MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggen 18359
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
symggen (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem symggen
Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3433 . . . 4 (𝐷𝑉𝐷 ∈ V)
2 symgtrf.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
32symggrp 18289 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
4 grpmnd 17898 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → 𝐺 ∈ Mnd)
6 symgtrf.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
76submacs 17833 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
8 acsmre 16781 . . . . 5 ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
101, 9syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
11 symgtrf.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
1211, 2, 6symgtrf 18358 . . . . 5 𝑇𝐵
1312a1i 11 . . . 4 (𝐷𝑉𝑇𝐵)
14 2onn 8067 . . . . . 6 2o ∈ ω
15 nnfi 8506 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 2o ∈ Fin
17 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
1817, 11pmtrfb 18354 . . . . . . . 8 (𝑥𝑇 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑥:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o))
1918simp3bi 1127 . . . . . . 7 (𝑥𝑇 → dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o)
20 enfi 8529 . . . . . . 7 (dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝑇 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2221adantl 474 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑥𝑇) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2316, 22mpbiri 250 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑥𝑇) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
2413, 23ssrabdv 3940 . . 3 (𝐷𝑉𝑇 ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
252, 6symgfisg 18357 . . . 4 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 subgsubm 18085 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺))
28 symggen.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
2928mrcsscl 16749 . . 3 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇 ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑇) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
3010, 24, 27, 29syl3anc 1351 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
31 vex 3418 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
33 finnum 9171 . . . . . 6 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ dom card)
34 domfi 8534 . . . . . . . 8 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
352, 6symgbasf1o 18272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
3635adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
37 f1ofn 6445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑦 Fn 𝐷)
38 fnnfpeq0 6763 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 Fn 𝐷 → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑦 = ( I ↾ 𝐷)))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑦 = ( I ↾ 𝐷)))
402, 6elbasfv 16400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵𝐷 ∈ V)
4140adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝐷 ∈ V)
422symgid 18290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
4441, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
4528mrccl 16740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇𝐵) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
4644, 12, 45sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
47 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4847subm0cl 17820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐾𝑇))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (0g𝐺) ∈ (𝐾𝑇))
5043, 49eqeltrd 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → ( I ↾ 𝐷) ∈ (𝐾𝑇))
51 eleq1a 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐷) ∈ (𝐾𝑇) → (𝑦 = ( I ↾ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 = ( I ↾ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5339, 52sylbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5453adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
55 n0 4196 . . . . . . . . . . . 12 (dom (𝑦 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
5641adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝐷 ∈ V)
57 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
58 f1omvdmvd 18332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ (dom (𝑦 ∖ I ) ∖ {𝑢}))
5936, 58sylan 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ (dom (𝑦 ∖ I ) ∖ {𝑢}))
6059eldifad 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
6157, 60prssd 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
62 difss 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑦
63 dmss 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑦 → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom 𝑦)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom 𝑦
65 f1odm 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝑦 = 𝐷)
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → dom 𝑦 = 𝐷)
6764, 66syl5sseq 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
6867adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
6961, 68sstrd 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷)
70 vex 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑢 ∈ V
71 fvex 6512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑢) ∈ V
7236adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7372, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦 Fn 𝐷)
7467sselda 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢𝐷)
75 fnelnfp 6762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 Fn 𝐷𝑢𝐷) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢))
7673, 74, 75syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢))
7757, 76mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ≠ 𝑢)
7877necomd 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢 ≠ (𝑦𝑢))
79 pr2nelem 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢 ∈ V ∧ (𝑦𝑢) ∈ V ∧ 𝑢 ≠ (𝑦𝑢)) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o)
8070, 71, 78, 79mp3an12i 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o)
8117, 11pmtrrn 18346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ V ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇)
8256, 69, 80, 81syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇)
8312, 82sseldi 3856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵)
84 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦𝐵)
85 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+g𝐺) = (+g𝐺)
862, 6, 85symgov 18279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
8783, 84, 86syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
8887oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
8941, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9089adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝐺 ∈ Grp)
916, 85grpcl 17899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
9290, 83, 84, 91syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
9387, 92eqeltrrd 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵)
942, 6, 85symgov 18279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵 ∧ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
9583, 93, 94syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
96 coass 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
9717, 11pmtrfinv 18350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) = ( I ↾ 𝐷))
9882, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) = ( I ↾ 𝐷))
9998coeq1d 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦))
100 f1of 6444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑦:𝐷𝐷)
101 fcoi2 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10272, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10399, 102eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10496, 103syl5eqr 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = 𝑦)
10588, 95, 1043eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = 𝑦)
106105adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = 𝑦)
10746ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
10828mrcssid 16746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
10944, 12, 108sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
110109adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
111110, 82sseldd 3859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇))
112111adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇))
11387difeq1d 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
114113dmeqd 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) = dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
115 simpll 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
116 mvdco 18334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊆ (dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ∪ dom (𝑦 ∖ I ))
11717pmtrmvd 18345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ V ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) = {𝑢, (𝑦𝑢)})
11856, 69, 80, 117syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) = {𝑢, (𝑦𝑢)})
119118, 61eqsstrd 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
120 ssidd 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
121119, 120unssd 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ∪ dom (𝑦 ∖ I )) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
122116, 121syl5ss 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
123 fvco2 6586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 Fn 𝐷𝑢𝐷) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)))
12473, 74, 123syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)))
125 prcom 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 {𝑢, (𝑦𝑢)} = {(𝑦𝑢), 𝑢}
126125fveq2i 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})
127126fveq1i 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢))
12868, 60sseldd 3859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ 𝐷)
12917pmtrprfv 18342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝑦𝑢) ∈ 𝐷𝑢𝐷 ∧ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
13056, 128, 74, 77, 129syl13anc 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
131127, 130syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
132124, 131eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢)
1332, 6symgbasf1o 18272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
134 f1ofn 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦):𝐷1-1-onto𝐷 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷)
13593, 133, 1343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷)
136 fnelnfp 6762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷𝑢𝐷) → (𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ↔ ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) ≠ 𝑢))
137136necon2bbid 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷𝑢𝐷) → (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢 ↔ ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I )))
138135, 74, 137syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢 ↔ ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I )))
139132, 138mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
140122, 57, 139ssnelpssd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊊ dom (𝑦 ∖ I ))
141 php3 8499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊊ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
142115, 140, 141syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
143114, 142eqbrtrd 4951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
144143adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
14592adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
146 ovex 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ V
147 difeq1 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧 ∖ I ) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ))
148147dmeqd 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → dom (𝑧 ∖ I ) = dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ))
149148breq1d 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I )))
150 eleq1 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧𝐵 ↔ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
151 eleq1 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐾𝑇) ↔ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)))
152150, 151imbi12d 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → ((𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
153149, 152imbi12d 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → ((dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) ↔ (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)))))
154146, 153spcv 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
155154ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
156144, 145, 155mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))
15785submcl 17821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇) ∧ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐾𝑇))
158107, 112, 156, 157syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐾𝑇))
159106, 158eqeltrrd 2867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))
160159ex 405 . . . . . . . . . . . . 13 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
161160exlimdv 1892 . . . . . . . . . . . 12 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (∃𝑢 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
16255, 161syl5bi 234 . . . . . . . . . . 11 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (dom (𝑦 ∖ I ) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
16354, 162pm2.61dne 3054 . . . . . . . . . 10 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))
164163exp31 412 . . . . . . . . 9 (dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin → (𝑦𝐵 → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
165164com23 86 . . . . . . . 8 (dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
16634, 165syl 17 . . . . . . 7 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I )) → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
1671663impia 1097 . . . . . 6 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I ) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
168 eleq1w 2848 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
169 eleq1w 2848 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐾𝑇) ↔ 𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))
170168, 169imbi12d 337 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))))
171 eleq1w 2848 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
172 eleq1w 2848 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐾𝑇) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾𝑇)))
173171, 172imbi12d 337 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐾𝑇))))
174 difeq1 3982 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
175174dmeqd 5624 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
176 difeq1 3982 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∖ I ) = (𝑥 ∖ I ))
177176dmeqd 5624 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑥 ∖ I ))
17832, 33, 167, 170, 173, 175, 177indcardi 9261 . . . . 5 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐾𝑇)))
179178impcom 399 . . . 4 ((𝑥𝐵 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑇))
1801793adant1 1110 . . 3 ((𝐷𝑉𝑥𝐵 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑇))
181180rabssdv 3941 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (𝐾𝑇))
18230, 181eqssd 3875 1 (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wal 1505   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2050  wne 2967  {crab 3092  Vcvv 3415  cdif 3826  cun 3827  wss 3829  wpss 3830  c0 4178  {csn 4441  {cpr 4443   class class class wbr 4929   I cid 5311  dom cdm 5407  ran crn 5408  cres 5409  ccom 5411   Fn wfn 6183  wf 6184  1-1-ontowf1o 6187  cfv 6188  (class class class)co 6976  ωcom 7396  2oc2o 7899  cen 8303  cdom 8304  csdm 8305  Fincfn 8306  Basecbs 16339  +gcplusg 16421  0gc0g 16569  Moorecmre 16711  mrClscmrc 16712  ACScacs 16714  Mndcmnd 17762  SubMndcsubmnd 17802  Grpcgrp 17891  SubGrpcsubg 18057  SymGrpcsymg 18266  pmTrspcpmtr 18330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-tset 16440  df-0g 16571  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-subg 18060  df-symg 18267  df-pmtr 18331
This theorem is referenced by:  symggen2  18360  psgneldm2  18394
  Copyright terms: Public domain W3C validator