Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem11 31612
Description: Lemma for cvmlift2 31615. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
cvmlift2lem11.1 (𝜑𝑈 ∈ II)
cvmlift2lem11.2 (𝜑𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem11.3 (𝜑𝑌𝑉)
cvmlift2lem11.4 (𝜑𝑍𝑉)
cvmlift2lem11.5 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem11 (𝜑 → ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑧   𝑓,𝐺,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑉   𝑓,𝐻,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐶,𝑓,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑌,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑃(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑀(𝑤,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑤,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem11
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem11.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ II)
21adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑈 ∈ II)
3 elssuni 4654 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ II → 𝑈 II)
4 iiuni 22891 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
53, 4syl6sseqr 3843 . . . . . 6 (𝑈 ∈ II → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
7 cvmlift2lem11.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑉)
8 cvmlift2lem11.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ II)
9 elunii 4628 . . . . . . . . 9 ((𝑍𝑉𝑉 ∈ II) → 𝑍 II)
109, 4syl6eleqr 2892 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑉 ∈ II) → 𝑍 ∈ (0[,]1))
117, 8, 10syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (0[,]1))
1211adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑍 ∈ (0[,]1))
1312snssd 4524 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑍} ⊆ (0[,]1))
14 xpss12 5320 . . . . 5 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑍} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
156, 13, 14syl2anc 575 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
16 cvmlift2lem11.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
1716adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑌𝑉)
18 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝐶
19 cvmlift2.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
20 cvmlift2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
21 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐵)
22 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
23 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
24 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24cvmlift2lem5 31606 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
2625adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
278adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑉 ∈ II)
28 elssuni 4654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ II → 𝑉 II)
2928, 4syl6sseqr 3843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ II → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
3130, 17sseldd 3793 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑌 ∈ (0[,]1))
3231snssd 4524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑌} ⊆ (0[,]1))
33 xpss12 5320 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑌} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
346, 32, 33syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
3526, 34fssresd 6280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵)
3634adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
37 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌}))
38 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀)
39 cvmlift2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
4038, 39syl6sseq 3842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)})
41 ssrab 3871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)} ↔ ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
4241simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)} → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
4443r19.21bi 3116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
45 iitopon 22889 . . . . . . . . . . . . . . 15 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
46 txtopon 21602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
4745, 45, 46mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . 14 (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
4847toponunii 20928 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
4948cnpresti 21300 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌}) ∧ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
5036, 37, 44, 49syl3anc 1483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
5150ralrimiva 3150 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
52 resttopon 21173 . . . . . . . . . . . 12 (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})))
5347, 34, 52sylancr 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})))
54 cvmtop1 31559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
5519, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ Top)
5655adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐶 ∈ Top)
5718toptopon 20929 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
5856, 57sylib 209 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
59 cncnp 21292 . . . . . . . . . . 11 ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶) ↔ ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))))
6053, 58, 59syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶) ↔ ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))))
6135, 51, 60mpbir2and 695 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶))
62 sneq 4374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → {𝑤} = {𝑌})
6362xpeq2d 5334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → (𝑈 × {𝑤}) = (𝑈 × {𝑌}))
6463reseq2d 5591 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) = (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})))
6563oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})))
6665oveq1d 6883 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶))
6764, 66eleq12d 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑌 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶)))
6867rspcev 3498 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑉 ∧ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶)) → ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶))
6917, 61, 68syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶))
70 cvmlift2lem11.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶)))
7170imp 395 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
7269, 71syldan 581 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
7372adantr 468 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
747adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑍𝑉)
7574snssd 4524 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
76 xpss2 5324 . . . . . . . . 9 ({𝑍} ⊆ 𝑉 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
7775, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
78 iitop 22890 . . . . . . . . . 10 II ∈ Top
7978, 78txtopi 21601 . . . . . . . . 9 (II ×t II) ∈ Top
80 xpss12 5320 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ 𝑉 ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
816, 30, 80syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
8248restuni 21174 . . . . . . . . 9 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → (𝑈 × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8379, 81, 82sylancr 577 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8477, 83sseqtrd 3832 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8584sselda 3792 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝑧 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
86 eqid 2802 . . . . . . 7 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉))
8786cncnpi 21290 . . . . . 6 (((𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶) ∧ 𝑧 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉))) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧))
8873, 85, 87syl2anc 575 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧))
8979a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (II ×t II) ∈ Top)
9081adantr 468 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
9178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → II ∈ Top)
92 txopn 21613 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (𝑈 ∈ II ∧ 𝑉 ∈ II)) → (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II))
9391, 91, 2, 27, 92syl22anc 858 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II))
94 isopn3i 21094 . . . . . . . . 9 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II)) → ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) = (𝑈 × 𝑉))
9579, 93, 94sylancr 577 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) = (𝑈 × 𝑉))
9677, 95sseqtr4d 3833 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)))
9796sselda 3792 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝑧 ∈ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)))
9825ad2antrr 708 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
9948, 18cnprest 21301 . . . . . 6 ((((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ (𝑧 ∈ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) ∧ 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)) → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10089, 90, 97, 98, 99syl22anc 858 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10188, 100mpbird 248 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
10215, 101ssrabdv 3872 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)})
103102, 39syl6sseqr 3843 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀)
104103ex 399 1 (𝜑 → ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  wral 3092  wrex 3093  {crab 3096  wss 3763  {csn 4364   cuni 4623  cmpt 4916   × cxp 5303  cres 5307  ccom 5309  wf 6091  cfv 6095  crio 6828  (class class class)co 6868  cmpt2 6870  0cc0 10215  1c1 10216  [,]cicc 12390  t crest 16280  Topctop 20905  TopOnctopon 20922  intcnt 21029   Cn ccn 21236   CnP ccnp 21237   ×t ctx 21571  IIcii 22885   CovMap ccvm 31554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293  ax-addf 10294  ax-mulf 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-supp 7524  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-2o 7791  df-oadd 7794  df-er 7973  df-ec 7975  df-map 8088  df-ixp 8140  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fsupp 8509  df-fi 8550  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-cda 9269  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-z 11638  df-dec 11754  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xneg 12156  df-xadd 12157  df-xmul 12158  df-ioo 12391  df-ico 12393  df-icc 12394  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-fl 12811  df-seq 13019  df-exp 13078  df-hash 13332  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-clim 14436  df-sum 14634  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-starv 16162  df-sca 16163  df-vsca 16164  df-ip 16165  df-tset 16166  df-ple 16167  df-ds 16169  df-unif 16170  df-hom 16171  df-cco 16172  df-rest 16282  df-topn 16283  df-0g 16301  df-gsum 16302  df-topgen 16303  df-pt 16304  df-prds 16307  df-xrs 16361  df-qtop 16366  df-imas 16367  df-xps 16369  df-mre 16445  df-mrc 16446  df-acs 16448  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17945  df-cmn 18390  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20906  df-topon 20923  df-topsp 20945  df-bases 20958  df-cld 21031  df-ntr 21032  df-cls 21033  df-nei 21110  df-cn 21239  df-cnp 21240  df-cmp 21398  df-conn 21423  df-lly 21477  df-nlly 21478  df-tx 21573  df-hmeo 21766  df-xms 22332  df-ms 22333  df-tms 22334  df-ii 22887  df-htpy 22976  df-phtpy 22977  df-phtpc 22998  df-pconn 31520  df-sconn 31521  df-cvm 31555
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  31613
  Copyright terms: Public domain W3C validator