Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvuni 33200
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 rabid 3452 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}))
32simprbi 497 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β†’ 𝐡 ∈ {βˆ…})
43adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ {βˆ…})
54ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…})
653ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…})
7 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴
8 ssct 9047 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
97, 8mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
11103ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
12 simp3r 1202 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
13 nfrab1 3451 . . . . . 6 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}
14 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐴
1513, 14disjss1f 31790 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡))
167, 12, 15mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡)
1713measvunilem0 33199 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅))
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1374 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅))
19 rabid 3452 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
2019simprbi 497 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
2221ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
23223ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
24 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴
25 ssct 9047 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
2624, 25mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
28273ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
29 nfrab1 3451 . . . . . 6 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}
3029, 14disjss1f 31790 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
3124, 12, 30mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)
3229measvunilem 33198 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅))
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1374 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅))
3418, 33oveq12d 7423 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
35 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†)
36 nfra1 3281 . . . . . . 7 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆
37 nfv 1917 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝐴 β‰Ό Ο‰
38 nfdisj1 5126 . . . . . . . 8 β„²π‘₯Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3937, 38nfan 1902 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
4035, 36, 39nf3an 1904 . . . . . 6 β„²π‘₯(𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
4113, 29nfun 4164 . . . . . 6 β„²π‘₯({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})
42 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
43 rabid2 3464 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
45 elun 4147 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
46 measbase 33183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
47 0elsiga 33100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
48 snssi 4810 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… ∈ 𝑆 β†’ {βˆ…} βŠ† 𝑆)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ {βˆ…} βŠ† 𝑆)
50 undif 4480 . . . . . . . . . . . . 13 ({βˆ…} βŠ† 𝑆 ↔ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = 𝑆)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = 𝑆)
5251eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (𝐡 ∈ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑆))
5345, 52bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ((𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑆))
5453rabbidv 3440 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
55543ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
5644, 55eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))})
57 unrab 4304 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))}
5856, 57eqtr4di 2790 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}))
59 eqidd 2733 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐡 = 𝐡)
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 5022 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡)
6160fveq2d 6892 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡))
62 iunxun 5096 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡 = (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)
6362fveq2i 6891 . . . 4 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡) = (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
6461, 63eqtrdi 2788 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
65463ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
6647adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
67 elsni 4644 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ {βˆ…} β†’ 𝐡 = βˆ…)
6867eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ {βˆ…} β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ βˆ… ∈ 𝑆))
6968adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ βˆ… ∈ 𝑆))
7066, 69mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7146, 3, 70syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7271ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
73723ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7413sigaclcuni 33104 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7565, 73, 11, 74syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7621eldifad 3959 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7776ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
78773ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
7929sigaclcuni 33104 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
8065, 78, 28, 79syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
813, 67syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β†’ 𝐡 = βˆ…)
8281iuneq2i 5017 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}βˆ…
83 iun0 5064 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}βˆ… = βˆ…
8482, 83eqtri 2760 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ…
85 ineq1 4204 . . . . . 6 (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = (βˆ… ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
86 0in 4392 . . . . . 6 (βˆ… ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…
8785, 86eqtrdi 2788 . . . . 5 (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…)
8884, 87mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…)
89 measun 33197 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
901, 75, 80, 88, 89syl121anc 1375 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
9164, 90eqtrd 2772 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
9240, 58esumeq1d 33021 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = Ξ£*π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})(π‘€β€˜π΅))
93 ctex 8955 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∈ V)
9411, 93syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∈ V)
95 ctex 8955 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ∈ V)
9628, 95syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ∈ V)
97 inrab 4305 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))}
98 noel 4329 . . . . . . . . . 10 Β¬ 𝐡 ∈ βˆ…
99 disjdif 4470 . . . . . . . . . . 11 ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = βˆ…
10099eleq2i 2825 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ βˆ…)
10198, 100mtbir 322 . . . . . . . . 9 Β¬ 𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
102 elin 3963 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
103101, 102mtbi 321 . . . . . . . 8 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
104103rgenw 3065 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
105 rabeq0 4383 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
106104, 105mpbir 230 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = βˆ…
10797, 106eqtri 2760 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = βˆ…
108107a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = βˆ…)
1091adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
1101, 71sylan 580 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
111 measvxrge0 33191 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
112109, 110, 111syl2anc 584 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
1131adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
11420adantl 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
115114eldifad 3959 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
116113, 115, 111syl2anc 584 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
11740, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116esumsplit 33039 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})(π‘€β€˜π΅) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
11892, 117eqtrd 2772 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
11934, 91, 1183eqtr4d 2782 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8933  0cc0 11106  +∞cpnf 11241   +𝑒 cxad 13086  [,]cicc 13323  Ξ£*cesum 33013  sigAlgebracsiga 33094  measurescmeas 33181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622  df-trg 23655  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-ii 24384  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-esum 33014  df-siga 33095  df-meas 33182
This theorem is referenced by:  measiuns  33203  measinblem  33206  sibfof  33327  dstrvprob  33458
  Copyright terms: Public domain W3C validator