Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvuni 33890
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 rabid 3440 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}))
32simprbi 495 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β†’ 𝐡 ∈ {βˆ…})
43adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ {βˆ…})
54ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…})
653ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…})
7 ssrab2 4069 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴
8 ssct 9074 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
97, 8mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
109adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
11103ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
12 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
13 nfrab1 3439 . . . . . 6 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}
14 nfcv 2892 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐴
1513, 14disjss1f 32407 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡))
167, 12, 15mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡)
1713measvunilem0 33889 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅))
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1371 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅))
19 rabid 3440 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
2019simprbi 495 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
2120adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
2221ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
23223ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
24 ssrab2 4069 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴
25 ssct 9074 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
2624, 25mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
2726adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
28273ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
29 nfrab1 3439 . . . . . 6 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}
3029, 14disjss1f 32407 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
3124, 12, 30mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)
3229measvunilem 33888 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅))
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1371 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅))
3418, 33oveq12d 7434 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
35 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†)
36 nfra1 3272 . . . . . . 7 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆
37 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝐴 β‰Ό Ο‰
38 nfdisj1 5122 . . . . . . . 8 β„²π‘₯Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3937, 38nfan 1894 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
4035, 36, 39nf3an 1896 . . . . . 6 β„²π‘₯(𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
4113, 29nfun 4158 . . . . . 6 β„²π‘₯({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})
42 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
43 rabid2 3453 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
45 elun 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
46 measbase 33873 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
47 0elsiga 33790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
48 snssi 4807 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… ∈ 𝑆 β†’ {βˆ…} βŠ† 𝑆)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ {βˆ…} βŠ† 𝑆)
50 undif 4477 . . . . . . . . . . . . 13 ({βˆ…} βŠ† 𝑆 ↔ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = 𝑆)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = 𝑆)
5251eleq2d 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (𝐡 ∈ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑆))
5345, 52bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ((𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑆))
5453rabbidv 3427 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
55543ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
5644, 55eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))})
57 unrab 4300 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))}
5856, 57eqtr4di 2783 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}))
59 eqidd 2726 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐡 = 𝐡)
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 5017 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡)
6160fveq2d 6896 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡))
62 iunxun 5092 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡 = (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)
6362fveq2i 6895 . . . 4 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡) = (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
6461, 63eqtrdi 2781 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
65463ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
6647adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
67 elsni 4641 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ {βˆ…} β†’ 𝐡 = βˆ…)
6867eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ {βˆ…} β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ βˆ… ∈ 𝑆))
6968adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ βˆ… ∈ 𝑆))
7066, 69mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7146, 3, 70syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7271ralrimiva 3136 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
73723ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7413sigaclcuni 33794 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7565, 73, 11, 74syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7621eldifad 3951 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7776ralrimiva 3136 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
78773ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
7929sigaclcuni 33794 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
8065, 78, 28, 79syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
813, 67syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β†’ 𝐡 = βˆ…)
8281iuneq2i 5012 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}βˆ…
83 iun0 5060 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}βˆ… = βˆ…
8482, 83eqtri 2753 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ…
85 ineq1 4199 . . . . . 6 (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = (βˆ… ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
86 0in 4389 . . . . . 6 (βˆ… ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…
8785, 86eqtrdi 2781 . . . . 5 (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…)
8884, 87mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…)
89 measun 33887 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
901, 75, 80, 88, 89syl121anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
9164, 90eqtrd 2765 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
9240, 58esumeq1d 33711 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = Ξ£*π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})(π‘€β€˜π΅))
93 ctex 8982 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∈ V)
9411, 93syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∈ V)
95 ctex 8982 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ∈ V)
9628, 95syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ∈ V)
97 inrab 4301 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))}
98 noel 4326 . . . . . . . . . 10 Β¬ 𝐡 ∈ βˆ…
99 disjdif 4467 . . . . . . . . . . 11 ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = βˆ…
10099eleq2i 2817 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ βˆ…)
10198, 100mtbir 322 . . . . . . . . 9 Β¬ 𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
102 elin 3955 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
103101, 102mtbi 321 . . . . . . . 8 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
104103rgenw 3055 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
105 rabeq0 4380 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
106104, 105mpbir 230 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = βˆ…
10797, 106eqtri 2753 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = βˆ…
108107a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = βˆ…)
1091adantr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
1101, 71sylan 578 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
111 measvxrge0 33881 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
112109, 110, 111syl2anc 582 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
1131adantr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
11420adantl 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
115114eldifad 3951 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
116113, 115, 111syl2anc 582 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
11740, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116esumsplit 33729 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})(π‘€β€˜π΅) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
11892, 117eqtrd 2765 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
11934, 91, 1183eqtr4d 2775 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903  βˆͺ ciun 4991  Disj wdisj 5108   class class class wbr 5143  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Ο‰com 7868   β‰Ό cdom 8960  0cc0 11138  +∞cpnf 11275   +𝑒 cxad 13122  [,]cicc 13359  Ξ£*cesum 33703  sigAlgebracsiga 33784  measurescmeas 33871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-ordt 17482  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-abv 20701  df-lmod 20749  df-scaf 20750  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tmd 23994  df-tgp 23995  df-tsms 24049  df-trg 24082  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-nrg 24512  df-nlm 24513  df-ii 24815  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-esum 33704  df-siga 33785  df-meas 33872
This theorem is referenced by:  measiuns  33893  measinblem  33896  sibfof  34017  dstrvprob  34148
  Copyright terms: Public domain W3C validator