Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvuni 32813
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 rabid 3427 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}))
32simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅})
43adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅})
54ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
653ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
7 ssrab2 4037 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴
8 ssct 8995 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
97, 8mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
11103ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
12 simp3r 1202 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
13 nfrab1 3426 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}
14 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝐴
1513, 14disjss1f 31490 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵))
167, 12, 15mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)
1713measvunilem0 32812 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1374 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
19 rabid 3427 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
2019simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2221ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
23223ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
24 ssrab2 4037 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴
25 ssct 8995 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2624, 25mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
28273ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
29 nfrab1 3426 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}
3029, 14disjss1f 31490 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
3124, 12, 30mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
3229measvunilem 32811 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1374 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
3418, 33oveq12d 7375 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
35 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
36 nfra1 3267 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑆
37 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ≼ ω
38 nfdisj1 5084 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3937, 38nfan 1902 . . . . . . 7 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4035, 36, 39nf3an 1904 . . . . . 6 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
4113, 29nfun 4125 . . . . . 6 𝑥({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})
42 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
43 rabid2 3436 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆} ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
45 elun 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
46 measbase 32796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
47 0elsiga 32713 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
48 snssi 4768 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆)
50 undif 4441 . . . . . . . . . . . . 13 ({∅} ⊆ 𝑆 ↔ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5251eleq2d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5345, 52bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5453rabbidv 3415 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
55543ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
5644, 55eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))})
57 unrab 4265 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
5856, 57eqtr4di 2794 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}))
59 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵)
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 4980 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)
6160fveq2d 6846 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵))
62 iunxun 5054 . . . . 5 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
6362fveq2i 6845 . . . 4 (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
6461, 63eqtrdi 2792 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
65463ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
6647adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝑆)
67 elsni 4603 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
6867eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
6968adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
7066, 69mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵𝑆)
7146, 3, 70syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
7271ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
73723ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7413sigaclcuni 32717 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7565, 73, 11, 74syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7621eldifad 3922 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
7776ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
78773ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
7929sigaclcuni 32717 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
8065, 78, 28, 79syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
813, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅)
8281iuneq2i 4975 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅
83 iun0 5022 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅ = ∅
8482, 83eqtri 2764 . . . . 5 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅
85 ineq1 4165 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
86 0in 4353 . . . . . 6 (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅
8785, 86eqtrdi 2792 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
8884, 87mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
89 measun 32810 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
901, 75, 80, 88, 89syl121anc 1375 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9164, 90eqtrd 2776 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9240, 58esumeq1d 32634 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵))
93 ctex 8903 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
9411, 93syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
95 ctex 8903 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
9628, 95syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
97 inrab 4266 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
98 noel 4290 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝐵 ∈ ∅
99 disjdif 4431 . . . . . . . . . . 11 ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) = ∅
10099eleq2i 2829 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ ∅)
10198, 100mtbir 322 . . . . . . . . 9 ¬ 𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅}))
102 elin 3926 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
103101, 102mtbi 321 . . . . . . . 8 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
104103rgenw 3068 . . . . . . 7 𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
105 rabeq0 4344 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
106104, 105mpbir 230 . . . . . 6 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅
10797, 106eqtri 2764 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅
108107a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅)
1091adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
1101, 71sylan 580 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
111 measvxrge0 32804 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
112109, 110, 111syl2anc 584 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1131adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11420adantl 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
115114eldifad 3922 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
116113, 115, 111syl2anc 584 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
11740, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116esumsplit 32652 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11892, 117eqtrd 2776 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11934, 91, 1183eqtr4d 2786 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   cuni 4865   ciun 4954  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  cdom 8881  0cc0 11051  +∞cpnf 11186   +𝑒 cxad 13031  [,]cicc 13267  Σ*cesum 32626  sigAlgebracsiga 32707  measurescmeas 32794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tmd 23423  df-tgp 23424  df-tsms 23478  df-trg 23511  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-ii 24240  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-esum 32627  df-siga 32708  df-meas 32795
This theorem is referenced by:  measiuns  32816  measinblem  32819  sibfof  32940  dstrvprob  33071
  Copyright terms: Public domain W3C validator