Theorem measvuni 32082

Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measvuni	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		rabid 3304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ {∅}))
3	2	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅})
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅})
5	4	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
6	5	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
7		ssrab2 4009	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴
8		ssct 8793	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
9	7, 8	mpan 686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
11	10	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
12		simp3r 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13		nfrab1 3310	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}
14		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
15	13, 14	disjss1f 30812	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵))
16	7, 12, 15	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵)
17	13	measvunilem0 32081	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵))
18	1, 6, 11, 16, 17	syl112anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵))
19		rabid 3304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
20	19	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
22	21	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
23	22	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
24		ssrab2 4009	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴
25		ssct 8793	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
26	24, 25	mpan 686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
28	27	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
29		nfrab1 3310	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}
30	29, 14	disjss1f 30812	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
31	24, 12, 30	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
32	29	measvunilem 32080	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))
33	1, 23, 28, 31, 32	syl112anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))
34	18, 33	oveq12d 7273	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
35		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
36		nfra1 3142	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆
37		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
38		nfdisj1 5049	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
39	37, 38	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
40	35, 36, 39	nf3an 1905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
41	13, 29	nfun 4095	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})
42		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
43		rabid2 3307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
44	42, 43	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
45		elun 4079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
46		measbase 32065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
47		0elsiga 31982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
48		snssi 4738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆)
50		undif 4412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({∅} ⊆ 𝑆 ↔ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
51	49, 50	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
52	51	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ 𝑆))
53	45, 52	bitr3id 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ 𝑆))
54	53	rabbidv 3404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
55	54	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
56	44, 55	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))})
57		unrab 4236	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
58	56, 57	eqtr4di 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}))
59		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵)
60	40, 14, 41, 58, 59	iuneq12df 4947	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)
61	60	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵))
62		iunxun 5019	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
63	62	fveq2i 6759	. . . 4 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
64	61, 63	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
65	46	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
66	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝑆)
67		elsni 4575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
68	67	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
69	68	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
70	66, 69	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
71	46, 3, 70	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
72	71	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
73	72	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
74	13	sigaclcuni 31986	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
75	65, 73, 11, 74	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
76	21	eldifad 3895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
77	76	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
78	77	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
79	29	sigaclcuni 31986	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
80	65, 78, 28, 79	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
81	3, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅)
82	81	iuneq2i 4942	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}∅
83		iun0 4987	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}∅ = ∅
84	82, 83	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅
85		ineq1 4136	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
86		0in 4324	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅
87	85, 86	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
88	84, 87	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
89		measun 32079	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
90	1, 75, 80, 88, 89	syl121anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
91	64, 90	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
92	40, 58	esumeq1d 31903	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀‘𝐵))
93		ctex 8708	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
94	11, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
95		ctex 8708	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
96	28, 95	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
97		inrab 4237	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
98		noel 4261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ ∅
99		disjdif 4402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) = ∅
100	99	eleq2i 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ ∅)
101	98, 100	mtbir 322	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅}))
102		elin 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
103	101, 102	mtbi 321	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
104	103	rgenw 3075	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
105		rabeq0 4315	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
106	104, 105	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅
107	97, 106	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅
108	107	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅)
109	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
110	1, 71	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
111		measvxrge0 32073	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
112	109, 110, 111	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
113	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
114	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
115	114	eldifad 3895	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
116	113, 115, 111	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
117	40, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116	esumsplit 31921	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀‘𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
118	92, 117	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
119	34, 91, 118	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  ∪ cuni 4836  ∪ ciun 4921  Disj wdisj 5035   class class class wbr 5070  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  0cc0 10802  +∞cpnf 10937   +_𝑒 cxad 12775  [,]cicc 13011  Σ^*cesum 31895  sigAlgebracsiga 31976  measurescmeas 32063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-ordt 17129  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-plusf 18240  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-abv 19992  df-lmod 20040  df-scaf 20041  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-tmd 23131  df-tgp 23132  df-tsms 23186  df-trg 23219  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nrg 23647  df-nlm 23648  df-ii 23946  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-esum 31896  df-siga 31977  df-meas 32064

This theorem is referenced by:  measiuns  32085  measinblem  32088  sibfof  32207  dstrvprob  32338