Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem11 34976
Description: Lemma for cvmlift2 34979. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift2.i (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
cvmlift2.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)}
cvmlift2lem11.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ II)
cvmlift2lem11.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem11.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
cvmlift2lem11.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
cvmlift2lem11.5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem11 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑓,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘ˆ,𝑧   𝑓,𝐺,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑉   𝑓,𝐻,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐢,𝑓,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐡,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘Œ,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   𝑃(𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝑀(𝑀,𝑓)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑍(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑓)
Proof of Theorem cvmlift2lem11
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem11.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ II)
21adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘ˆ ∈ II)
3 elssuni 4936 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ II β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ II)
4 iiuni 24814 . . . . . . 7 (0[,]1) = βˆͺ II
53, 4sseqtrrdi 4025 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ II β†’ π‘ˆ βŠ† (0[,]1))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘ˆ βŠ† (0[,]1))
7 cvmlift2lem11.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
8 cvmlift2lem11.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ II)
9 elunii 4909 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ II) β†’ 𝑍 ∈ βˆͺ II)
109, 4eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ II) β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
117, 8, 10syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
1211adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
1312snssd 4809 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {𝑍} βŠ† (0[,]1))
14 xpss12 5688 . . . . 5 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ {𝑍} βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
156, 13, 14syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
16 cvmlift2lem11.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
18 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = βˆͺ 𝐢
19 cvmlift2.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
20 cvmlift2.g . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
21 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
22 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
23 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
24 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24cvmlift2lem5 34970 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
278adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑉 ∈ II)
28 elssuni 4936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ II β†’ 𝑉 βŠ† βˆͺ II)
2928, 4sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ II β†’ 𝑉 βŠ† (0[,]1))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑉 βŠ† (0[,]1))
3130, 17sseldd 3974 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘Œ ∈ (0[,]1))
3231snssd 4809 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {π‘Œ} βŠ† (0[,]1))
33 xpss12 5688 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ {π‘Œ} βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
346, 32, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
3526, 34fssresd 6758 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡)
3634adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
37 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}))
38 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀)
39 cvmlift2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)}
4038, 39sseqtrdi 4024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)})
41 ssrab 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)} ↔ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
4241simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)} β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
4443r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
45 iitopon 24812 . . . . . . . . . . . . . . 15 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
46 txtopon 23508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))) β†’ (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
4745, 45, 46mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
4847toponunii 22831 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) = βˆͺ (II Γ—t II)
4948cnpresti 23205 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) ∧ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
5036, 37, 44, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
5150ralrimiva 3136 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
52 resttopon 23078 . . . . . . . . . . . 12 (((II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
5347, 34, 52sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
54 cvmtop1 34923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
5519, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐢 ∈ Top)
5718toptopon 22832 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5856, 57sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
59 cncnp 23197 . . . . . . . . . . 11 ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∧ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢) ↔ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))))
6053, 58, 59syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢) ↔ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))))
6135, 51, 60mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢))
62 sneq 4635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = π‘Œ β†’ {𝑀} = {π‘Œ})
6362xpeq2d 5703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘Œ β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑀}) = (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}))
6463reseq2d 5980 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘Œ β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) = (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
6563oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) = ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
6665oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘Œ β†’ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) = (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢))
6764, 66eleq12d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢)))
6867rspcev 3603 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢))
6917, 61, 68syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢))
70 cvmlift2lem11.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢)))
7170imp 405 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢)) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
7269, 71syldan 589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
7372adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
747adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
7574snssd 4809 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {𝑍} βŠ† 𝑉)
76 xpss2 5693 . . . . . . . . 9 ({𝑍} βŠ† 𝑉 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† (π‘ˆ Γ— 𝑉))
7775, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† (π‘ˆ Γ— 𝑉))
78 iitop 24813 . . . . . . . . . 10 II ∈ Top
7978, 78txtopi 23507 . . . . . . . . 9 (II Γ—t II) ∈ Top
80 xpss12 5688 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ 𝑉 βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
816, 30, 80syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
8248restuni 23079 . . . . . . . . 9 (((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8379, 81, 82sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8477, 83sseqtrd 4014 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8584sselda 3973 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
86 eqid 2725 . . . . . . 7 βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉))
8786cncnpi 23195 . . . . . 6 (((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉))) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
8873, 85, 87syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
8979a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (II Γ—t II) ∈ Top)
9081adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
9178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ II ∈ Top)
92 txopn 23519 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (π‘ˆ ∈ II ∧ 𝑉 ∈ II)) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II))
9391, 91, 2, 27, 92syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II))
94 isopn3i 22999 . . . . . . . . 9 (((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II)) β†’ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) = (π‘ˆ Γ— 𝑉))
9579, 93, 94sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) = (π‘ˆ Γ— 𝑉))
9677, 95sseqtrrd 4015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)))
9796sselda 3973 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝑧 ∈ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)))
9825ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
9948, 18cnprest 23206 . . . . . 6 ((((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∧ (𝑧 ∈ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∧ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
10089, 90, 97, 98, 99syl22anc 837 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
10188, 100mpbird 256 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
10215, 101ssrabdv 4064 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)})
103102, 39sseqtrrdi 4025 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀)
104103ex 411 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βŠ† wss 3941  {csn 4625  βˆͺ cuni 4904   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671   β†Ύ cres 5675   ∘ ccom 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„©crio 7368  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11133  1c1 11134  [,]cicc 13354   β†Ύt crest 17396  Topctop 22808  TopOnctopon 22825  intcnt 22934   Cn ccn 23141   CnP ccnp 23142   Γ—t ctx 23477  IIcii 24808   CovMap ccvm 34918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-cmp 23304  df-conn 23329  df-lly 23383  df-nlly 23384  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-ii 24810  df-cncf 24811  df-htpy 24909  df-phtpy 24910  df-phtpc 24931  df-pconn 34884  df-sconn 34885  df-cvm 34919
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  34977
  Copyright terms: Public domain W3C validator