Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem11 32447
Description: Lemma for cvmlift2 32450. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
cvmlift2lem11.1 (𝜑𝑈 ∈ II)
cvmlift2lem11.2 (𝜑𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem11.3 (𝜑𝑌𝑉)
cvmlift2lem11.4 (𝜑𝑍𝑉)
cvmlift2lem11.5 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem11 (𝜑 → ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑧   𝑓,𝐺,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑉   𝑓,𝐻,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐶,𝑓,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑌,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑃(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑀(𝑤,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑤,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem11
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem11.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ II)
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑈 ∈ II)
3 elssuni 4865 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ II → 𝑈 II)
4 iiuni 23407 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
53, 4sseqtrrdi 4021 . . . . . 6 (𝑈 ∈ II → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
7 cvmlift2lem11.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑉)
8 cvmlift2lem11.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ II)
9 elunii 4841 . . . . . . . . 9 ((𝑍𝑉𝑉 ∈ II) → 𝑍 II)
109, 4syl6eleqr 2928 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑉 ∈ II) → 𝑍 ∈ (0[,]1))
117, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (0[,]1))
1211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑍 ∈ (0[,]1))
1312snssd 4740 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑍} ⊆ (0[,]1))
14 xpss12 5568 . . . . 5 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑍} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
156, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
16 cvmlift2lem11.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑌𝑉)
18 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝐶
19 cvmlift2.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
20 cvmlift2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
21 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐵)
22 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
23 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
24 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24cvmlift2lem5 32441 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
278adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑉 ∈ II)
28 elssuni 4865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ II → 𝑉 II)
2928, 4sseqtrrdi 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ II → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
3130, 17sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑌 ∈ (0[,]1))
3231snssd 4740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑌} ⊆ (0[,]1))
33 xpss12 5568 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑌} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
346, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
3526, 34fssresd 6541 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵)
3634adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌}))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀)
39 cvmlift2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
4038, 39syl6sseq 4020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)})
41 ssrab 4052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)} ↔ ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
4241simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)} → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
4443r19.21bi 3212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
45 iitopon 23405 . . . . . . . . . . . . . . 15 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
46 txtopon 22118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
4745, 45, 46mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
4847toponunii 21443 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
4948cnpresti 21815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌}) ∧ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
5036, 37, 44, 49syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
5150ralrimiva 3186 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
52 resttopon 21688 . . . . . . . . . . . 12 (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})))
5347, 34, 52sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})))
54 cvmtop1 32394 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
5519, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ Top)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐶 ∈ Top)
5718toptopon 21444 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
5856, 57sylib 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
59 cncnp 21807 . . . . . . . . . . 11 ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶) ↔ ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))))
6053, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶) ↔ ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))))
6135, 51, 60mpbir2and 709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶))
62 sneq 4573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → {𝑤} = {𝑌})
6362xpeq2d 5583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → (𝑈 × {𝑤}) = (𝑈 × {𝑌}))
6463reseq2d 5851 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) = (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})))
6563oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})))
6665oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶))
6764, 66eleq12d 2911 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑌 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶)))
6867rspcev 3626 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑉 ∧ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶)) → ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶))
6917, 61, 68syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶))
70 cvmlift2lem11.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶)))
7170imp 407 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
7269, 71syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
7372adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
747adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑍𝑉)
7574snssd 4740 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
76 xpss2 5573 . . . . . . . . 9 ({𝑍} ⊆ 𝑉 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
7775, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
78 iitop 23406 . . . . . . . . . 10 II ∈ Top
7978, 78txtopi 22117 . . . . . . . . 9 (II ×t II) ∈ Top
80 xpss12 5568 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ 𝑉 ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
816, 30, 80syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
8248restuni 21689 . . . . . . . . 9 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → (𝑈 × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8379, 81, 82sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8477, 83sseqtrd 4010 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8584sselda 3970 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝑧 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
86 eqid 2825 . . . . . . 7 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉))
8786cncnpi 21805 . . . . . 6 (((𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶) ∧ 𝑧 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉))) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧))
8873, 85, 87syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧))
8979a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (II ×t II) ∈ Top)
9081adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
9178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → II ∈ Top)
92 txopn 22129 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (𝑈 ∈ II ∧ 𝑉 ∈ II)) → (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II))
9391, 91, 2, 27, 92syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II))
94 isopn3i 21609 . . . . . . . . 9 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II)) → ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) = (𝑈 × 𝑉))
9579, 93, 94sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) = (𝑈 × 𝑉))
9677, 95sseqtrrd 4011 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)))
9796sselda 3970 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝑧 ∈ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)))
9825ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
9948, 18cnprest 21816 . . . . . 6 ((((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ (𝑧 ∈ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) ∧ 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)) → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10089, 90, 97, 98, 99syl22anc 836 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10188, 100mpbird 258 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
10215, 101ssrabdv 4053 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)})
103102, 39sseqtrrdi 4021 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀)
104103ex 413 1 (𝜑 → ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  {crab 3146  wss 3939  {csn 4563   cuni 4836  cmpt 5142   × cxp 5551  cres 5555  ccom 5557  wf 6347  cfv 6351  crio 7108  (class class class)co 7151  cmpo 7153  0cc0 10529  1c1 10530  [,]cicc 12734  t crest 16687  Topctop 21420  TopOnctopon 21437  intcnt 21544   Cn ccn 21751   CnP ccnp 21752   ×t ctx 22087  IIcii 23401   CovMap ccvm 32389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-ec 8284  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-starv 16573  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-unif 16581  df-hom 16582  df-cco 16583  df-rest 16689  df-topn 16690  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-topgen 16710  df-pt 16711  df-prds 16714  df-xrs 16768  df-qtop 16773  df-imas 16774  df-xps 16776  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17948  df-mulg 18158  df-cntz 18380  df-cmn 18831  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-cmp 21914  df-conn 21939  df-lly 21993  df-nlly 21994  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-ii 23403  df-htpy 23492  df-phtpy 23493  df-phtpc 23514  df-pconn 32355  df-sconn 32356  df-cvm 32390
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  32448
  Copyright terms: Public domain W3C validator