Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem2 44560
Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbllem2.n 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
opnvonmbllem2.g (𝜑𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
opnvonmbl.k 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem2 (𝜑𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   ,𝐺,𝑖   ,𝐾,𝑖   𝑆,,𝑖   ,𝑋,𝑖   𝜑,,𝑖

Proof of Theorem opnvonmbllem2
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem2.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
32rrxmetfi 24681 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
41, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
5 metxmet 23592 . . . . . . . . . 10 ((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
76adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐺) → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)))
8 opnvonmbllem2.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
9 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
109rrxval 24656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → (ℝ^‘𝑋) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))
111, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ^‘𝑋) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1211fveq2d 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))))
13 ovex 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))
15 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1714, 15, 16tcphtopn 24495 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (TopOpen‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
2011eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (ℝ^‘𝑋))
2120fveq2d 6833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (dist‘(ℝ^‘𝑋)))
2221fveq2d 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝑋)))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))))
2312, 19, 223eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))))
248, 23eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))))
2524adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝐺 ∈ (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))))
26 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝑥𝐺)
27 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))
2827mopni2 23754 . . . . . . . 8 (((dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝑋))) ∧ 𝑥𝐺) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺)
297, 25, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐺) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺)
301ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Fin)
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
3231rrxtoponfi 44220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝑋)))
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝑋)))
34 toponss 22181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))) → 𝐺 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3533, 8, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝐺 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3736, 26sseldd 3936 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4030, 38, 39hoiqssbl 44552 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)))
41403adant3 1132 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)))
42 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖(𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺)
43 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
44 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖𝑥
45 nfixp1 8781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖))
4644, 45nfel 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖 𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖))
47 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖(𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)
4845, 47nfss 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)
4946, 48nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖(𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))
5042, 43, 49nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)))
511adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → 𝑋 ∈ Fin)
52513ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → 𝑋 ∈ Fin)
53 elmapi 8712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
55543ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
56 elmapi 8712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
5756adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
58573ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
59 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))
60 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺)
61 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → 𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
62 opnvonmbl.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺}
63 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝑐𝑖), (𝑑𝑖)⟩) = (𝑖𝑋 ↦ ⟨(𝑐𝑖), (𝑑𝑖)⟩)
6450, 52, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63opnvonmbllem1 44559 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒))) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
65643exp 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))))
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))))
67663adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ((𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))))
6867rexlimdvv 3201 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑥X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒)) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖)))
6941, 68mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
70693exp 1119 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐺) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺 → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))))
7170rexlimdv 3147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐺) → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝑒) ⊆ 𝐺 → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖)))
7229, 71mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐺) → ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
73 eliun 4949 . . . . . 6 (𝑥 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ↔ ∃𝐾 𝑥X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
7472, 73sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐺) → 𝑥 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
7574ralrimiva 3140 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 𝑥 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
76 dfss3 3923 . . . 4 (𝐺 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ↔ ∀𝑥𝐺 𝑥 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
7775, 76sylibr 233 . . 3 (𝜑𝐺 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
7862eleq2i 2829 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺})
7978biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺})
8079adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾) → ∈ { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺})
81 rabid 3424 . . . . . . 7 ( ∈ { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺} ↔ ( ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺))
8280, 81sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑𝐾) → ( ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺))
8382simprd 497 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺)
8483ralrimiva 3140 . . . 4 (𝜑 → ∀𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺)
85 iunss 4996 . . . 4 ( 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺 ↔ ∀𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺)
8684, 85sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺)
8777, 86eqssd 3952 . 2 (𝜑𝐺 = 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖))
88 opnvonmbllem2.n . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
891, 88dmovnsal 44539 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
90 ssrab2 4028 . . . . . 6 { ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ⊆ 𝐺} ⊆ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋)
9162, 90eqsstri 3969 . . . . 5 𝐾 ⊆ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋)
9291a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ⊆ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
93 qct 43288 . . . . . . 7 ℚ ≼ ω
9493a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℚ ≼ ω)
95 xpct 9877 . . . . . 6 ((ℚ ≼ ω ∧ ℚ ≼ ω) → (ℚ × ℚ) ≼ ω)
9694, 94, 95syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ × ℚ) ≼ ω)
9796, 1mpct 43120 . . . 4 (𝜑 → ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ≼ ω)
98 ssct 8920 . . . 4 ((𝐾 ⊆ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ∧ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
9992, 97, 98syl2anc 585 . . 3 (𝜑𝐾 ≼ ω)
100 reex 11067 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
101100, 100xpex 7669 . . . . . . . . 9 (ℝ × ℝ) ∈ V
102 qssre 12804 . . . . . . . . . 10 ℚ ⊆ ℝ
103 xpss12 5639 . . . . . . . . . 10 ((ℚ ⊆ ℝ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ × ℝ))
104102, 102, 103mp2an 690 . . . . . . . . 9 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ × ℝ)
105 mapss 8752 . . . . . . . . 9 (((ℝ × ℝ) ∈ V ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ × ℝ)) → ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
106101, 104, 105mp2an 690 . . . . . . . 8 ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋) ⊆ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋)
10791sseli 3931 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ((ℚ × ℚ) ↑m 𝑋))
108106, 107sselid 3933 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋))
109 elmapi 8712 . . . . . . 7 ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) → :𝑋⟶(ℝ × ℝ))
110108, 109syl 17 . . . . . 6 (𝐾:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
111110adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → :𝑋⟶(ℝ × ℝ))
112 2fveq3 6834 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (1st ‘(𝑘)) = (1st ‘(𝑖)))
113112cbvmptv 5209 . . . . 5 (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘(𝑘))) = (𝑖𝑋 ↦ (1st ‘(𝑖)))
114 2fveq3 6834 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (2nd ‘(𝑘)) = (2nd ‘(𝑖)))
115114cbvmptv 5209 . . . . 5 (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑘))) = (𝑖𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑖)))
116111, 113, 115hoicoto2 44532 . . . 4 ((𝜑𝐾) → X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) = X𝑖𝑋 (((𝑘𝑋 ↦ (1st ‘(𝑘)))‘𝑖)[,)((𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑘)))‘𝑖)))
1171adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → 𝑋 ∈ Fin)
118111ffvelcdmda 7021 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
119 xp1st 7935 . . . . . . 7 ((𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝑘)) ∈ ℝ)
120118, 119syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐾) ∧ 𝑘𝑋) → (1st ‘(𝑘)) ∈ ℝ)
121120fmpttd 7049 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘(𝑘))):𝑋⟶ℝ)
122 xp2nd 7936 . . . . . . 7 ((𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝑘)) ∈ ℝ)
123118, 122syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐾) ∧ 𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝑘)) ∈ ℝ)
124123fmpttd 7049 . . . . 5 ((𝜑𝐾) → (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑘))):𝑋⟶ℝ)
125117, 88, 121, 124hoimbl 44558 . . . 4 ((𝜑𝐾) → X𝑖𝑋 (((𝑘𝑋 ↦ (1st ‘(𝑘)))‘𝑖)[,)((𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘(𝑘)))‘𝑖)) ∈ 𝑆)
126116, 125eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝐾) → X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ∈ 𝑆)
12789, 99, 126saliuncl 44251 . 2 (𝜑 𝐾 X𝑖𝑋 (([,) ∘ )‘𝑖) ∈ 𝑆)
12887, 127eqeltrd 2838 1 (𝜑𝐺𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  {crab 3404  Vcvv 3442  wss 3901  cop 4583   ciun 4945   class class class wbr 5096  cmpt 5179   × cxp 5622  dom cdm 5624  ccom 5628  wf 6479  cfv 6483  (class class class)co 7341  ωcom 7784  1st c1st 7901  2nd c2nd 7902  m cmap 8690  Xcixp 8760  cdom 8806  Fincfn 8808  cr 10975  cq 12793  +crp 12835  [,)cico 13186  distcds 17068  TopOpenctopn 17229  ∞Metcxmet 20687  Metcmet 20688  ballcbl 20689  MetOpencmopn 20692  fldcrefld 20914   freeLMod cfrlm 21058  TopOnctopon 22164  toℂPreHilctcph 24436  ℝ^crrx 24652  volncvoln 44465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cc 10296  ax-ac2 10324  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055  ax-mulf 11056
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-disj 5062  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-tpos 8116  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-oadd 8375  df-omul 8376  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-dju 9762  df-card 9800  df-acn 9803  df-ac 9977  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-prod 15715  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-cring 19880  df-oppr 19956  df-dvdsr 19977  df-unit 19978  df-invr 20008  df-dvr 20019  df-rnghom 20053  df-drng 20094  df-field 20095  df-subrg 20126  df-abv 20182  df-staf 20210  df-srng 20211  df-lmod 20230  df-lss 20299  df-lmhm 20389  df-lvec 20470  df-sra 20539  df-rgmod 20540  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-cnfld 20703  df-refld 20915  df-phl 20936  df-dsmm 21044  df-frlm 21059  df-top 22148  df-topon 22165  df-topsp 22187  df-bases 22201  df-cmp 22643  df-xms 23578  df-ms 23579  df-nm 23843  df-ngp 23844  df-tng 23845  df-nrg 23846  df-nlm 23847  df-clm 24331  df-cph 24437  df-tcph 24438  df-rrx 24654  df-ovol 24733  df-vol 24734  df-salg 44238  df-sumge0 44290  df-mea 44377  df-ome 44417  df-caragen 44419  df-ovoln 44464  df-voln 44466
This theorem is referenced by:  opnvonmbl  44561
  Copyright terms: Public domain W3C validator