Theorem measvuni 34225

Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measvuni	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		rabid 3416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ {∅}))
3	2	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅})
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅})
5	4	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
6	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
7		ssrab2 4030	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴
8		ssct 8971	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
9	7, 8	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
11	10	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
12		simp3r 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13		nfrab1 3415	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}
14		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
15	13, 14	disjss1f 32550	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵))
16	7, 12, 15	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵)
17	13	measvunilem0 34224	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵))
18	1, 6, 11, 16, 17	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵))
19		rabid 3416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
20	19	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
22	21	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
24		ssrab2 4030	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴
25		ssct 8971	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
26	24, 25	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
28	27	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
29		nfrab1 3415	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}
30	29, 14	disjss1f 32550	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
31	24, 12, 30	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
32	29	measvunilem 34223	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))
33	1, 23, 28, 31, 32	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))
34	18, 33	oveq12d 7364	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
35		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
36		nfra1 3256	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆
37		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
38		nfdisj1 5072	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
39	37, 38	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
40	35, 36, 39	nf3an 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
41	13, 29	nfun 4120	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})
42		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
43		rabid2 3428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
44	42, 43	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
45		elun 4103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
46		measbase 34208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
47		0elsiga 34125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
48		snssi 4760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆)
50		undif 4432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({∅} ⊆ 𝑆 ↔ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
52	51	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ 𝑆))
53	45, 52	bitr3id 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ 𝑆))
54	53	rabbidv 3402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
55	54	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆})
56	44, 55	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))})
57		unrab 4265	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
58	56, 57	eqtr4di 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}))
59		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵)
60	40, 14, 41, 58, 59	iuneq12df 4968	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)
61	60	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵))
62		iunxun 5042	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
63	62	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
64	61, 63	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
65	46	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
66	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝑆)
67		elsni 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
68	67	eleq1d 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
69	68	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
70	66, 69	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
71	46, 3, 70	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
72	71	ralrimiva 3124	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
73	72	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
74	13	sigaclcuni 34129	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
75	65, 73, 11, 74	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆)
76	21	eldifad 3914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
77	76	ralrimiva 3124	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
79	29	sigaclcuni 34129	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
80	65, 78, 28, 79	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆)
81	3, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅)
82	81	iuneq2i 4963	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}∅
83		iun0 5010	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}∅ = ∅
84	82, 83	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅
85		ineq1 4163	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
86		0in 4347	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅
87	85, 86	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
88	84, 87	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
89		measun 34222	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
90	1, 75, 80, 88, 89	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘(∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
91	64, 90	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ((𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
92	40, 58	esumeq1d 34046	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀‘𝐵))
93		ctex 8886	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
94	11, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
95		ctex 8886	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
96	28, 95	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
97		inrab 4266	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
98		noel 4288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ ∅
99		disjdif 4422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) = ∅
100	99	eleq2i 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ ∅)
101	98, 100	mtbir 323	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅}))
102		elin 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
103	101, 102	mtbi 322	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
104	103	rgenw 3051	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
105		rabeq0 4338	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
106	104, 105	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅
107	97, 106	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅
108	107	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅)
109	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
110	1, 71	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
111		measvxrge0 34216	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
112	109, 110, 111	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
113	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
114	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
115	114	eldifad 3914	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
116	113, 115, 111	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
117	40, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116	esumsplit 34064	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀‘𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
118	92, 117	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)))
119	34, 91, 118	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  ∪ cuni 4859  ∪ ciun 4941  Disj wdisj 5058   class class class wbr 5091  ran crn 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796   ≼ cdom 8867  0cc0 11006  +∞cpnf 11143   +_𝑒 cxad 13009  [,]cicc 13248  Σ^*cesum 34038  sigAlgebracsiga 34119  measurescmeas 34206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-ordt 17405  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-plusf 18547  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-cring 20155  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-abv 20725  df-lmod 20796  df-scaf 20797  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-fbas 21289  df-fg 21290  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-tmd 23988  df-tgp 23989  df-tsms 24043  df-trg 24076  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-nm 24498  df-ngp 24499  df-nrg 24501  df-nlm 24502  df-ii 24798  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-esum 34039  df-siga 34120  df-meas 34207

This theorem is referenced by:  measiuns  34228  measinblem  34231  sibfof  34351  dstrvprob  34483