Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem11 34859
Description: Lemma for cvmlift2 34862. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift2.i (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
cvmlift2.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)}
cvmlift2lem11.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ II)
cvmlift2lem11.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem11.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
cvmlift2lem11.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
cvmlift2lem11.5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem11 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑓,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘ˆ,𝑧   𝑓,𝐺,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑉   𝑓,𝐻,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐢,𝑓,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐡,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘Œ,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   𝑃(𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝑀(𝑀,𝑓)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑍(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑓)
Proof of Theorem cvmlift2lem11
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem11.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ II)
21adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘ˆ ∈ II)
3 elssuni 4935 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ II β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ II)
4 iiuni 24788 . . . . . . 7 (0[,]1) = βˆͺ II
53, 4sseqtrrdi 4029 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ II β†’ π‘ˆ βŠ† (0[,]1))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘ˆ βŠ† (0[,]1))
7 cvmlift2lem11.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
8 cvmlift2lem11.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ II)
9 elunii 4908 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ II) β†’ 𝑍 ∈ βˆͺ II)
109, 4eleqtrrdi 2839 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ II) β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
117, 8, 10syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
1211adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑍 ∈ (0[,]1))
1312snssd 4808 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {𝑍} βŠ† (0[,]1))
14 xpss12 5687 . . . . 5 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ {𝑍} βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
156, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
16 cvmlift2lem11.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
18 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = βˆͺ 𝐢
19 cvmlift2.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
20 cvmlift2.g . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
21 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
22 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
23 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
24 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24cvmlift2lem5 34853 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
278adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑉 ∈ II)
28 elssuni 4935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ II β†’ 𝑉 βŠ† βˆͺ II)
2928, 4sseqtrrdi 4029 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ II β†’ 𝑉 βŠ† (0[,]1))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑉 βŠ† (0[,]1))
3130, 17sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ π‘Œ ∈ (0[,]1))
3231snssd 4808 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {π‘Œ} βŠ† (0[,]1))
33 xpss12 5687 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ {π‘Œ} βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
346, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
3526, 34fssresd 6758 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡)
3634adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}))
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀)
39 cvmlift2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)}
4038, 39sseqtrdi 4028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)})
41 ssrab 4066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)} ↔ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
4241simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)} β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
4443r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
45 iitopon 24786 . . . . . . . . . . . . . . 15 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
46 txtopon 23482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))) β†’ (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
4745, 45, 46mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
4847toponunii 22805 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) = βˆͺ (II Γ—t II)
4948cnpresti 23179 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) ∧ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
5036, 37, 44, 49syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
5150ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
52 resttopon 23052 . . . . . . . . . . . 12 (((II Γ—t II) ∈ (TopOnβ€˜((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
5347, 34, 52sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
54 cvmtop1 34806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
5519, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐢 ∈ Top)
5718toptopon 22806 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5856, 57sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
59 cncnp 23171 . . . . . . . . . . 11 ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (TopOnβ€˜(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∧ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢) ↔ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))))
6053, 58, 59syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢) ↔ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})):(π‘ˆ Γ— {π‘Œ})⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})(𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) CnP 𝐢)β€˜π‘§))))
6135, 51, 60mpbir2and 712 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢))
62 sneq 4634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = π‘Œ β†’ {𝑀} = {π‘Œ})
6362xpeq2d 5702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘Œ β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑀}) = (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}))
6463reseq2d 5979 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘Œ β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) = (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
6563oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) = ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})))
6665oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘Œ β†’ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) = (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢))
6764, 66eleq12d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢)))
6867rspcev 3607 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {π‘Œ})) Cn 𝐢)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢))
6917, 61, 68syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢))
70 cvmlift2lem11.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢)))
7170imp 406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— {𝑀})) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— {𝑀})) Cn 𝐢)) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
7269, 71syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
7372adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢))
747adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
7574snssd 4808 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ {𝑍} βŠ† 𝑉)
76 xpss2 5692 . . . . . . . . 9 ({𝑍} βŠ† 𝑉 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† (π‘ˆ Γ— 𝑉))
7775, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† (π‘ˆ Γ— 𝑉))
78 iitop 24787 . . . . . . . . . 10 II ∈ Top
7978, 78txtopi 23481 . . . . . . . . 9 (II Γ—t II) ∈ Top
80 xpss12 5687 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ βŠ† (0[,]1) ∧ 𝑉 βŠ† (0[,]1)) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
816, 30, 80syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
8248restuni 23053 . . . . . . . . 9 (((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8379, 81, 82sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8477, 83sseqtrd 4018 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
8584sselda 3978 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)))
86 eqid 2727 . . . . . . 7 βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) = βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉))
8786cncnpi 23169 . . . . . 6 (((𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) Cn 𝐢) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ ((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉))) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
8873, 85, 87syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
8979a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (II Γ—t II) ∈ Top)
9081adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
9178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ II ∈ Top)
92 txopn 23493 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (π‘ˆ ∈ II ∧ 𝑉 ∈ II)) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II))
9391, 91, 2, 27, 92syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II))
94 isopn3i 22973 . . . . . . . . 9 (((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) ∈ (II Γ—t II)) β†’ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) = (π‘ˆ Γ— 𝑉))
9579, 93, 94sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) = (π‘ˆ Γ— 𝑉))
9677, 95sseqtrrd 4019 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)))
9796sselda 3978 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝑧 ∈ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)))
9825ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
9948, 18cnprest 23180 . . . . . 6 ((((II Γ—t II) ∈ Top ∧ (π‘ˆ Γ— 𝑉) βŠ† ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∧ (𝑧 ∈ ((intβ€˜(II Γ—t II))β€˜(π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∧ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
10089, 90, 97, 98, 99syl22anc 838 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ (𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§) ↔ (𝐾 β†Ύ (π‘ˆ Γ— 𝑉)) ∈ ((((II Γ—t II) β†Ύt (π‘ˆ Γ— 𝑉)) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
10188, 100mpbird 257 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (π‘ˆ Γ— {𝑍})) β†’ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
10215, 101ssrabdv 4067 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)})
103102, 39sseqtrrdi 4029 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀)
104103ex 412 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Œ}) βŠ† 𝑀 β†’ (π‘ˆ Γ— {𝑍}) βŠ† 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βŠ† wss 3944  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  0cc0 11130  1c1 11131  [,]cicc 13351   β†Ύt crest 17393  Topctop 22782  TopOnctopon 22799  intcnt 22908   Cn ccn 23115   CnP ccnp 23116   Γ—t ctx 23451  IIcii 24782   CovMap ccvm 34801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-cmp 23278  df-conn 23303  df-lly 23357  df-nlly 23358  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-ii 24784  df-cncf 24785  df-htpy 24883  df-phtpy 24884  df-phtpc 24905  df-pconn 34767  df-sconn 34768  df-cvm 34802
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  34860
  Copyright terms: Public domain W3C validator