Theorem enpr2dOLD 9071

Description: Obsolete version of enpr2d 9070 as of 23-Dec-2024. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2dOLD.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2dOLD.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2dOLD.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2dOLD	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2dOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2dOLD.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		ensn1g 9043	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4		enpr2dOLD.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
5		1on 8499	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
6		en2sn 9062	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8		enpr2dOLD.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	neqned 2938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10		disjsn2 4692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
12	5	onirri 6476	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14		disjsn 4691	. . . . 5 ⊢ ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
15	13, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16		unen 9067	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18		df-pr 4609	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19		df-suc 6369	. . 3 ⊢ suc 1o = (1o ∪ {1o})
20	17, 18, 19	3brtr4g 5157	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21		df-2o 8488	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 5165	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930  ∅c0 4313  {csn 4606  {cpr 4608   class class class wbr 5123  Oncon0 6363  suc csuc 6365  1_oc1o 8480  2_oc2o 8481   ≈ cen 8963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-1o 8487  df-2o 8488  df-en 8967

This theorem is referenced by: (None)