MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggen 18598
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
symggen (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem symggen
Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3498 . . . 4 (𝐷𝑉𝐷 ∈ V)
2 symgtrf.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
32symggrp 18528 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
4 grpmnd 18110 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → 𝐺 ∈ Mnd)
6 symgtrf.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
76submacs 17991 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
8 acsmre 16923 . . . . 5 ((SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
101, 9syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
11 symgtrf.t . . . . . 6 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
1211, 2, 6symgtrf 18597 . . . . 5 𝑇𝐵
1312a1i 11 . . . 4 (𝐷𝑉𝑇𝐵)
14 2onn 8262 . . . . . 6 2o ∈ ω
15 nnfi 8709 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 2o ∈ Fin
17 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
1817, 11pmtrfb 18593 . . . . . . . 8 (𝑥𝑇 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑥:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o))
1918simp3bi 1144 . . . . . . 7 (𝑥𝑇 → dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o)
20 enfi 8731 . . . . . . 7 (dom (𝑥 ∖ I ) ≈ 2o → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝑇 → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2221adantl 485 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝑥𝑇) → (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
2316, 22mpbiri 261 . . . 4 ((𝐷𝑉𝑥𝑇) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
2413, 23ssrabdv 4036 . . 3 (𝐷𝑉𝑇 ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
252, 6symgfisg 18596 . . . 4 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 subgsubm 18301 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . 3 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺))
28 symggen.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
2928mrcsscl 16891 . . 3 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇 ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∧ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑇) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
3010, 24, 27, 29syl3anc 1368 . 2 (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
31 vex 3483 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
33 finnum 9374 . . . . . 6 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ dom card)
34 domfi 8736 . . . . . . . 8 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
352, 6symgbasf1o 18503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
3635adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
37 f1ofn 6607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑦 Fn 𝐷)
38 fnnfpeq0 6931 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 Fn 𝐷 → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑦 = ( I ↾ 𝐷)))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑦 = ( I ↾ 𝐷)))
402, 6elbasfv 16544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵𝐷 ∈ V)
4140adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝐷 ∈ V)
422symgid 18529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
4441, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
4528mrccl 16882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇𝐵) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
4644, 12, 45sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
47 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4847subm0cl 17976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐾𝑇))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (0g𝐺) ∈ (𝐾𝑇))
5043, 49eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → ( I ↾ 𝐷) ∈ (𝐾𝑇))
51 eleq1a 2911 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐷) ∈ (𝐾𝑇) → (𝑦 = ( I ↾ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 = ( I ↾ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5339, 52sylbid 243 . . . . . . . . . . . 12 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
5453adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (dom (𝑦 ∖ I ) = ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
55 n0 4293 . . . . . . . . . . . 12 (dom (𝑦 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
5641adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝐷 ∈ V)
57 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
58 f1omvdmvd 18571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ (dom (𝑦 ∖ I ) ∖ {𝑢}))
5936, 58sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ (dom (𝑦 ∖ I ) ∖ {𝑢}))
6059eldifad 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ dom (𝑦 ∖ I ))
6157, 60prssd 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
62 difss 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑦
63 dmss 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝑦 → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom 𝑦)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom 𝑦
65 f1odm 6610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝑦 = 𝐷)
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → dom 𝑦 = 𝐷)
6764, 66sseqtrid 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
6867adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
6961, 68sstrd 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷)
70 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑢 ∈ V
71 fvex 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑢) ∈ V
7236adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦:𝐷1-1-onto𝐷)
7372, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦 Fn 𝐷)
7467sselda 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢𝐷)
75 fnelnfp 6930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 Fn 𝐷𝑢𝐷) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢))
7673, 74, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢))
7757, 76mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ≠ 𝑢)
7877necomd 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑢 ≠ (𝑦𝑢))
79 pr2nelem 9428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢 ∈ V ∧ (𝑦𝑢) ∈ V ∧ 𝑢 ≠ (𝑦𝑢)) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o)
8070, 71, 78, 79mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o)
8117, 11pmtrrn 18585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ V ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇)
8256, 69, 80, 81syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇)
8312, 82sseldi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵)
84 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦𝐵)
85 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+g𝐺) = (+g𝐺)
862, 6, 85symgov 18512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
8783, 84, 86syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
8887oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
8941, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9089adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝐺 ∈ Grp)
916, 85grpcl 18111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
9290, 83, 84, 91syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
9387, 92eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵)
942, 6, 85symgov 18512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝐵 ∧ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
9583, 93, 94syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)))
96 coass 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦))
9717, 11pmtrfinv 18589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ 𝑇 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) = ( I ↾ 𝐷))
9882, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) = ( I ↾ 𝐷))
9998coeq1d 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦))
100 f1of 6606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦:𝐷1-1-onto𝐷𝑦:𝐷𝐷)
101 fcoi2 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10272, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10399, 102eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})) ∘ 𝑦) = 𝑦)
10496, 103syl5eqr 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)) = 𝑦)
10588, 95, 1043eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = 𝑦)
106105adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) = 𝑦)
10746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺))
10828mrcssid 16888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
10944, 12, 108sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
110109adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑇 ⊆ (𝐾𝑇))
111110, 82sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇))
112111adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇))
11387difeq1d 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
114113dmeqd 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) = dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
115 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin)
116 mvdco 18573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊆ (dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ∪ dom (𝑦 ∖ I ))
11717pmtrmvd 18584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ V ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑢, (𝑦𝑢)} ≈ 2o) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) = {𝑢, (𝑦𝑢)})
11856, 69, 80, 117syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) = {𝑢, (𝑦𝑢)})
119118, 61eqsstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
120 ssidd 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom (𝑦 ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
121119, 120unssd 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (dom (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∖ I ) ∪ dom (𝑦 ∖ I )) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
122116, 121sstrid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊆ dom (𝑦 ∖ I ))
123 fvco2 6749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 Fn 𝐷𝑢𝐷) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)))
12473, 74, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)))
125 prcom 4653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 {𝑢, (𝑦𝑢)} = {(𝑦𝑢), 𝑢}
126125fveq2i 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})
127126fveq1i 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢))
12868, 60sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (𝑦𝑢) ∈ 𝐷)
12917pmtrprfv 18581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝑦𝑢) ∈ 𝐷𝑢𝐷 ∧ (𝑦𝑢) ≠ 𝑢)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
13056, 128, 74, 77, 129syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑦𝑢), 𝑢})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
131127, 130syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})‘(𝑦𝑢)) = 𝑢)
132124, 131eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢)
1332, 6symgbasf1o 18503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦):𝐷1-1-onto𝐷)
134 f1ofn 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦):𝐷1-1-onto𝐷 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷)
13593, 133, 1343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷)
136 fnelnfp 6930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷𝑢𝐷) → (𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ↔ ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) ≠ 𝑢))
137136necon2bbid 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) Fn 𝐷𝑢𝐷) → (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢 ↔ ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I )))
138135, 74, 137syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦)‘𝑢) = 𝑢 ↔ ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I )))
139132, 138mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → ¬ 𝑢 ∈ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ))
140122, 57, 139ssnelpssd 4075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊊ dom (𝑦 ∖ I ))
141 php3 8700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ⊊ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
142115, 140, 141syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∘ 𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
143114, 142eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
144143adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ))
14592adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
146 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ V
147 difeq1 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧 ∖ I ) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ))
148147dmeqd 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → dom (𝑧 ∖ I ) = dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ))
149148breq1d 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) ↔ dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I )))
150 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧𝐵 ↔ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
151 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐾𝑇) ↔ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)))
152150, 151imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → ((𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
153149, 152imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) → ((dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) ↔ (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)))))
154146, 153spcv 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
155154ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (dom ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))))
156144, 145, 155mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇))
15785submcl 17977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾𝑇) ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)}) ∈ (𝐾𝑇) ∧ (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦) ∈ (𝐾𝑇)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐾𝑇))
158107, 112, 156, 157syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)(((pmTrsp‘𝐷)‘{𝑢, (𝑦𝑢)})(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐾𝑇))
159106, 158eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) ∧ 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I )) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))
160159ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
161160exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . 12 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (∃𝑢 𝑢 ∈ dom (𝑦 ∖ I ) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
16255, 161syl5bi 245 . . . . . . . . . . 11 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (dom (𝑦 ∖ I ) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
16354, 162pm2.61dne 3100 . . . . . . . . . 10 (((dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))
164163exp31 423 . . . . . . . . 9 (dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin → (𝑦𝐵 → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
165164com23 86 . . . . . . . 8 (dom (𝑦 ∖ I ) ∈ Fin → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
16634, 165syl 17 . . . . . . 7 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I )) → (∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇))))
1671663impia 1114 . . . . . 6 ((dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin ∧ dom (𝑦 ∖ I ) ≼ dom (𝑥 ∖ I ) ∧ ∀𝑧(dom (𝑧 ∖ I ) ≺ dom (𝑦 ∖ I ) → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)))
168 eleq1w 2898 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
169 eleq1w 2898 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐾𝑇) ↔ 𝑧 ∈ (𝐾𝑇)))
170168, 169imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ (𝑧𝐵𝑧 ∈ (𝐾𝑇))))
171 eleq1w 2898 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
172 eleq1w 2898 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐾𝑇) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾𝑇)))
173171, 172imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐾𝑇)) ↔ (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐾𝑇))))
174 difeq1 4078 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ I ) = (𝑧 ∖ I ))
175174dmeqd 5761 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑧 ∖ I ))
176 difeq1 4078 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∖ I ) = (𝑥 ∖ I ))
177176dmeqd 5761 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → dom (𝑦 ∖ I ) = dom (𝑥 ∖ I ))
17832, 33, 167, 170, 173, 175, 177indcardi 9465 . . . . 5 (dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐾𝑇)))
179178impcom 411 . . . 4 ((𝑥𝐵 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑇))
1801793adant1 1127 . . 3 ((𝐷𝑉𝑥𝐵 ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑇))
181180rabssdv 4037 . 2 (𝐷𝑉 → {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ⊆ (𝐾𝑇))
18230, 181eqssd 3970 1 (𝐷𝑉 → (𝐾𝑇) = {𝑥𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  {crab 3137  Vcvv 3480  cdif 3916  cun 3917  wss 3919  wpss 3920  c0 4276  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5052   I cid 5446  dom cdm 5542  ran crn 5543  cres 5544  ccom 5546   Fn wfn 6338  wf 6339  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7149  ωcom 7574  2oc2o 8092  cen 8502  cdom 8503  csdm 8504  Fincfn 8505  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  0gc0g 16713  Moorecmre 16853  mrClscmrc 16854  ACScacs 16856  Mndcmnd 17911  SubMndcsubmnd 17955  Grpcgrp 18103  SubGrpcsubg 18273  SymGrpcsymg 18495  pmTrspcpmtr 18569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-efmnd 18034  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-subg 18276  df-symg 18496  df-pmtr 18570
This theorem is referenced by:  symggen2  18599  psgneldm2  18632
  Copyright terms: Public domain W3C validator