Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem11 34292
Description: Lemma for cvmlift2 34295. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift2.i (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
cvmlift2.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)}
cvmlift2lem11.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ II)
cvmlift2lem11.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem11.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
cvmlift2lem11.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
cvmlift2lem11.5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem11 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑓,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘ˆ,𝑧   𝑓,𝐺,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑉   𝑓,𝐻,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐢,𝑓,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐡,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘Œ,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   𝑃(𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝑀(𝑀,𝑓)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑍(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑓)
Proof of Theorem cvmlift2lem11
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem11.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ II)
21adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘ˆ ∈ II)
3 elssuni 4940 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ II β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ II)
4 iiuni 24388 . . . . . . 7 (0[,]1) = βˆͺ II
53, 4sseqtrrdi 4032 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ II β†’ π‘ˆ βŠ† (0[,]1))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘ˆ βŠ† (0[,]1))
7 cvmlift2lem11.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
8 cvmlift2lem11.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ II)
9 elunii 4912 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ II) β†’ 𝑍 ∈ βˆͺ II)
109, 4eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ II) β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
117, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
1211adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
1312snssd 4811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {𝑍} βŠ† (0[,]1))
14 xpss12 5690 . . . . 5 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ {𝑍} βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
156, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
16 cvmlift2lem11.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
18 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = βˆͺ 𝐢
19 cvmlift2.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
20 cvmlift2.g . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
21 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
22 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
23 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
24 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24cvmlift2lem5 34286 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
278adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑉 ∈ II)
28 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ II β†’ 𝑉 βŠ† βˆͺ II)
2928, 4sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ II β†’ 𝑉 βŠ† (0[,]1))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑉 βŠ† (0[,]1))
3130, 17sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘Œ ∈ (0[,]1))
3231snssd 4811 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {π‘Œ} βŠ† (0[,]1))
33 xpss12 5690 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ {π‘Œ} βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
346, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
3526, 34fssresd 6755 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡)
3634adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀)
39 cvmlift2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)}
4038, 39sseqtrdi 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)})
41 ssrab 4069 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)} ↔ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
4241simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)} β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
4443r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
45 iitopon 24386 . . . . . . . . . . . . . . 15 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
46 txtopon 23086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))) β†’ (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
4745, 45, 46mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
4847toponunii 22409 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) = βˆͺ (II Γ—t II)
4948cnpresti 22783 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) ∧ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
5036, 37, 44, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
5150ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
52 resttopon 22656 . . . . . . . . . . . 12 (((II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
5347, 34, 52sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
54 cvmtop1 34239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
5519, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐢 ∈ Top)
5718toptopon 22410 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5856, 57sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
59 cncnp 22775 . . . . . . . . . . 11 ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∧ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢) ↔ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))))
6053, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢) ↔ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))))
6135, 51, 60mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢))
62 sneq 4637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = π‘Œ β†’ {𝑀} = {π‘Œ})
6362xpeq2d 5705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘Œ β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑀}) = (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}))
6463reseq2d 5979 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘Œ β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) = (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
6563oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) = ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
6665oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘Œ β†’ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) = (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢))
6764, 66eleq12d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢)))
6867rspcev 3612 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢))
6917, 61, 68syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢))
70 cvmlift2lem11.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢)))
7170imp 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢)) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
7269, 71syldan 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
7372adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
747adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
7574snssd 4811 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {𝑍} βŠ† 𝑉)
76 xpss2 5695 . . . . . . . . 9 ({𝑍} βŠ† 𝑉 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† (π‘ˆ Γ— 𝑉))
7775, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† (π‘ˆ Γ— 𝑉))
78 iitop 24387 . . . . . . . . . 10 II ∈ Top
7978, 78txtopi 23085 . . . . . . . . 9 (II Γ—t II) ∈ Top
80 xpss12 5690 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ 𝑉 βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
816, 30, 80syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
8248restuni 22657 . . . . . . . . 9 (((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8379, 81, 82sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8477, 83sseqtrd 4021 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8584sselda 3981 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
86 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉))
8786cncnpi 22773 . . . . . 6 (((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉))) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
8873, 85, 87syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
8979a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (II Γ—t II) ∈ Top)
9081adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
9178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ II ∈ Top)
92 txopn 23097 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (π‘ˆ ∈ II ∧ 𝑉 ∈ II)) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II))
9391, 91, 2, 27, 92syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II))
94 isopn3i 22577 . . . . . . . . 9 (((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II)) β†’ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) = (π‘ˆ Γ— 𝑉))
9579, 93, 94sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) = (π‘ˆ Γ— 𝑉))
9677, 95sseqtrrd 4022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)))
9796sselda 3981 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝑧 ∈ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)))
9825ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
9948, 18cnprest 22784 . . . . . 6 ((((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∧ (𝑧 ∈ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∧ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
10089, 90, 97, 98, 99syl22anc 837 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
10188, 100mpbird 256 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
10215, 101ssrabdv 4070 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)})
103102, 39sseqtrrdi 4032 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀)
104103ex 413 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11106  1c1 11107  [,]cicc 13323   β†Ύt crest 17362  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  intcnt 22512   Cn ccn 22719   CnP ccnp 22720   Γ—t ctx 23055  IIcii 24382   CovMap ccvm 34234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-conn 22907  df-lly 22961  df-nlly 22962  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-ii 24384  df-htpy 24477  df-phtpy 24478  df-phtpc 24499  df-pconn 34200  df-sconn 34201  df-cvm 34235
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  34293
  Copyright terms: Public domain W3C validator