Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measiuns 33514
Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 33515 and meascnbl 33516. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0 Ⅎ𝑛𝐡
measiuns.1 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐡)
measiuns.2 (πœ‘ β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
measiuns.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
measiuns.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
measiuns (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑛,𝐼   𝑛,𝑀   π‘˜,𝑁,𝑛   𝑆,π‘˜,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝑀(π‘˜)
Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐡
2 measiuns.1 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐡)
3 measiuns.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
41, 2, 3iundisjcnt 32277 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
54fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
6 measiuns.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
7 measbase 33494 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
10 measiuns.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
11 simpll 764 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ πœ‘)
12 fzossnn 13686 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑛) βŠ† β„•
13 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = β„•) β†’ 𝑁 = β„•)
1412, 13sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = β„•) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
15 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑁)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑁 = (1..^𝐼))
1715, 16eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑛 ∈ (1..^𝐼))
18 elfzouz2 13652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1..^𝐼) β†’ 𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
19 fzoss2 13665 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (1..^𝑛) βŠ† (1..^𝐼))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ (1..^𝑛) βŠ† (1..^𝐼))
2120, 16sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
223adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
2314, 21, 22mpjaodan 956 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
2423sselda 3982 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
2510sbimi 2076 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ [π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆)
26 sban 2082 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ↔ ([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ∧ [π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁))
27 sbv 2090 . . . . . . . . . . 11 ([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ↔ πœ‘)
28 clelsb1 2859 . . . . . . . . . . 11 ([π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁 ↔ π‘˜ ∈ 𝑁)
2927, 28anbi12i 626 . . . . . . . . . 10 (([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ∧ [π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁))
3026, 29bitri 275 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁))
31 sbsbc 3781 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ [π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆)
32 sbcel1g 4413 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ V β†’ ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆))
3332elv 3479 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆)
34 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜π΄
3534, 1, 2cbvcsbw 3903 . . . . . . . . . . . 12 β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ = β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅
36 csbid 3906 . . . . . . . . . . . 12 β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡
3735, 36eqtri 2759 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ = 𝐡
3837eleq1i 2823 . . . . . . . . . 10 (β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆 ↔ 𝐡 ∈ 𝑆)
3931, 33, 383bitri 297 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐡 ∈ 𝑆)
4025, 30, 393imtr3i 291 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
4111, 24, 40syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
4241ralrimiva 3145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
43 sigaclfu2 33418 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
449, 42, 43syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
45 difelsiga 33430 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
469, 10, 44, 45syl3anc 1370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
4746ralrimiva 3145 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
48 eqimss 4040 . . . . . 6 (𝑁 = β„• β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
49 fzossnn 13686 . . . . . . 7 (1..^𝐼) βŠ† β„•
50 sseq1 4007 . . . . . . 7 (𝑁 = (1..^𝐼) β†’ (𝑁 βŠ† β„• ↔ (1..^𝐼) βŠ† β„•))
5149, 50mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑁 = (1..^𝐼) β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
5248, 51jaoi 854 . . . . 5 ((𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
533, 52syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
54 nnct 13951 . . . 4 β„• β‰Ό Ο‰
55 ssct 9054 . . . 4 ((𝑁 βŠ† β„• ∧ β„• β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑁 β‰Ό Ο‰)
5653, 54, 55sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰Ό Ο‰)
571, 2, 3iundisj2cnt 32278 . . 3 (πœ‘ β†’ Disj 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
58 measvuni 33511 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
596, 47, 56, 57, 58syl112anc 1373 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
605, 59eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540  [wsb 2066   ∈ wcel 2105  β„²wnfc 2882  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473  [wsbc 3777  β¦‹csb 3893   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7858   β‰Ό cdom 8940  1c1 11114  β„•cn 12217  β„€β‰₯cuz 12827  ..^cfzo 13632  Ξ£*cesum 33324  sigAlgebracsiga 33405  measurescmeas 33492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-abv 20569  df-lmod 20617  df-scaf 20618  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-tmd 23797  df-tgp 23798  df-tsms 23852  df-trg 23885  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-ii 24618  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-esum 33325  df-siga 33406  df-meas 33493
This theorem is referenced by:  measiun  33515  meascnbl  33516
  Copyright terms: Public domain W3C validator