Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem11 32846
Description: Lemma for cvmlift2 32849. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
cvmlift2lem11.1 (𝜑𝑈 ∈ II)
cvmlift2lem11.2 (𝜑𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem11.3 (𝜑𝑌𝑉)
cvmlift2lem11.4 (𝜑𝑍𝑉)
cvmlift2lem11.5 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem11 (𝜑 → ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑧   𝑓,𝐺,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑉   𝑓,𝐻,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐶,𝑓,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑌,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑃(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑀(𝑤,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑤,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem11
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem11.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ II)
21adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑈 ∈ II)
3 elssuni 4828 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ II → 𝑈 II)
4 iiuni 23633 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
53, 4sseqtrrdi 3928 . . . . . 6 (𝑈 ∈ II → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
7 cvmlift2lem11.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑉)
8 cvmlift2lem11.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ II)
9 elunii 4801 . . . . . . . . 9 ((𝑍𝑉𝑉 ∈ II) → 𝑍 II)
109, 4eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑉 ∈ II) → 𝑍 ∈ (0[,]1))
117, 8, 10syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (0[,]1))
1211adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑍 ∈ (0[,]1))
1312snssd 4697 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑍} ⊆ (0[,]1))
14 xpss12 5540 . . . . 5 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑍} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
156, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
16 cvmlift2lem11.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
1716adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑌𝑉)
18 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝐶
19 cvmlift2.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
20 cvmlift2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
21 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐵)
22 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
23 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
24 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24cvmlift2lem5 32840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
278adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑉 ∈ II)
28 elssuni 4828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ II → 𝑉 II)
2928, 4sseqtrrdi 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ II → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
3130, 17sseldd 3878 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑌 ∈ (0[,]1))
3231snssd 4697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑌} ⊆ (0[,]1))
33 xpss12 5540 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑌} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
346, 32, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
3526, 34fssresd 6545 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵)
3634adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
37 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌}))
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀)
39 cvmlift2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
4038, 39sseqtrdi 3927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)})
41 ssrab 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)} ↔ ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
4241simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)} → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
4443r19.21bi 3121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
45 iitopon 23631 . . . . . . . . . . . . . . 15 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
46 txtopon 22342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
4745, 45, 46mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
4847toponunii 21667 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
4948cnpresti 22039 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌}) ∧ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
5036, 37, 44, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
5150ralrimiva 3096 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
52 resttopon 21912 . . . . . . . . . . . 12 (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})))
5347, 34, 52sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})))
54 cvmtop1 32793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
5519, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ Top)
5655adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐶 ∈ Top)
5718toptopon 21668 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
5856, 57sylib 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
59 cncnp 22031 . . . . . . . . . . 11 ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶) ↔ ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))))
6053, 58, 59syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶) ↔ ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))))
6135, 51, 60mpbir2and 713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶))
62 sneq 4526 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → {𝑤} = {𝑌})
6362xpeq2d 5555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → (𝑈 × {𝑤}) = (𝑈 × {𝑌}))
6463reseq2d 5825 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) = (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})))
6563oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})))
6665oveq1d 7185 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶))
6764, 66eleq12d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑌 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶)))
6867rspcev 3526 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑉 ∧ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶)) → ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶))
6917, 61, 68syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶))
70 cvmlift2lem11.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶)))
7170imp 410 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
7269, 71syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
7372adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
747adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑍𝑉)
7574snssd 4697 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
76 xpss2 5545 . . . . . . . . 9 ({𝑍} ⊆ 𝑉 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
7775, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
78 iitop 23632 . . . . . . . . . 10 II ∈ Top
7978, 78txtopi 22341 . . . . . . . . 9 (II ×t II) ∈ Top
80 xpss12 5540 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ 𝑉 ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
816, 30, 80syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
8248restuni 21913 . . . . . . . . 9 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → (𝑈 × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8379, 81, 82sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8477, 83sseqtrd 3917 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8584sselda 3877 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝑧 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
86 eqid 2738 . . . . . . 7 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉))
8786cncnpi 22029 . . . . . 6 (((𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶) ∧ 𝑧 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉))) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧))
8873, 85, 87syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧))
8979a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (II ×t II) ∈ Top)
9081adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
9178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → II ∈ Top)
92 txopn 22353 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (𝑈 ∈ II ∧ 𝑉 ∈ II)) → (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II))
9391, 91, 2, 27, 92syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II))
94 isopn3i 21833 . . . . . . . . 9 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II)) → ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) = (𝑈 × 𝑉))
9579, 93, 94sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) = (𝑈 × 𝑉))
9677, 95sseqtrrd 3918 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)))
9796sselda 3877 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝑧 ∈ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)))
9825ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
9948, 18cnprest 22040 . . . . . 6 ((((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ (𝑧 ∈ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) ∧ 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)) → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10089, 90, 97, 98, 99syl22anc 838 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10188, 100mpbird 260 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
10215, 101ssrabdv 3963 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)})
103102, 39sseqtrrdi 3928 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀)
104103ex 416 1 (𝜑 → ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  wss 3843  {csn 4516   cuni 4796  cmpt 5110   × cxp 5523  cres 5527  ccom 5529  wf 6335  cfv 6339  crio 7126  (class class class)co 7170  cmpo 7172  0cc0 10615  1c1 10616  [,]cicc 12824  t crest 16797  Topctop 21644  TopOnctopon 21661  intcnt 21768   Cn ccn 21975   CnP ccnp 21976   ×t ctx 22311  IIcii 23627   CovMap ccvm 32788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-ec 8322  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-cmp 22138  df-conn 22163  df-lly 22217  df-nlly 22218  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-ii 23629  df-htpy 23722  df-phtpy 23723  df-phtpc 23744  df-pconn 32754  df-sconn 32755  df-cvm 32789
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  32847
  Copyright terms: Public domain W3C validator