Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvuni 33742
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 rabid 3446 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}))
32simprbi 496 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β†’ 𝐡 ∈ {βˆ…})
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ {βˆ…})
54ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…})
653ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…})
7 ssrab2 4072 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴
8 ssct 9053 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
97, 8mpan 687 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
11103ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰)
12 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
13 nfrab1 3445 . . . . . 6 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}
14 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐴
1513, 14disjss1f 32312 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡))
167, 12, 15mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡)
1713measvunilem0 33741 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅))
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1371 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅))
19 rabid 3446 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
2019simprbi 496 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
2221ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
23223ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
24 ssrab2 4072 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴
25 ssct 9053 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
2624, 25mpan 687 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
28273ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰)
29 nfrab1 3445 . . . . . 6 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}
3029, 14disjss1f 32312 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} βŠ† 𝐴 β†’ (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
3124, 12, 30mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)
3229measvunilem 33740 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅))
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1371 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅))
3418, 33oveq12d 7423 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
35 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†)
36 nfra1 3275 . . . . . . 7 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆
37 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝐴 β‰Ό Ο‰
38 nfdisj1 5120 . . . . . . . 8 β„²π‘₯Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3937, 38nfan 1894 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
4035, 36, 39nf3an 1896 . . . . . 6 β„²π‘₯(𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
4113, 29nfun 4160 . . . . . 6 β„²π‘₯({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})
42 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
43 rabid2 3458 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
45 elun 4143 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
46 measbase 33725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
47 0elsiga 33642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
48 snssi 4806 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… ∈ 𝑆 β†’ {βˆ…} βŠ† 𝑆)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ {βˆ…} βŠ† 𝑆)
50 undif 4476 . . . . . . . . . . . . 13 ({βˆ…} βŠ† 𝑆 ↔ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = 𝑆)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = 𝑆)
5251eleq2d 2813 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (𝐡 ∈ ({βˆ…} βˆͺ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑆))
5345, 52bitr3id 285 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ((𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑆))
5453rabbidv 3434 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
55543ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ 𝑆})
5644, 55eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))})
57 unrab 4300 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∨ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))}
5856, 57eqtr4di 2784 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}))
59 eqidd 2727 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐡 = 𝐡)
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 5016 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡)
6160fveq2d 6889 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡))
62 iunxun 5090 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡 = (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)
6362fveq2i 6888 . . . 4 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})𝐡) = (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
6461, 63eqtrdi 2782 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
65463ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
6647adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
67 elsni 4640 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ {βˆ…} β†’ 𝐡 = βˆ…)
6867eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ {βˆ…} β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ βˆ… ∈ 𝑆))
6968adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ βˆ… ∈ 𝑆))
7066, 69mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ {βˆ…}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7146, 3, 70syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7271ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
73723ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7413sigaclcuni 33646 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7565, 73, 11, 74syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆)
7621eldifad 3955 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
7776ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
78773ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
7929sigaclcuni 33646 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
8065, 78, 28, 79syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆)
813, 67syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β†’ 𝐡 = βˆ…)
8281iuneq2i 5011 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}βˆ…
83 iun0 5058 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}βˆ… = βˆ…
8482, 83eqtri 2754 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ…
85 ineq1 4200 . . . . . 6 (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = (βˆ… ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡))
86 0in 4388 . . . . . 6 (βˆ… ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…
8785, 86eqtrdi 2782 . . . . 5 (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…)
8884, 87mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…)
89 measun 33739 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
901, 75, 80, 88, 89syl121anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡 βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
9164, 90eqtrd 2766 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}𝐡) +𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}𝐡)))
9240, 58esumeq1d 33563 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = Ξ£*π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})(π‘€β€˜π΅))
93 ctex 8961 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∈ V)
9411, 93syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∈ V)
95 ctex 8961 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} β‰Ό Ο‰ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ∈ V)
9628, 95syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} ∈ V)
97 inrab 4301 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))}
98 noel 4325 . . . . . . . . . 10 Β¬ 𝐡 ∈ βˆ…
99 disjdif 4466 . . . . . . . . . . 11 ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) = βˆ…
10099eleq2i 2819 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ 𝐡 ∈ βˆ…)
10198, 100mtbir 323 . . . . . . . . 9 Β¬ 𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
102 elin 3959 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ({βˆ…} ∩ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) ↔ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
103101, 102mtbi 322 . . . . . . . 8 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
104103rgenw 3059 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
105 rabeq0 4379 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})))
106104, 105mpbir 230 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))} = βˆ…
10797, 106eqtri 2754 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = βˆ…
108107a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) = βˆ…)
1091adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
1101, 71sylan 579 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
111 measvxrge0 33733 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
112109, 110, 111syl2anc 583 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}}) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
1131adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
11420adantl 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
115114eldifad 3955 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
116113, 115, 111syl2anc 583 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})}) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
11740, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116esumsplit 33581 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})})(π‘€β€˜π΅) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
11892, 117eqtrd 2766 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = (Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ {βˆ…}} (π‘€β€˜π΅) +𝑒 Ξ£*π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})} (π‘€β€˜π΅)))
11934, 91, 1183eqtr4d 2776 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990  Disj wdisj 5106   class class class wbr 5141  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Ο‰com 7852   β‰Ό cdom 8939  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   +𝑒 cxad 13096  [,]cicc 13333  Ξ£*cesum 33555  sigAlgebracsiga 33636  measurescmeas 33723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-plusf 18572  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-abv 20660  df-lmod 20708  df-scaf 20709  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tmd 23931  df-tgp 23932  df-tsms 23986  df-trg 24019  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nrg 24449  df-nlm 24450  df-ii 24752  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-esum 33556  df-siga 33637  df-meas 33724
This theorem is referenced by:  measiuns  33745  measinblem  33748  sibfof  33869  dstrvprob  34000
  Copyright terms: Public domain W3C validator