Theorem salexct 43763

Description: An example of nontrivial sigma-algebra: the collection of all subsets which either are countable or have countable complement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
salexct.b	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}

Assertion

Ref	Expression
salexct	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem salexct

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
2		salexct.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	pwexd 5297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		rabexg 5250	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ∈ V)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
7		0elpw 5273	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐴)
9		0fin 8916	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
10		fict 9341	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ Fin → ∅ ≼ ω)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ ω
12	11	orci 861	. . . . 5 ⊢ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω))
14	8, 13	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
15		breq1 5073	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≼ ω ↔ ∅ ≼ ω))
16		difeq2 4047	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ ∅))
17	16	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω))
18	15, 17	orbi12d 915	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
19	18, 1	elrab2 3620	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
20	14, 19	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
21		snidg 4592	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ {𝑦})
22		snelpwi 5354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
23		snfi 8788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
24		fict 9341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ≼ ω
26	25	orci 861	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
28	22, 27	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29		breq1 5073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30		difeq2 4047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
31	30	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
32	29, 31	orbi12d 915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
33	32, 1	elrab2 3620	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝑆)
35		elunii 4841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦} ∧ {𝑦} ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
36	21, 34, 35	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
37	36	rgen 3073	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝑆
38		dfss3 3905	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
39	37, 38	mpbir 230	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆
40		ssrab2 4009	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ⊆ 𝒫 𝐴
41	1, 40	eqsstri 3951	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝐴
42	41	unissi 4845	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
43		unipw 5360	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
44	42, 43	sseqtri 3953	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ 𝐴
45	39, 44	eqssi 3933	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
46		difssd 4063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴)
47	2, 46	ssexd 5243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ V)
48		elpwg 4533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴))
50	46, 49	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
51	50	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
52	41	sseli 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
53		elpwi 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
55		dfss4 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
56	54, 55	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
57	56	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
58		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
59	57, 58	eqbrtrd 5092	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)
60		olc 864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
62	51, 61	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
63		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
64		difeq2 4047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝐴 ∖ 𝑦) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)))
65	64	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
66	63, 65	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) ↔ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
67		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑦 ≼ ω))
68		difeq2 4047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑦))
69	68	breq1d 5080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
70	67, 69	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
71	70	cbvrabv 3416	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)}
72	1, 71	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)}
73	66, 72	elrab2 3620	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
74	62, 73	sylibr 233	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
75	50	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
76	1	rabeq2i 3412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)))
77	76	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)))
78	77	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
79	78	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
80	79	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
81		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ¬ 𝑥 ≼ ω)
82		pm2.53 847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) → (¬ 𝑥 ≼ ω → (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
83	80, 81, 82	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)
84		orc 863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
85	83, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
86	75, 85	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
87	86, 73	sylibr 233	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
88	74, 87	pm2.61dan 809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
89		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑆)
91		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
92	90, 91	sseldd 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑆)
93	41	sseli 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
94		elpwi 4539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑦 ⊆ 𝐴)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ⊆ 𝐴)
96	92, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
97	96	ralrimiva 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ⊆ 𝐴)
98		unissb 4870	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ⊆ 𝐴)
99	97, 98	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∪ 𝑥 ⊆ 𝐴)
100		vuniex 7570	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
101	100	elpw 4534	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝑥 ⊆ 𝐴)
102	99, 101	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
103	102	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
104		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω))
105	104	adantll 710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω))
106		unictb 10262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ≼ ω)
107		orc 863	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ≼ ω → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
108	105, 106, 107	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
109		rexnal 3165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω)
110	109	bicomi 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω)
111	110	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω)
112	111	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω)
113		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆
114		nfra1 3142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω
115	114	nfn 1861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω
116	113, 115	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω)
117		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω
118		elssuni 4868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑥)
119	118	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑥)
120	119	sscond 4072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑦))
121	92	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ∈ 𝑆)
122		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → ¬ 𝑦 ≼ ω)
123	72	rabeq2i 3412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
124	123	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
125	124	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
127		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → ¬ 𝑦 ≼ ω)
128		pm2.53 847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
129	126, 127, 128	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)
130	121, 122, 129	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)
131		ssct 8793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
132	120, 130, 131	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
133	132	3exp 1117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
134	133	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
135	116, 117, 134	rexlimd 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
136	112, 135	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
137		olc 864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
138	136, 137	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
139	138	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
140	108, 139	pm2.61dan 809	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
141	103, 140	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
142		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → (𝑦 ≼ ω ↔ ∪ 𝑥 ≼ ω))
143		difeq2 4047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∖ 𝑦) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑥))
144	143	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → ((𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
145	142, 144	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) ↔ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
146	145, 72	elrab2 3620	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
147	141, 146	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
148	147	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
149	6, 20, 45, 88, 148	issald 43762	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  SAlgcsalg 43739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-salg 43740

This theorem is referenced by:  salexct3  43771  salgencntex  43772  salgensscntex  43773