Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnvonmbllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnvonmbllem2 45349
Description: An open subset of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. This is Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opnvonmbllem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
opnvonmbllem2.n 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
opnvonmbllem2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
opnvonmbl.k 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
Assertion
Ref Expression
opnvonmbllem2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐺,𝑖   β„Ž,𝐾,𝑖   𝑆,β„Ž,𝑖   β„Ž,𝑋,𝑖   πœ‘,β„Ž,𝑖

Proof of Theorem opnvonmbllem2
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opnvonmbllem2.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
32rrxmetfi 24929 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
41, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
5 metxmet 23840 . . . . . . . . . 10 ((distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
76adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
8 opnvonmbllem2.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ^β€˜π‘‹) = (ℝ^β€˜π‘‹)
109rrxval 24904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin β†’ (ℝ^β€˜π‘‹) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
111, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ^β€˜π‘‹) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1211fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))))
13 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))
1714, 15, 16tcphtopn 24743 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝfld freeLMod 𝑋) ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))))
2011eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)) = (ℝ^β€˜π‘‹))
2120fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋))) = (distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
2221fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝑋)))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
2312, 19, 223eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
248, 23eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
2524adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))))
26 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ 𝐺)
27 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))
2827mopni2 24002 . . . . . . . 8 (((distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (MetOpenβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
297, 25, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
301ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))
3231rrxtoponfi 45007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ Fin β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)))
34 toponss 22429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)) ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐺 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹))) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3533, 8, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ 𝐺 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
3736, 26sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
4030, 38, 39hoiqssbl 45341 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
41403adant3 1133 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
42 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
43 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
44 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖π‘₯
45 nfixp1 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–))
4644, 45nfel 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–))
47 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖(π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)
4845, 47nfss 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)
4946, 48nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))
5042, 43, 49nf3an 1905 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)))
511adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
52513ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
53 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
55543ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
56 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
5756adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
58573ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
59 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))
60 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺)
61 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
62 opnvonmbl.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺}
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(π‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜π‘–)⟩) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ⟨(π‘β€˜π‘–), (π‘‘β€˜π‘–)⟩)
6450, 52, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63opnvonmbllem1 45348 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) ∧ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
65643exp 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
6665adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
67663adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ ((𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
6867rexlimdvv 3211 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒)) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–)))
6941, 68mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
70693exp 1120 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺 β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))))
7170rexlimdv 3154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝑒) βŠ† 𝐺 β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–)))
7229, 71mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
73 eliun 5002 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐾 π‘₯ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7472, 73sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7574ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
76 dfss3 3971 . . . 4 (𝐺 βŠ† βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 π‘₯ ∈ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7775, 76sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
7862eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝐾 ↔ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
7978biimpi 215 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
8079adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺})
81 rabid 3453 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺} ↔ (β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
8280, 81sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺))
8382simprd 497 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8483ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
85 iunss 5049 . . . 4 (βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺 ↔ βˆ€β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8684, 85sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺)
8777, 86eqssd 4000 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–))
88 opnvonmbllem2.n . . . 4 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
891, 88dmovnsal 45328 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
90 ssrab2 4078 . . . . . 6 {β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∣ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) βŠ† 𝐺} βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋)
9162, 90eqsstri 4017 . . . . 5 𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋)
9291a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
93 qct 44072 . . . . . . 7 β„š β‰Ό Ο‰
9493a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„š β‰Ό Ο‰)
95 xpct 10011 . . . . . 6 ((β„š β‰Ό Ο‰ ∧ β„š β‰Ό Ο‰) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
9694, 94, 95syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„š Γ— β„š) β‰Ό Ο‰)
9796, 1mpct 43900 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) β‰Ό Ο‰)
98 ssct 9051 . . . 4 ((𝐾 βŠ† ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) ∧ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
9992, 97, 98syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰Ό Ο‰)
100 reex 11201 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
101100, 100xpex 7740 . . . . . . . . 9 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
102 qssre 12943 . . . . . . . . . 10 β„š βŠ† ℝ
103 xpss12 5692 . . . . . . . . . 10 ((β„š βŠ† ℝ ∧ β„š βŠ† ℝ) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
104102, 102, 103mp2an 691 . . . . . . . . 9 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
105 mapss 8883 . . . . . . . . 9 (((ℝ Γ— ℝ) ∈ V ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
106101, 104, 105mp2an 691 . . . . . . . 8 ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋) βŠ† ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋)
10791sseli 3979 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ ((β„š Γ— β„š) ↑m 𝑋))
108106, 107sselid 3981 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
109 elmapi 8843 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
110108, 109syl 17 . . . . . 6 (β„Ž ∈ 𝐾 β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
111110adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ β„Ž:π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
112 2fveq3 6897 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) = (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
113112cbvmptv 5262 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
114 2fveq3 6897 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) = (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
115114cbvmptv 5262 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘–)))
116111, 113, 115hoicoto2 45321 . . . 4 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) = X𝑖 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)))
1171adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
118111ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
119 xp1st 8007 . . . . . . 7 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
120118, 119syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
121120fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
122 xp2nd 8008 . . . . . . 7 ((β„Žβ€˜π‘˜) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
123118, 122syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
124123fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))):π‘‹βŸΆβ„)
125117, 88, 121, 124hoimbl 45347 . . . 4 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (1st β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)[,)((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ (2nd β€˜(β„Žβ€˜π‘˜)))β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
126116, 125eqeltrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝐾) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ∈ 𝑆)
12789, 99, 126saliuncl 45039 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ β„Ž ∈ 𝐾 X𝑖 ∈ 𝑋 (([,) ∘ β„Ž)β€˜π‘–) ∈ 𝑆)
12887, 127eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891   β‰Ό cdom 8937  Fincfn 8939  β„cr 11109  β„šcq 12932  β„+crp 12974  [,)cico 13326  distcds 17206  TopOpenctopn 17367  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  β„fldcrefld 21157   freeLMod cfrlm 21301  TopOnctopon 22412  toβ„‚PreHilctcph 24684  β„^crrx 24900  volncvoln 45254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-abv 20425  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-phl 21179  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-tng 24093  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-clm 24579  df-cph 24685  df-tcph 24686  df-rrx 24902  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-salg 45025  df-sumge0 45079  df-mea 45166  df-ome 45206  df-caragen 45208  df-ovoln 45253  df-voln 45255
This theorem is referenced by:  opnvonmbl  45350
  Copyright terms: Public domain W3C validator