Theorem measvuni 31473

Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measvuni	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		rabid 3378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ {∅}))
3	2	simprbi 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅})
4	3	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅})
5	4	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
6	5	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
7		ssrab2 4056	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴
8		ssct 8598	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
9	7, 8	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
10	9	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
11	10	3ad2ant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
12		simp3r 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13		nfrab1 3384	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}
14		nfcv 2977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
15	13, 14	disjss1f 30322	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵))
16	7, 12, 15	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵)
17	13	measvunilem0 31472	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵))
18	1, 6, 11, 16, 17	syl112anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵))
19		rabid 3378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
20	19	simprbi 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
21	20	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
22	21	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
23	22	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
24		ssrab2 4056	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴
25		ssct 8598	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
26	24, 25	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
27	26	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
28	27	3ad2ant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
29		nfrab1 3384	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}
30	29, 14	disjss1f 30322	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
31	24, 12, 30	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
32	29	measvunilem 31471	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))
33	1, 23, 28, 31, 32	syl112anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))
34	18, 33	oveq12d 7174	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
35		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
36		nfra1 3219	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆
37		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
38		nfdisj1 5045	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
39	37, 38	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
40	35, 36, 39	nf3an 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
41	13, 29	nfun 4141	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})
42		simp2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
43		rabid2 3381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
44	42, 43	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
45		elun 4125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
46		measbase 31456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
47		0elsiga 31373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
48		snssi 4741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆)
50		undif 4430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({∅} ⊆ 𝑆 ↔ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
51	49, 50	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
52	51	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ 𝑆))
53	45, 52	syl5bbr 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ 𝑆))
54	53	rabbidv 3480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
55	54	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
56	44, 55	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))})
57		unrab 4274	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
58	56, 57	syl6eqr 2874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}))
59		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵)
60	40, 14, 41, 58, 59	iuneq12df 4945	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)
61	60	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵))
62		iunxun 5016	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
63	62	fveq2i 6673	. . . 4 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
64	61, 63	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
65	46	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
66	47	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝑆)
67		elsni 4584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
68	67	eleq1d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
69	68	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
70	66, 69	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
71	46, 3, 70	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
72	71	ralrimiva 3182	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
73	72	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
74	13	sigaclcuni 31377	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
75	65, 73, 11, 74	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
76	21	eldifad 3948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
77	76	ralrimiva 3182	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
78	77	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
79	29	sigaclcuni 31377	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
80	65, 78, 28, 79	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
81	3, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅)
82	81	iuneq2i 4940	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}∅
83		iun0 4985	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}∅ = ∅
84	82, 83	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅
85		ineq1 4181	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
86		0in 4347	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅
87	85, 86	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
88	84, 87	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
89		measun 31470	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
90	1, 75, 80, 88, 89	syl121anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
91	64, 90	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
92	40, 58	esumeq1d 31294	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀‘𝐵))
93		ctex 8524	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
94	11, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
95		ctex 8524	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
96	28, 95	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
97		inrab 4275	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
98		noel 4296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ ∅
99		disjdif 4421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) = ∅
100	99	eleq2i 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ ∅)
101	98, 100	mtbir 325	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅}))
102		elin 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
103	101, 102	mtbi 324	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
104	103	rgenw 3150	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
105		rabeq0 4338	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
106	104, 105	mpbir 233	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅
107	97, 106	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅
108	107	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅)
109	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
110	1, 71	sylan 582	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
111		measvxrge0 31464	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
112	109, 110, 111	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
113	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
114	20	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
115	114	eldifad 3948	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
116	113, 115, 111	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
117	40, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116	esumsplit 31312	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀‘𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
118	92, 117	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
119	34, 91, 118	3eqtr4d 2866	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567  ∪ cuni 4838  ∪ ciun 4919  Disj wdisj 5031   class class class wbr 5066  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ωcom 7580   ≼ cdom 8507  0cc0 10537  +∞cpnf 10672   +_𝑒 cxad 12506  [,]cicc 12742  Σ^*cesum 31286  sigAlgebracsiga 31367  measurescmeas 31454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-ac2 9885  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-disj 5032  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-acn 9371  df-ac 9542  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-ordt 16774  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-ps 17810  df-tsr 17811  df-plusf 17851  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-abv 19588  df-lmod 19636  df-scaf 19637  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-tsms 22735  df-trg 22768  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nrg 23195  df-nlm 23196  df-ii 23485  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140  df-esum 31287  df-siga 31368  df-meas 31455

This theorem is referenced by:  measiuns  31476  measinblem  31479  sibfof  31598  dstrvprob  31729