Proof of Theorem measvuni
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simp1 1137 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)) | 
| 2 |  | rabid 3458 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ {∅})) | 
| 3 | 2 | simprbi 496 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅}) | 
| 4 | 3 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅}) | 
| 5 | 4 | ralrimiva 3146 | . . . . 5
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅}) | 
| 6 | 5 | 3ad2ant1 1134 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅}) | 
| 7 |  | ssrab2 4080 | . . . . . . 7
⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 | 
| 8 |  | ssct 9091 | . . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼
ω) | 
| 9 | 7, 8 | mpan 690 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼
ω) | 
| 10 | 9 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧
Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼
ω) | 
| 11 | 10 | 3ad2ant3 1136 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼
ω) | 
| 12 |  | simp3r 1203 | . . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) | 
| 13 |  | nfrab1 3457 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} | 
| 14 |  | nfcv 2905 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥𝐴 | 
| 15 | 13, 14 | disjss1f 32585 | . . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) | 
| 16 | 7, 12, 15 | mpsyl 68 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) | 
| 17 | 13 | measvunilem0 34214 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧
Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵)) | 
| 18 | 1, 6, 11, 16, 17 | syl112anc 1376 | . . 3
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵)) | 
| 19 |  | rabid 3458 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))) | 
| 20 | 19 | simprbi 496 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) | 
| 21 | 20 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) | 
| 22 | 21 | ralrimiva 3146 | . . . . 5
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) | 
| 23 | 22 | 3ad2ant1 1134 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) | 
| 24 |  | ssrab2 4080 | . . . . . . 7
⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 | 
| 25 |  | ssct 9091 | . . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼
ω) | 
| 26 | 24, 25 | mpan 690 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼
ω) | 
| 27 | 26 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧
Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼
ω) | 
| 28 | 27 | 3ad2ant3 1136 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼
ω) | 
| 29 |  | nfrab1 3457 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} | 
| 30 | 29, 14 | disjss1f 32585 | . . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) | 
| 31 | 24, 12, 30 | mpsyl 68 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) | 
| 32 | 29 | measvunilem 34213 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧
Disj 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)) | 
| 33 | 1, 23, 28, 31, 32 | syl112anc 1376 | . . 3
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵)) | 
| 34 | 18, 33 | oveq12d 7449 | . 2
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒
Σ*𝑥 ∈
{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))) | 
| 35 |  | nfv 1914 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆) | 
| 36 |  | nfra1 3284 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 | 
| 37 |  | nfv 1914 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥 𝐴 ≼
ω | 
| 38 |  | nfdisj1 5124 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥Disj
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 | 
| 39 | 37, 38 | nfan 1899 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧
Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) | 
| 40 | 35, 36, 39 | nf3an 1901 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) | 
| 41 | 13, 29 | nfun 4170 | . . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) | 
| 42 |  | simp2 1138 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 43 |  | rabid2 3470 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 44 | 42, 43 | sylibr 234 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆}) | 
| 45 |  | elun 4153 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔
(𝐵 ∈ {∅} ∨
𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))) | 
| 46 |  | measbase 34198 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran
sigAlgebra) | 
| 47 |  | 0elsiga 34115 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆) | 
| 48 |  | snssi 4808 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (∅
∈ 𝑆 → {∅}
⊆ 𝑆) | 
| 49 | 46, 47, 48 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆) | 
| 50 |  | undif 4482 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
({∅} ⊆ 𝑆
↔ ({∅} ∪ (𝑆
∖ {∅})) = 𝑆) | 
| 51 | 49, 50 | sylib 218 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆) | 
| 52 | 51 | eleq2d 2827 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ 𝑆)) | 
| 53 | 45, 52 | bitr3id 285 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ 𝑆)) | 
| 54 | 53 | rabbidv 3444 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆}) | 
| 55 | 54 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ 𝑆}) | 
| 56 | 44, 55 | eqtr4d 2780 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}) | 
| 57 |  | unrab 4315 | . . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} | 
| 58 | 56, 57 | eqtr4di 2795 | . . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})) | 
| 59 |  | eqidd 2738 | . . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵) | 
| 60 | 40, 14, 41, 58, 59 | iuneq12df 5018 | . . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) | 
| 61 | 60 | fveq2d 6910 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪
𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)) | 
| 62 |  | iunxun 5094 | . . . . 5
⊢ ∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = (∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) | 
| 63 | 62 | fveq2i 6909 | . . . 4
⊢ (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘(∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) | 
| 64 | 61, 63 | eqtrdi 2793 | . . 3
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘(∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))) | 
| 65 | 46 | 3ad2ant1 1134 | . . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑆 ∈ ∪ ran
sigAlgebra) | 
| 66 | 47 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈
𝑆) | 
| 67 |  | elsni 4643 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅) | 
| 68 | 67 | eleq1d 2826 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆)) | 
| 69 | 68 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆)) | 
| 70 | 66, 69 | mpbird 257 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 71 | 46, 3, 70 | syl2an 596 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 72 | 71 | ralrimiva 3146 | . . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 73 | 72 | 3ad2ant1 1134 | . . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 74 | 13 | sigaclcuni 34119 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) →
∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 75 | 65, 73, 11, 74 | syl3anc 1373 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 76 | 21 | eldifad 3963 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 77 | 76 | ralrimiva 3146 | . . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 78 | 77 | 3ad2ant1 1134 | . . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 79 | 29 | sigaclcuni 34119 | . . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) →
∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 80 | 65, 78, 28, 79 | syl3anc 1373 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 81 | 3, 67 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅) | 
| 82 | 81 | iuneq2i 5013 | . . . . . 6
⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}∅ | 
| 83 |  | iun0 5062 | . . . . . 6
⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}∅ =
∅ | 
| 84 | 82, 83 | eqtri 2765 | . . . . 5
⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ | 
| 85 |  | ineq1 4213 | . . . . . 6
⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) | 
| 86 |  | 0in 4397 | . . . . . 6
⊢ (∅
∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅ | 
| 87 | 85, 86 | eqtrdi 2793 | . . . . 5
⊢ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) | 
| 88 | 84, 87 | mp1i 13 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) | 
| 89 |  | measun 34212 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (∪ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∩ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘(∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))) | 
| 90 | 1, 75, 80, 88, 89 | syl121anc 1377 | . . 3
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘(∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∪ ∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))) | 
| 91 | 64, 90 | eqtrd 2777 | . 2
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = ((𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀‘∪
𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))) | 
| 92 | 40, 58 | esumeq1d 34036 | . . 3
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀‘𝐵)) | 
| 93 |  | ctex 9004 | . . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω →
{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∈
V) | 
| 94 | 11, 93 | syl 17 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∈
V) | 
| 95 |  | ctex 9004 | . . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω →
{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈
V) | 
| 96 | 28, 95 | syl 17 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈
V) | 
| 97 |  | inrab 4316 | . . . . . 6
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} | 
| 98 |  | noel 4338 | . . . . . . . . . 10
⊢  ¬
𝐵 ∈
∅ | 
| 99 |  | disjdif 4472 | . . . . . . . . . . 11
⊢
({∅} ∩ (𝑆
∖ {∅})) = ∅ | 
| 100 | 99 | eleq2i 2833 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔
𝐵 ∈
∅) | 
| 101 | 98, 100 | mtbir 323 | . . . . . . . . 9
⊢  ¬
𝐵 ∈ ({∅} ∩
(𝑆 ∖
{∅})) | 
| 102 |  | elin 3967 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔
(𝐵 ∈ {∅} ∧
𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))) | 
| 103 | 101, 102 | mtbi 322 | . . . . . . . 8
⊢  ¬
(𝐵 ∈ {∅} ∧
𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) | 
| 104 | 103 | rgenw 3065 | . . . . . . 7
⊢
∀𝑥 ∈
𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) | 
| 105 |  | rabeq0 4388 | . . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔
∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))) | 
| 106 | 104, 105 | mpbir 231 | . . . . . 6
⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} =
∅ | 
| 107 | 97, 106 | eqtri 2765 | . . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) =
∅ | 
| 108 | 107 | a1i 11 | . . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) =
∅) | 
| 109 | 1 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)) | 
| 110 | 1, 71 | sylan 580 | . . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 111 |  | measvxrge0 34206 | . . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞)) | 
| 112 | 109, 110,
111 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞)) | 
| 113 | 1 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)) | 
| 114 | 20 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) | 
| 115 | 114 | eldifad 3963 | . . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ 𝑆) | 
| 116 | 113, 115,
111 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞)) | 
| 117 | 40, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116 | esumsplit 34054 | . . 3
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀‘𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒
Σ*𝑥 ∈
{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))) | 
| 118 | 92, 117 | eqtrd 2777 | . 2
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ {∅}} (𝑀‘𝐵) +𝑒
Σ*𝑥 ∈
{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀‘𝐵))) | 
| 119 | 34, 91, 118 | 3eqtr4d 2787 | 1
⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵)) |