Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measiuns 30601
Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 30602 and meascnbl 30603. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0 𝑛𝐵
measiuns.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
measiuns.2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
measiuns.3 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measiuns.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
measiuns (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑛,𝐼   𝑛,𝑀   𝑘,𝑁,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4 𝑛𝐵
2 measiuns.1 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
3 measiuns.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
41, 2, 3iundisjcnt 29880 . . 3 (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
54fveq2d 6408 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
6 measiuns.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
7 measbase 30581 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
98adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝑆 ran sigAlgebra)
10 measiuns.4 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴𝑆)
11 simpll 774 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝜑)
12 fzossnn 12737 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
13 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
1412, 13syl5sseqr 3851 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
15 simplr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑛𝑁)
16 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑁 = (1..^𝐼))
1715, 16eleqtrd 2887 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑛 ∈ (1..^𝐼))
18 elfzouz2 12704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1..^𝐼) → 𝐼 ∈ (ℤ𝑛))
19 fzoss2 12716 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (ℤ𝑛) → (1..^𝑛) ⊆ (1..^𝐼))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → (1..^𝑛) ⊆ (1..^𝐼))
2120, 16sseqtr4d 3839 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
223adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑁) → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
2314, 21, 22mpjaodan 972 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑁) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
2423sselda 3798 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘𝑁)
2510sbimi 2066 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) → [𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆)
26 sban 2558 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) ↔ ([𝑘 / 𝑛]𝜑 ∧ [𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁))
27 nfv 2005 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝜑
2827sbf 2539 . . . . . . . . . . 11 ([𝑘 / 𝑛]𝜑𝜑)
29 clelsb3 2913 . . . . . . . . . . 11 ([𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁𝑘𝑁)
3028, 29anbi12i 614 . . . . . . . . . 10 (([𝑘 / 𝑛]𝜑 ∧ [𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁) ↔ (𝜑𝑘𝑁))
3126, 30bitri 266 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) ↔ (𝜑𝑘𝑁))
32 sbsbc 3637 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆[𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆)
33 vex 3394 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ V
34 sbcel1g 4184 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ V → ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝑘 / 𝑛𝐴𝑆))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝑘 / 𝑛𝐴𝑆)
36 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐴
3736, 1, 2cbvcsb 3733 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐵
38 csbid 3736 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
3937, 38eqtri 2828 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝐵
4039eleq1i 2876 . . . . . . . . . 10 (𝑘 / 𝑛𝐴𝑆𝐵𝑆)
4132, 35, 403bitri 288 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝐵𝑆)
4225, 31, 413imtr3i 282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐵𝑆)
4311, 24, 42syl2anc 575 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐵𝑆)
4443ralrimiva 3154 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑁) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
45 sigaclfu2 30505 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
469, 44, 45syl2anc 575 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
47 difelsiga 30517 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
489, 10, 46, 47syl3anc 1483 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑁) → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
4948ralrimiva 3154 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
50 eqimss 3854 . . . . . 6 (𝑁 = ℕ → 𝑁 ⊆ ℕ)
51 fzossnn 12737 . . . . . . 7 (1..^𝐼) ⊆ ℕ
52 sseq1 3823 . . . . . . 7 (𝑁 = (1..^𝐼) → (𝑁 ⊆ ℕ ↔ (1..^𝐼) ⊆ ℕ))
5351, 52mpbiri 249 . . . . . 6 (𝑁 = (1..^𝐼) → 𝑁 ⊆ ℕ)
5450, 53jaoi 875 . . . . 5 ((𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑁 ⊆ ℕ)
553, 54syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ)
56 nnct 13000 . . . 4 ℕ ≼ ω
57 ssct 8276 . . . 4 ((𝑁 ⊆ ℕ ∧ ℕ ≼ ω) → 𝑁 ≼ ω)
5855, 56, 57sylancl 576 . . 3 (𝜑𝑁 ≼ ω)
591, 2, 3iundisj2cnt 29881 . . 3 (𝜑Disj 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
60 measvuni 30598 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁 ≼ ω ∧ Disj 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))) → (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
616, 49, 58, 59, 60syl112anc 1486 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
625, 61eqtrd 2840 1 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  [wsb 2060  wcel 2156  wnfc 2935  wral 3096  Vcvv 3391  [wsbc 3633  csb 3728  cdif 3766  wss 3769   cuni 4630   ciun 4712  Disj wdisj 4812   class class class wbr 4844  ran crn 5312  cfv 6097  (class class class)co 6870  ωcom 7291  cdom 8186  1c1 10218  cn 11301  cuz 11900  ..^cfzo 12685  Σ*cesum 30410  sigAlgebracsiga 30491  measurescmeas 30579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-ac2 9566  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-fi 8552  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-acn 9047  df-ac 9218  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15014  df-sin 15016  df-cos 15017  df-pi 15019  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-ordt 16362  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17789  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-abl 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-subrg 18978  df-abv 19017  df-lmod 19065  df-scaf 19066  df-sra 19377  df-rgmod 19378  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-tmd 22085  df-tgp 22086  df-tsms 22139  df-trg 22172  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-nm 22596  df-ngp 22597  df-nrg 22599  df-nlm 22600  df-ii 22889  df-cncf 22890  df-limc 23840  df-dv 23841  df-log 24513  df-esum 30411  df-siga 30492  df-meas 30580
This theorem is referenced by:  measiun  30602  meascnbl  30603
  Copyright terms: Public domain W3C validator