MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggen 19437
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
symggen (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem symggen
Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3480 . . . 4 (𝐷𝑉𝐷 ∈ V)
2 symgtrf.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
32symggrp 19367 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
43grpmndd 18911 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → 𝐺 ∈ Mnd)
5 symgtrf.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
65submacs 18787 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
7 acsmre 17635 . . . . 5 ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
84, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
91, 8syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
10 symgtrf.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
1110, 2, 5symgtrf 19436 . . . . 5 𝑇𝐵
1211a1i 11 . . . 4 (𝐷𝑉𝑇𝐵)
13 2onn 8663 . . . . . 6 2o ∈ ω
14 nnfi 9192 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 2o ∈ Fin
16 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
1716, 10pmtrfb 19432 . . . . . . . 8 (𝑥𝑇 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑥:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o))
1817simp3bi 1144 . . . . . . 7 (𝑥𝑇 → dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o)
19 enfi 9215 . . . . . . 7 (dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝑇 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2120adantl 480 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑥𝑇) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2215, 21mpbiri 257 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑥𝑇) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
2312, 22ssrabdv 4067 . . 3 (𝐷𝑉𝑇 ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
242, 5symgfisg 19435 . . . 4 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
25 subgsubm 19111 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺))
2624, 25syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺))
27 symggen.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
2827mrcsscl 17603 . . 3 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇 ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑇) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
299, 23, 26, 28syl3anc 1368 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
30 vex 3465 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . 6 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
32 finnum 9973 . . . . . 6 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ dom card)
33 domfi 9217 . . . . . . . 8 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
342, 5symgbasf1o 19341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
3534adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
36 f1ofn 6839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑦 Fn 𝐷)
37 fnnfpeq0 7187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 Fn 𝐷 → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑦 = ( I ↾ 𝐷)))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑦 = ( I ↾ 𝐷)))
392, 5elbasfv 17189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵𝐷 ∈ V)
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝐷 ∈ V)
412symgid 19368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
4340, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
4427mrccl 17594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇𝐵) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
4543, 11, 44sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
46 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4746subm0cl 18771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐾𝑇))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (0g𝐺) ∈ (𝐾𝑇))
4942, 48eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → ( I ↾ 𝐷) ∈ (𝐾𝑇))
50 eleq1a 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐷) ∈ (𝐾𝑇) → (𝑦 = ( I ↾ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 = ( I ↾ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5238, 51sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5352adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
54 n0 4346 . . . . . . . . . . . 12 (dom (𝑦 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
5540adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝐷 ∈ V)
56 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
57 f1omvdmvd 19410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ (dom (𝑦 ∖ I ) ∖ {𝑢}))
5835, 57sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ (dom (𝑦 ∖ I ) ∖ {𝑢}))
5958eldifad 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
6056, 59prssd 4827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
61 difss 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑦
62 dmss 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑦 → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom 𝑦)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom 𝑦
64 f1odm 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝑦 = 𝐷)
6535, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → dom 𝑦 = 𝐷)
6663, 65sseqtrid 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
6766adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
6860, 67sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷)
69 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑢 ∈ V
70 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑢) ∈ V
7135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7271, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦 Fn 𝐷)
7366sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢𝐷)
74 fnelnfp 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 Fn 𝐷𝑢𝐷) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢))
7572, 73, 74syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢))
7656, 75mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ≠ 𝑢)
7776necomd 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢 ≠ (𝑦𝑢))
78 enpr2 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢 ∈ V ∧ (𝑦𝑢) ∈ V ∧ 𝑢 ≠ (𝑦𝑢)) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o)
7969, 70, 77, 78mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o)
8016, 10pmtrrn 19424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ V ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇)
8155, 68, 79, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇)
8211, 81sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵)
83 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦𝐵)
84 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+g𝐺) = (+g𝐺)
852, 5, 84symgov 19350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
8682, 83, 85syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
8786oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
8840, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝐺 ∈ Grp)
905, 84grpcl 18906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
9189, 82, 83, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
9286, 91eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵)
932, 5, 84symgov 19350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵 ∧ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
9482, 92, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
95 coass 6271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
9616, 10pmtrfinv 19428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) = ( I ↾ 𝐷))
9781, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) = ( I ↾ 𝐷))
9897coeq1d 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦))
99 f1of 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑦:𝐷𝐷)
100 fcoi2 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10171, 99, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10298, 101eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10395, 102eqtr3id 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = 𝑦)
10487, 94, 1033eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = 𝑦)
105104adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = 𝑦)
10645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
10727mrcssid 17600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
10843, 11, 107sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
110109, 81sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇))
111110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇))
11286difeq1d 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
113112dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) = dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
114 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
115 mvdco 19412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊆ (dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ∪ dom (𝑦 ∖ I ))
11616pmtrmvd 19423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ V ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) = {𝑢, (𝑦𝑢)})
11755, 68, 79, 116syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) = {𝑢, (𝑦𝑢)})
118117, 60eqsstrd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
119 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
120118, 119unssd 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ∪ dom (𝑦 ∖ I )) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
121115, 120sstrid 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
122 fvco2 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 Fn 𝐷𝑢𝐷) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)))
12372, 73, 122syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)))
124 prcom 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 {𝑢, (𝑦𝑢)} = {(𝑦𝑢), 𝑢}
125124fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})
126125fveq1i 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢))
12767, 59sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ 𝐷)
12816pmtrprfv 19420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝑦𝑢) ∈ 𝐷𝑢𝐷 ∧ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
12955, 127, 73, 76, 128syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
130126, 129eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
131123, 130eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢)
1322, 5symgbasf1o 19341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
133 f1ofn 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦):𝐷1-1-onto𝐷 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷)
13492, 132, 1333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷)
135 fnelnfp 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷𝑢𝐷) → (𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ↔ ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) ≠ 𝑢))
136135necon2bbid 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷𝑢𝐷) → (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢 ↔ ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I )))
137134, 73, 136syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢 ↔ ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I )))
138131, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
139121, 56, 138ssnelpssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊊ dom (𝑦 ∖ I ))
140 php3 9237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊊ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
141114, 139, 140syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
142113, 141eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
143142adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
14491adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
145 ovex 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ V
146 difeq1 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧 ∖ I ) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ))
147146dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → dom (𝑧 ∖ I ) = dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ))
148147breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I )))
149 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧𝐵 ↔ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
150 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐾𝑇) ↔ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)))
151149, 150imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → ((𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
152148, 151imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → ((dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) ↔ (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)))))
153145, 152spcv 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
154153ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
155143, 144, 154mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))
15684submcl 18772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇) ∧ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐾𝑇))
157106, 111, 155, 156syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐾𝑇))
158105, 157eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))
159158ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
160159exlimdv 1928 . . . . . . . . . . . 12 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (∃𝑢 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
16154, 160biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (dom (𝑦 ∖ I ) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
16253, 161pm2.61dne 3017 . . . . . . . . . 10 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))
163162exp31 418 . . . . . . . . 9 (dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin → (𝑦𝐵 → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
164163com23 86 . . . . . . . 8 (dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
16533, 164syl 17 . . . . . . 7 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I )) → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
1661653impia 1114 . . . . . 6 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I ) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
167 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
168 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐾𝑇) ↔ 𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))
169167, 168imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))))
170 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
171 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐾𝑇) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾𝑇)))
172170, 171imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐾𝑇))))
173 difeq1 4111 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
174173dmeqd 5908 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
175 difeq1 4111 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∖ I ) = (𝑥 ∖ I ))
176175dmeqd 5908 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑥 ∖ I ))
17731, 32, 166, 169, 172, 174, 176indcardi 10066 . . . . 5 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐾𝑇)))
178177impcom 406 . . . 4 ((𝑥𝐵 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑇))
1791783adant1 1127 . . 3 ((𝐷𝑉𝑥𝐵 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑇))
180179rabssdv 4068 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (𝐾𝑇))
18129, 180eqssd 3994 1 (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  wss 3944  wpss 3945  c0 4322  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5149   I cid 5575  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  ccom 5682   Fn wfn 6544  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871  2oc2o 8481  cen 8961  cdom 8962  csdm 8963  Fincfn 8964  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  0gc0g 17424  Moorecmre 17565  mrClscmrc 17566  ACScacs 17568  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18742  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19083  SymGrpcsymg 19333  pmTrspcpmtr 19408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-tset 17255  df-0g 17426  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-efmnd 18829  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19086  df-symg 19334  df-pmtr 19409
This theorem is referenced by:  symggen2  19438  psgneldm2  19471
  Copyright terms: Public domain W3C validator