Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measiuns 31533
Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 31534 and meascnbl 31535. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0 𝑛𝐵
measiuns.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
measiuns.2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
measiuns.3 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measiuns.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
measiuns (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑛,𝐼   𝑛,𝑀   𝑘,𝑁,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4 𝑛𝐵
2 measiuns.1 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
3 measiuns.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
41, 2, 3iundisjcnt 30532 . . 3 (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
54fveq2d 6665 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
6 measiuns.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
7 measbase 31513 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝑆 ran sigAlgebra)
10 measiuns.4 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴𝑆)
11 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝜑)
12 fzossnn 13090 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
13 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
1412, 13sseqtrrid 4006 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑛𝑁)
16 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑁 = (1..^𝐼))
1715, 16eleqtrd 2918 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑛 ∈ (1..^𝐼))
18 elfzouz2 13056 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1..^𝐼) → 𝐼 ∈ (ℤ𝑛))
19 fzoss2 13069 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (ℤ𝑛) → (1..^𝑛) ⊆ (1..^𝐼))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → (1..^𝑛) ⊆ (1..^𝐼))
2120, 16sseqtrrd 3994 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
223adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑁) → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
2314, 21, 22mpjaodan 956 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑁) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
2423sselda 3953 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘𝑁)
2510sbimi 2080 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) → [𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆)
26 sban 2087 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) ↔ ([𝑘 / 𝑛]𝜑 ∧ [𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁))
27 sbv 2099 . . . . . . . . . . 11 ([𝑘 / 𝑛]𝜑𝜑)
28 clelsb3 2943 . . . . . . . . . . 11 ([𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁𝑘𝑁)
2927, 28anbi12i 629 . . . . . . . . . 10 (([𝑘 / 𝑛]𝜑 ∧ [𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁) ↔ (𝜑𝑘𝑁))
3026, 29bitri 278 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) ↔ (𝜑𝑘𝑁))
31 sbsbc 3762 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆[𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆)
32 sbcel1g 4348 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ V → ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝑘 / 𝑛𝐴𝑆))
3332elv 3485 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝑘 / 𝑛𝐴𝑆)
34 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐴
3534, 1, 2cbvcsbw 3876 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐵
36 csbid 3879 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
3735, 36eqtri 2847 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝐵
3837eleq1i 2906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 / 𝑛𝐴𝑆𝐵𝑆)
3931, 33, 383bitri 300 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝐵𝑆)
4025, 30, 393imtr3i 294 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐵𝑆)
4111, 24, 40syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐵𝑆)
4241ralrimiva 3177 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑁) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
43 sigaclfu2 31437 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
449, 42, 43syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
45 difelsiga 31449 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
469, 10, 44, 45syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑁) → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
4746ralrimiva 3177 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
48 eqimss 4009 . . . . . 6 (𝑁 = ℕ → 𝑁 ⊆ ℕ)
49 fzossnn 13090 . . . . . . 7 (1..^𝐼) ⊆ ℕ
50 sseq1 3978 . . . . . . 7 (𝑁 = (1..^𝐼) → (𝑁 ⊆ ℕ ↔ (1..^𝐼) ⊆ ℕ))
5149, 50mpbiri 261 . . . . . 6 (𝑁 = (1..^𝐼) → 𝑁 ⊆ ℕ)
5248, 51jaoi 854 . . . . 5 ((𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑁 ⊆ ℕ)
533, 52syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ)
54 nnct 13353 . . . 4 ℕ ≼ ω
55 ssct 8594 . . . 4 ((𝑁 ⊆ ℕ ∧ ℕ ≼ ω) → 𝑁 ≼ ω)
5653, 54, 55sylancl 589 . . 3 (𝜑𝑁 ≼ ω)
571, 2, 3iundisj2cnt 30533 . . 3 (𝜑Disj 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
58 measvuni 31530 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁 ≼ ω ∧ Disj 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))) → (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
596, 47, 56, 57, 58syl112anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
605, 59eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  [wsb 2070  wcel 2115  wnfc 2962  wral 3133  Vcvv 3480  [wsbc 3758  csb 3866  cdif 3916  wss 3919   cuni 4824   ciun 4905  Disj wdisj 5017   class class class wbr 5052  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  ωcom 7574  cdom 8503  1c1 10536  cn 11634  cuz 12240  ..^cfzo 13037  Σ*cesum 31343  sigAlgebracsiga 31424  measurescmeas 31511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-ac2 9883  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-ordt 16774  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-ps 17810  df-tsr 17811  df-plusf 17851  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-abv 19588  df-lmod 19636  df-scaf 19637  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-tsms 22735  df-trg 22768  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nrg 23195  df-nlm 23196  df-ii 23485  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-esum 31344  df-siga 31425  df-meas 31512
This theorem is referenced by:  measiun  31534  meascnbl  31535
  Copyright terms: Public domain W3C validator