Theorem enpr2dOLD 9033

Description: Obsolete version of enpr2d 9032 as of 23-Dec-2024. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2dOLD.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2dOLD.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2dOLD.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2dOLD	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2dOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2dOLD.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		ensn1g 9002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4		enpr2dOLD.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
5		1on 8460	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
6		en2sn 9024	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8		enpr2dOLD.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	neqned 2946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10		disjsn2 4709	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
12	5	onirri 6466	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14		disjsn 4708	. . . . 5 ⊢ ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
15	13, 14	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16		unen 9029	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18		df-pr 4625	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19		df-suc 6359	. . 3 ⊢ suc 1o = (1o ∪ {1o})
20	17, 18, 19	3brtr4g 5175	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21		df-2o 8449	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 5183	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∪ cun 3942   ∩ cin 3943  ∅c0 4318  {csn 4622  {cpr 4624   class class class wbr 5141  Oncon0 6353  suc csuc 6355  1_oc1o 8441  2_oc2o 8442   ≈ cen 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-ord 6356  df-on 6357  df-suc 6359  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-1o 8448  df-2o 8449  df-en 8923

This theorem is referenced by: (None)