Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measiuns 33513
Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 33514 and meascnbl 33515. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0 Ⅎ𝑛𝐡
measiuns.1 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐡)
measiuns.2 (πœ‘ β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
measiuns.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
measiuns.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
measiuns (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑛,𝐼   𝑛,𝑀   π‘˜,𝑁,𝑛   𝑆,π‘˜,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘˜,𝑛)   𝑀(π‘˜)
Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4 Ⅎ𝑛𝐡
2 measiuns.1 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐴 = 𝐡)
3 measiuns.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
41, 2, 3iundisjcnt 32276 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
54fveq2d 6894 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
6 measiuns.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
7 measbase 33493 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
10 measiuns.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
11 simpll 763 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ πœ‘)
12 fzossnn 13685 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑛) βŠ† β„•
13 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = β„•) β†’ 𝑁 = β„•)
1412, 13sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = β„•) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
15 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑁)
16 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑁 = (1..^𝐼))
1715, 16eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑛 ∈ (1..^𝐼))
18 elfzouz2 13651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1..^𝐼) β†’ 𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
19 fzoss2 13664 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (1..^𝑛) βŠ† (1..^𝐼))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ (1..^𝑛) βŠ† (1..^𝐼))
2120, 16sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
223adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
2314, 21, 22mpjaodan 955 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (1..^𝑛) βŠ† 𝑁)
2423sselda 3981 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
2510sbimi 2075 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ [π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆)
26 sban 2081 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ↔ ([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ∧ [π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁))
27 sbv 2089 . . . . . . . . . . 11 ([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ↔ πœ‘)
28 clelsb1 2858 . . . . . . . . . . 11 ([π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁 ↔ π‘˜ ∈ 𝑁)
2927, 28anbi12i 625 . . . . . . . . . 10 (([π‘˜ / 𝑛]πœ‘ ∧ [π‘˜ / 𝑛]𝑛 ∈ 𝑁) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁))
3026, 29bitri 274 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛](πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁))
31 sbsbc 3780 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ [π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆)
32 sbcel1g 4412 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ V β†’ ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆))
3332elv 3478 . . . . . . . . . 10 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆)
34 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜π΄
3534, 1, 2cbvcsbw 3902 . . . . . . . . . . . 12 β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ = β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅
36 csbid 3905 . . . . . . . . . . . 12 β¦‹π‘˜ / π‘˜β¦Œπ΅ = 𝐡
3735, 36eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ = 𝐡
3837eleq1i 2822 . . . . . . . . . 10 (β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΄ ∈ 𝑆 ↔ 𝐡 ∈ 𝑆)
3931, 33, 383bitri 296 . . . . . . . . 9 ([π‘˜ / 𝑛]𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐡 ∈ 𝑆)
4025, 30, 393imtr3i 290 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
4111, 24, 40syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
4241ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
43 sigaclfu2 33417 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
449, 42, 43syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆)
45 difelsiga 33429 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
469, 10, 44, 45syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) β†’ (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
4746ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆)
48 eqimss 4039 . . . . . 6 (𝑁 = β„• β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
49 fzossnn 13685 . . . . . . 7 (1..^𝐼) βŠ† β„•
50 sseq1 4006 . . . . . . 7 (𝑁 = (1..^𝐼) β†’ (𝑁 βŠ† β„• ↔ (1..^𝐼) βŠ† β„•))
5149, 50mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑁 = (1..^𝐼) β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
5248, 51jaoi 853 . . . . 5 ((𝑁 = β„• ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)) β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
533, 52syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† β„•)
54 nnct 13950 . . . 4 β„• β‰Ό Ο‰
55 ssct 9053 . . . 4 ((𝑁 βŠ† β„• ∧ β„• β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑁 β‰Ό Ο‰)
5653, 54, 55sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰Ό Ο‰)
571, 2, 3iundisj2cnt 32277 . . 3 (πœ‘ β†’ Disj 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))
58 measvuni 33510 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡))) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
596, 47, 56, 57, 58syl112anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
605, 59eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴) = Ξ£*𝑛 ∈ 𝑁(π‘€β€˜(𝐴 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539  [wsb 2065   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  [wsbc 3776  β¦‹csb 3892   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  1c1 11113  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  ..^cfzo 13631  Ξ£*cesum 33323  sigAlgebracsiga 33404  measurescmeas 33491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-abv 20568  df-lmod 20616  df-scaf 20617  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tmd 23796  df-tgp 23797  df-tsms 23851  df-trg 23884  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-ii 24617  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-esum 33324  df-siga 33405  df-meas 33492
This theorem is referenced by:  measiun  33514  meascnbl  33515
  Copyright terms: Public domain W3C validator