Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvuni 34047
Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 rabid 3440 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}))
32simprbi 495 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅})
43adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅})
54ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
653ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
7 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴
8 ssct 9089 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
97, 8mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
109adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
11103ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
12 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
13 nfrab1 3439 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}
14 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑥𝐴
1513, 14disjss1f 32492 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵))
167, 12, 15mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)
1713measvunilem0 34046 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1371 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
19 rabid 3440 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
2019simprbi 495 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2120adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2221ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
23223ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
24 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴
25 ssct 9089 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2624, 25mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2726adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
28273ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
29 nfrab1 3439 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}
3029, 14disjss1f 32492 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
3124, 12, 30mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
3229measvunilem 34045 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1371 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
3418, 33oveq12d 7442 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
35 nfv 1910 . . . . . . 7 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
36 nfra1 3272 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑆
37 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ≼ ω
38 nfdisj1 5132 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3937, 38nfan 1895 . . . . . . 7 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4035, 36, 39nf3an 1897 . . . . . 6 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
4113, 29nfun 4165 . . . . . 6 𝑥({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})
42 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
43 rabid2 3453 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆} ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
45 elun 4148 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
46 measbase 34030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
47 0elsiga 33947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
48 snssi 4817 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆)
50 undif 4486 . . . . . . . . . . . . 13 ({∅} ⊆ 𝑆 ↔ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5251eleq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5345, 52bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5453rabbidv 3427 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
55543ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
5644, 55eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))})
57 unrab 4307 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
5856, 57eqtr4di 2784 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}))
59 eqidd 2727 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵)
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 5027 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)
6160fveq2d 6905 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵))
62 iunxun 5102 . . . . 5 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
6362fveq2i 6904 . . . 4 (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
6461, 63eqtrdi 2782 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
65463ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
6647adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝑆)
67 elsni 4650 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
6867eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
6968adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
7066, 69mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵𝑆)
7146, 3, 70syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
7271ralrimiva 3136 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
73723ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7413sigaclcuni 33951 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7565, 73, 11, 74syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7621eldifad 3959 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
7776ralrimiva 3136 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
78773ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
7929sigaclcuni 33951 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
8065, 78, 28, 79syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
813, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅)
8281iuneq2i 5022 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅
83 iun0 5070 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅ = ∅
8482, 83eqtri 2754 . . . . 5 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅
85 ineq1 4206 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
86 0in 4398 . . . . . 6 (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅
8785, 86eqtrdi 2782 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
8884, 87mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
89 measun 34044 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
901, 75, 80, 88, 89syl121anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9164, 90eqtrd 2766 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9240, 58esumeq1d 33868 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵))
93 ctex 8994 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
9411, 93syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
95 ctex 8994 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
9628, 95syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
97 inrab 4308 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
98 noel 4333 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝐵 ∈ ∅
99 disjdif 4476 . . . . . . . . . . 11 ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) = ∅
10099eleq2i 2818 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ ∅)
10198, 100mtbir 322 . . . . . . . . 9 ¬ 𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅}))
102 elin 3963 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
103101, 102mtbi 321 . . . . . . . 8 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
104103rgenw 3055 . . . . . . 7 𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
105 rabeq0 4389 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
106104, 105mpbir 230 . . . . . 6 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅
10797, 106eqtri 2754 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅
108107a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅)
1091adantr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
1101, 71sylan 578 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
111 measvxrge0 34038 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
112109, 110, 111syl2anc 582 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1131adantr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11420adantl 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
115114eldifad 3959 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
116113, 115, 111syl2anc 582 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
11740, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116esumsplit 33886 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11892, 117eqtrd 2766 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11934, 91, 1183eqtr4d 2776 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4325  {csn 4633   cuni 4913   ciun 5001  Disj wdisj 5118   class class class wbr 5153  ran crn 5683  cfv 6554  (class class class)co 7424  ωcom 7876  cdom 8972  0cc0 11158  +∞cpnf 11295   +𝑒 cxad 13144  [,]cicc 13381  Σ*cesum 33860  sigAlgebracsiga 33941  measurescmeas 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-ac2 10506  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-ac 10159  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-ordt 17516  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-ps 18591  df-tsr 18592  df-plusf 18632  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-abv 20788  df-lmod 20838  df-scaf 20839  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-tmd 24067  df-tgp 24068  df-tsms 24122  df-trg 24155  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-nm 24582  df-ngp 24583  df-nrg 24585  df-nlm 24586  df-ii 24888  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-esum 33861  df-siga 33942  df-meas 34029
This theorem is referenced by:  measiuns  34050  measinblem  34053  sibfof  34174  dstrvprob  34305
  Copyright terms: Public domain W3C validator