Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measiuns 33203
Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 33204 and meascnbl 33205. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0 Ⅎ𝑛𝐡
measiuns.1 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐡)
measiuns.2 (πœ‘ β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
measiuns.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
measiuns.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
measiuns (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑛,𝐼   𝑛,𝑀   π‘˜,𝑁,𝑛   𝑆,π‘˜,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝑀(π‘˜)
Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐡
2 measiuns.1 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐡)
3 measiuns.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
41, 2, 3iundisjcnt 31996 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
54fveq2d 6892 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
6 measiuns.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
7 measbase 33183 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
98adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
10 measiuns.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
11 simpll 765 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ πœ‘)
12 fzossnn 13677 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑛) βŠ† β„•
13 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = β„•) β†’ 𝑁 = β„•)
1412, 13sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = β„•) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑁)
16 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑁 = (1..^𝐼))
1715, 16eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑛 ∈ (1..^𝐼))
18 elfzouz2 13643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1..^𝐼) β†’ 𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
19 fzoss2 13656 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (1..^𝑛) βŠ† (1..^𝐼))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ (1..^𝑛) βŠ† (1..^𝐼))
2120, 16sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
223adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
2314, 21, 22mpjaodan 957 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
2423sselda 3981 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
2510sbimi 2077 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ [π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆)
26 sban 2083 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ↔ ([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ∧ [π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁))
27 sbv 2091 . . . . . . . . . . 11 ([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ↔ πœ‘)
28 clelsb1 2860 . . . . . . . . . . 11 ([π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁 ↔ π‘˜ ∈ 𝑁)
2927, 28anbi12i 627 . . . . . . . . . 10 (([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ∧ [π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁))
3026, 29bitri 274 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁))
31 sbsbc 3780 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ [π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆)
32 sbcel1g 4412 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ V β†’ ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆))
3332elv 3480 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆)
34 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜π΄
3534, 1, 2cbvcsbw 3902 . . . . . . . . . . . 12 β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ = β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅
36 csbid 3905 . . . . . . . . . . . 12 β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡
3735, 36eqtri 2760 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ = 𝐡
3837eleq1i 2824 . . . . . . . . . 10 (β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆 ↔ 𝐡 ∈ 𝑆)
3931, 33, 383bitri 296 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐡 ∈ 𝑆)
4025, 30, 393imtr3i 290 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
4111, 24, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
4241ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
43 sigaclfu2 33107 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
449, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
45 difelsiga 33119 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
469, 10, 44, 45syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
4746ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
48 eqimss 4039 . . . . . 6 (𝑁 = β„• β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
49 fzossnn 13677 . . . . . . 7 (1..^𝐼) βŠ† β„•
50 sseq1 4006 . . . . . . 7 (𝑁 = (1..^𝐼) β†’ (𝑁 βŠ† β„• ↔ (1..^𝐼) βŠ† β„•))
5149, 50mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑁 = (1..^𝐼) β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
5248, 51jaoi 855 . . . . 5 ((𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
533, 52syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
54 nnct 13942 . . . 4 β„• β‰Ό Ο‰
55 ssct 9047 . . . 4 ((𝑁 βŠ† β„• ∧ β„• β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑁 β‰Ό Ο‰)
5653, 54, 55sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰Ό Ο‰)
571, 2, 3iundisj2cnt 31997 . . 3 (πœ‘ β†’ Disj 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
58 measvuni 33200 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
596, 47, 56, 57, 58syl112anc 1374 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
605, 59eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  [wsb 2067   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  [wsbc 3776  β¦‹csb 3892   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8933  1c1 11107  β„•cn 12208  β„€β‰₯cuz 12818  ..^cfzo 13623  Ξ£*cesum 33013  sigAlgebracsiga 33094  measurescmeas 33181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622  df-trg 23655  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-ii 24384  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-esum 33014  df-siga 33095  df-meas 33182
This theorem is referenced by:  measiun  33204  meascnbl  33205
  Copyright terms: Public domain W3C validator