Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvuni 31686
 Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 rabid 3294 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}))
32simprbi 501 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅})
43adantl 486 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅})
54ralrimiva 3111 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
653ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
7 ssrab2 3980 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴
8 ssct 8611 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
97, 8mpan 690 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
109adantr 485 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
11103ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
12 simp3r 1200 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
13 nfrab1 3300 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}
14 nfcv 2917 . . . . . 6 𝑥𝐴
1513, 14disjss1f 30418 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵))
167, 12, 15mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)
1713measvunilem0 31685 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
19 rabid 3294 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
2019simprbi 501 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2120adantl 486 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2221ralrimiva 3111 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
23223ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
24 ssrab2 3980 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴
25 ssct 8611 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2624, 25mpan 690 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2726adantr 485 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
28273ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
29 nfrab1 3300 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}
3029, 14disjss1f 30418 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
3124, 12, 30mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
3229measvunilem 31684 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
3418, 33oveq12d 7161 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
35 nfv 1916 . . . . . . 7 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
36 nfra1 3145 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑆
37 nfv 1916 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ≼ ω
38 nfdisj1 5004 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3937, 38nfan 1901 . . . . . . 7 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4035, 36, 39nf3an 1903 . . . . . 6 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
4113, 29nfun 4066 . . . . . 6 𝑥({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})
42 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
43 rabid2 3297 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆} ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
4442, 43sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
45 elun 4050 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
46 measbase 31669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
47 0elsiga 31586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
48 snssi 4691 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆)
50 undif 4371 . . . . . . . . . . . . 13 ({∅} ⊆ 𝑆 ↔ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5149, 50sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5251eleq2d 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5345, 52bitr3id 288 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5453rabbidv 3390 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
55543ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
5644, 55eqtr4d 2797 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))})
57 unrab 4204 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
5856, 57eqtr4di 2812 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}))
59 eqidd 2760 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵)
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 4902 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)
6160fveq2d 6655 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵))
62 iunxun 4974 . . . . 5 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
6362fveq2i 6654 . . . 4 (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
6461, 63eqtrdi 2810 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
65463ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
6647adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝑆)
67 elsni 4532 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
6867eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
6968adantl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
7066, 69mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵𝑆)
7146, 3, 70syl2an 599 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
7271ralrimiva 3111 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
73723ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7413sigaclcuni 31590 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7565, 73, 11, 74syl3anc 1369 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7621eldifad 3866 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
7776ralrimiva 3111 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
78773ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
7929sigaclcuni 31590 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
8065, 78, 28, 79syl3anc 1369 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
813, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅)
8281iuneq2i 4897 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅
83 iun0 4943 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅ = ∅
8482, 83eqtri 2782 . . . . 5 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅
85 ineq1 4105 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
86 0in 4283 . . . . . 6 (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅
8785, 86eqtrdi 2810 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
8884, 87mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
89 measun 31683 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
901, 75, 80, 88, 89syl121anc 1373 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9164, 90eqtrd 2794 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9240, 58esumeq1d 31507 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵))
93 ctex 8535 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
9411, 93syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
95 ctex 8535 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
9628, 95syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
97 inrab 4205 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
98 noel 4226 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝐵 ∈ ∅
99 disjdif 4361 . . . . . . . . . . 11 ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) = ∅
10099eleq2i 2842 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ ∅)
10198, 100mtbir 327 . . . . . . . . 9 ¬ 𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅}))
102 elin 3870 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
103101, 102mtbi 326 . . . . . . . 8 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
104103rgenw 3080 . . . . . . 7 𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
105 rabeq0 4274 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
106104, 105mpbir 234 . . . . . 6 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅
10797, 106eqtri 2782 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅
108107a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅)
1091adantr 485 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
1101, 71sylan 584 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
111 measvxrge0 31677 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
112109, 110, 111syl2anc 588 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1131adantr 485 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11420adantl 486 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
115114eldifad 3866 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
116113, 115, 111syl2anc 588 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
11740, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116esumsplit 31525 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11892, 117eqtrd 2794 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11934, 91, 1183eqtr4d 2804 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3068  {crab 3072  Vcvv 3407   ∖ cdif 3851   ∪ cun 3852   ∩ cin 3853   ⊆ wss 3854  ∅c0 4221  {csn 4515  ∪ cuni 4791  ∪ ciun 4876  Disj wdisj 4990   class class class wbr 5025  ran crn 5518  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ωcom 7572   ≼ cdom 8518  0cc0 10560  +∞cpnf 10695   +𝑒 cxad 12531  [,]cicc 12767  Σ*cesum 31499  sigAlgebracsiga 31580  measurescmeas 31667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-ac2 9908  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638  ax-addf 10639  ax-mulf 10640 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-disj 4991  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-of 7398  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8473  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-fi 8893  df-sup 8924  df-inf 8925  df-oi 8992  df-dju 9348  df-card 9386  df-acn 9389  df-ac 9561  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-xneg 12533  df-xadd 12534  df-xmul 12535  df-ioo 12768  df-ioc 12769  df-ico 12770  df-icc 12771  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-fl 13196  df-mod 13272  df-seq 13404  df-exp 13465  df-fac 13669  df-bc 13698  df-hash 13726  df-shft 14459  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-limsup 14861  df-clim 14878  df-rlim 14879  df-sum 15076  df-ef 15454  df-sin 15456  df-cos 15457  df-pi 15459  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-starv 16623  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-unif 16631  df-hom 16632  df-cco 16633  df-rest 16739  df-topn 16740  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-topgen 16760  df-pt 16761  df-prds 16764  df-ordt 16817  df-xrs 16818  df-qtop 16823  df-imas 16824  df-xps 16826  df-mre 16900  df-mrc 16901  df-acs 16903  df-ps 17861  df-tsr 17862  df-plusf 17902  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-mhm 18007  df-submnd 18008  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-mulg 18277  df-subg 18328  df-cntz 18499  df-cmn 18960  df-abl 18961  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-cring 19353  df-subrg 19586  df-abv 19641  df-lmod 19689  df-scaf 19690  df-sra 19997  df-rgmod 19998  df-psmet 20143  df-xmet 20144  df-met 20145  df-bl 20146  df-mopn 20147  df-fbas 20148  df-fg 20149  df-cnfld 20152  df-top 21579  df-topon 21596  df-topsp 21618  df-bases 21631  df-cld 21704  df-ntr 21705  df-cls 21706  df-nei 21783  df-lp 21821  df-perf 21822  df-cn 21912  df-cnp 21913  df-haus 22000  df-tx 22247  df-hmeo 22440  df-fil 22531  df-fm 22623  df-flim 22624  df-flf 22625  df-tmd 22757  df-tgp 22758  df-tsms 22812  df-trg 22845  df-xms 23007  df-ms 23008  df-tms 23009  df-nm 23269  df-ngp 23270  df-nrg 23272  df-nlm 23273  df-ii 23563  df-cncf 23564  df-limc 24550  df-dv 24551  df-log 25232  df-esum 31500  df-siga 31581  df-meas 31668 This theorem is referenced by:  measiuns  31689  measinblem  31692  sibfof  31811  dstrvprob  31942
 Copyright terms: Public domain W3C validator