Theorem salexct 46791

Description: An example of nontrivial sigma-algebra: the collection of all subsets which either are countable or have countable complement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
salexct.b	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}

Assertion

Ref	Expression
salexct	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem salexct

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
2		salexct.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	pwexd 5311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		rabexg 5268	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ∈ V)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
7		0elpw 5287	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐴)
9		0fi 8983	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
10		fict 9569	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ Fin → ∅ ≼ ω)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ ω
12	11	orci 872	. . . . 5 ⊢ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω))
14	8, 13	jca 517	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
15		breq1 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≼ ω ↔ ∅ ≼ ω))
16		difeq2 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ ∅))
17	16	breq1d 5085	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω))
18	15, 17	orbi12d 925	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
19	18, 1	elrab2 3634	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
20	14, 19	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
21		snidg 4595	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ {𝑦})
22		snelpwi 5386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
23		snfi 8984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
24		fict 9569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ≼ ω
26	25	orci 872	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
28	22, 27	jca 517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29		breq1 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30		difeq2 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
31	30	breq1d 5085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
32	29, 31	orbi12d 925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
33	32, 1	elrab2 3634	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝑆)
35		elunii 4846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦} ∧ {𝑦} ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
36	21, 34, 35	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
37	36	rgen 3057	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝑆
38		dfss3 3906	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
39	37, 38	mpbir 233	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆
40		ssrab2 4014	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ⊆ 𝒫 𝐴
41	1, 40	eqsstri 3963	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝐴
42	41	unissi 4850	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
43		unipw 5392	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
44	42, 43	sseqtri 3965	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ 𝐴
45	39, 44	eqssi 3933	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
46		difssd 4070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴)
47	2, 46	ssexd 5255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ V)
48		elpwg 4535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴))
50	46, 49	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
51	50	ad2antrr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
52	41	sseli 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
53		elpwi 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
55		dfss4 4200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
56	54, 55	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
57	56	ad2antlr 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
58		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
59	57, 58	eqbrtrd 5097	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)
60		olc 875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
62	51, 61	jca 517	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
63		breq1 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
64		difeq2 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝐴 ∖ 𝑦) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)))
65	64	breq1d 5085	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
66	63, 65	orbi12d 925	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) ↔ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
67		breq1 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑦 ≼ ω))
68		difeq2 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑦))
69	68	breq1d 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
70	67, 69	orbi12d 925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
71	70	cbvrabv 3403	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)}
72	1, 71	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)}
73	66, 72	elrab2 3634	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
74	62, 73	sylibr 236	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
75	50	ad2antrr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
76	1	reqabi 3416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)))
77	76	biimpi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)))
78	77	simprd 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
79	78	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
80	79	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
81		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ¬ 𝑥 ≼ ω)
82		pm2.53 858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) → (¬ 𝑥 ≼ ω → (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
83	80, 81, 82	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)
84		orc 874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
85	83, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
86	75, 85	jca 517	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
87	86, 73	sylibr 236	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
88	74, 87	pm2.61dan 819	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
89		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
90	89	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑆)
91		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
92	90, 91	sseldd 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑆)
93	41	sseli 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
94		elpwi 4539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑦 ⊆ 𝐴)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ⊆ 𝐴)
96	92, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
97	96	ralrimiva 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ⊆ 𝐴)
98		unissb 4874	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ⊆ 𝐴)
99	97, 98	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∪ 𝑥 ⊆ 𝐴)
100		vuniex 7686	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
101	100	elpw 4536	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝑥 ⊆ 𝐴)
102	99, 101	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
103	102	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
104		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω))
105	104	adantll 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω))
106		unictb 10493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ≼ ω)
107		orc 874	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ≼ ω → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
108	105, 106, 107	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
109		rexnal 3093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω)
110	109	bilanri 508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω)
111		nfv 1922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆
112		nfra1 3265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω
113	112	nfn 1865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω
114	111, 113	nfan 1907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω)
115		nfv 1922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω
116		elssuni 4872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑥)
117	116	3ad2ant2 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑥)
118	117	sscond 4079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑦))
119	92	3adant3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ∈ 𝑆)
120		simp3 1145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → ¬ 𝑦 ≼ ω)
121	72	reqabi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
122	121	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
123	122	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
124	123	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
125		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → ¬ 𝑦 ≼ ω)
126		pm2.53 858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
127	124, 125, 126	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)
128	119, 120, 127	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)
129		ssct 8990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
130	118, 128, 129	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
131	130	3exp 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
132	131	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
133	114, 115, 132	rexlimd 3248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
134	110, 133	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
135		olc 875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
136	134, 135	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
137	136	adantlr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
138	108, 137	pm2.61dan 819	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
139	103, 138	jca 517	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
140		breq1 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → (𝑦 ≼ ω ↔ ∪ 𝑥 ≼ ω))
141		difeq2 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∖ 𝑦) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑥))
142	141	breq1d 5085	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → ((𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
143	140, 142	orbi12d 925	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) ↔ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
144	143, 72	elrab2 3634	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
145	139, 144	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
146	145	3adant1 1137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
147	6, 20, 45, 88, 146	issald 46790	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  𝒫 cpw 4532  {csn 4558  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5075  ωcom 7810   ≼ cdom 8885  Fincfn 8887  SAlgcsalg 46765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-salg 46766

This theorem is referenced by:  salexct3  46799  salgencntex  46800  salgensscntex  46801