„š β‰Ό Ο‰
9493a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„š β‰Ό Ο‰)
95 xpct 10031 . . . . . 6 ((β„š β‰Ό Ο‰ ∧ β„š β‰Ό Ο‰) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
9694, 94, 95syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
9796, 1mpct 44497 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) β‰Ό Ο‰)
98 ssct 9067 . . . 4 ((𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
9992, 97, 98syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
100 reex 11221 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
101100, 100xpex 7749 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
102 qssre 12965 . . . . . . . . . 10 β„š βŠ† ℝ
103 xpss12 5687 . . . . . . . . . 10 ((β„š βŠ† ℝ ∧ β„š βŠ† ℝ) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
104102, 102, 103mp2an 691 . . . . . . . . 9 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
105 mapss 8899 . . . . . . . . 9 (((ℝ Γ— ℝ) ∈ V ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
106101, 104, 105mp2an 691 . . . . . . . 8 ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋)
10791sseli 3974 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
108106, 107sselid 3976 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
109 elmapi 8859 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
110108, 109syl 17 . . . . . 6 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
111110adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
112 2fveq3 6896 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) = (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
113112cbvmptv 5255 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
114 2fveq3 6896 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) = (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
115114cbvmptv 5255 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
116111, 113, 115hoicoto2 45916 . . . 4 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = X𝑖 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)))
1171adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
118111ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
119 xp1st 8019 . . . . . . 7 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
120118, 119syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
121120fmpttd 7119 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
122 xp2nd 8020 . . . . . . 7 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
123118, 122syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
124123fmpttd 7119 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
125117, 88, 121, 124hoimbl 45942 . . . 4 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
126116, 125eqeltrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ∈ 𝑆)
12789, 99, 126saliuncl 45634 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ∈ 𝑆)
12887, 127eqeltrd 2828 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  βŸ¨cop 4630  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Ο‰com 7864  1st c1st 7985  2nd c2nd 7986   ↑m cmap 8836  Xcixp 8907   β‰Ό cdom 8953  Fincfn 8955  β„cr 11129  β„šcq 12954  β„+crp 12998  [,)cico 13350  distcds 17233  TopOpenctopn 17394  βˆžMetcxmet 21251  Metcmet 21252  ballcbl 21253  MetOpencmopn 21256  β„fldcrefld 21523   freeLMod cfrlm 21667  TopOnctopon 22799  toβ„‚PreHilctcph 25082  β„^crrx 25298  volncvoln 45849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-ac2 10478  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-ac 10131  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-prod 15874  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-field 20616  df-abv 20686  df-staf 20714  df-srng 20715  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lmhm 20896  df-lvec 20977  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-refld 21524  df-phl 21545  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cmp 23278  df-xms 24213  df-ms 24214  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-tng 24480  df-nrg 24481  df-nlm 24482  df-clm 24977  df-cph 25083  df-tcph 25084  df-rrx 25300  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-salg 45620  df-sumge0 45674  df-mea 45761  df-ome 45801  df-caragen 45803  df-ovoln 45848  df-voln 45850
This theorem is referenced by:  opnvonmbl  45945
  Copyright terms: Public domain W3C validator