Theorem ssrabdv 3997

Description: Subclass of a restricted class abstraction (deduction form). (Contributed by NM, 31-Aug-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssrabdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
ssrabdv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ssrabdv	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem ssrabdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrabdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2		ssrabdv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝜓)
3	2	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
4		ssrab 3995	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
5	1, 3, 4	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rab 3413  df-ss 3897

This theorem is used by:  mndind  19031  symggen  19691  ablfac1eu  20296  lspsolvlem  21427  prdsxmslem2  24855  ovolicc2lem4  25848  abelth2  26776  perfectlem2  27564  umgrres1lem  29898  upgrres1  29901  nsgmgc  34011  nsgqusf1olem2  34013  nsgqusf1olem3  34014  cvmlift2lem11  36166  bj-rabtrAUTO  37939  mapdrvallem3  42810  idomsubgmo  44302  nadd2rabtr  44493  k0004ss2  45259  liminfvalxr  46900  smflimlem4  47891  perfectALTVlem2  48927