Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  perfectALTVlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectALTVlem2 46000
Description: Lemma for perfectALTV 46001. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectALTVlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
perfectALTVlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
perfectALTVlem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Odd )
perfectALTVlem.4 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
Assertion
Ref Expression
perfectALTVlem2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))

Proof of Theorem perfectALTVlem2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectALTVlem.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2 1re 11160 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4 perfectALTVlem.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
5 perfectALTVlem.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Odd )
6 perfectALTVlem.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
74, 1, 5, 6perfectALTVlem1 45999 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))
87simp3d 1145 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
98nnred 12173 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
101nnred 12173 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
118nnge1d 12206 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
12 2cn 12233 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
13 exp1 13979 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘1) = 2)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2โ†‘1) = 2
15 df-2 12221 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1614, 15eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (2โ†‘1) = (1 + 1)
17 2re 12232 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
19 1zzd 12539 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
204peano2nnd 12175 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
2120nnzd 12531 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„ค)
22 1lt2 12329 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
244nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
25 ltaddrp 12957 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ 1 < (1 + ๐ด))
262, 24, 25sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 < (1 + ๐ด))
27 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
284nncnd 12174 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
29 addcom 11346 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ๐ด) = (๐ด + 1))
3027, 28, 29sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 + ๐ด) = (๐ด + 1))
3126, 30breqtrd 5132 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐ด + 1))
32 ltexp2a 14077 . . . . . . . . . 10 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„ค) โˆง (1 < 2 โˆง 1 < (๐ด + 1))) โ†’ (2โ†‘1) < (2โ†‘(๐ด + 1)))
3318, 19, 21, 23, 31, 32syl32anc 1379 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘1) < (2โ†‘(๐ด + 1)))
3416, 33eqbrtrrid 5142 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) < (2โ†‘(๐ด + 1)))
357simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
3635nnred 12173 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„)
373, 3, 36ltaddsubd 11760 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 + 1) < (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” 1 < ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
3834, 37mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
39 1rp 12924 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„+
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
41 peano2rem 11473 . . . . . . . . . . 11 ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4236, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
43 expgt1 14012 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„• โˆง 1 < 2) โ†’ 1 < (2โ†‘(๐ด + 1)))
4418, 20, 23, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 < (2โ†‘(๐ด + 1)))
45 posdif 11653 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” 0 < ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
462, 36, 45sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 < (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” 0 < ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
4744, 46mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
4842, 47jca 513 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
49 elrp 12922 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†” (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
5048, 49sylibr 233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
51 nnrp 12931 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
521, 51syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5340, 50, 52ltdiv2d 12985 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 < ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ†” (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) < (๐ต / 1)))
5438, 53mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) < (๐ต / 1))
551nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5655div1d 11928 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 1) = ๐ต)
5754, 56breqtrd 5132 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) < ๐ต)
583, 9, 10, 11, 57lelttrd 11318 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ต)
59 eluz2b2 12851 . . . 4 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐ต โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐ต))
601, 58, 59sylanbrc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
61 fzfid 13884 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โˆˆ Fin)
62 dvdsssfz1 16205 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} โŠ† (1...๐ต))
631, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} โŠ† (1...๐ต))
64 ssfi 9120 . . . . . . . . . . . 12 (((1...๐ต) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} โŠ† (1...๐ต)) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} โˆˆ Fin)
6561, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} โˆˆ Fin)
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} โˆˆ Fin)
67 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} โŠ† โ„•
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} โŠ† โ„•)
6968sselda 3945 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
7069nnred 12173 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7169nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7271nn0ge0d 12481 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
73 df-tp 4592 . . . . . . . . . . . 12 {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›} = ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆช {๐‘›})
74 prssi 4782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โŠ† โ„•)
758, 1, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โŠ† โ„•)
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โŠ† โ„•)
77 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
7877snssd 4770 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ {๐‘›} โŠ† โ„•)
7976, 78unssd 4147 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆช {๐‘›}) โŠ† โ„•)
8073, 79eqsstrid 3993 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›} โŠ† โ„•)
81 eltpi 4649 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›} โ†’ (๐‘ฅ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘ฅ = ๐ต โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘›))
827simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
8382nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
848nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
85 dvdsmul2 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆฅ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
8683, 84, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆฅ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
8782nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
8882nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ‰  0)
8955, 87, 88divcan2d 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) = ๐ต)
9086, 89breqtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆฅ ๐ต)
91 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐ต โ†” (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆฅ ๐ต))
9290, 91syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ (๐‘ฅ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
941nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
95 iddvds 16157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆฅ ๐ต)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆฅ ๐ต)
97 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐ต โ†” ๐ต โˆฅ ๐ต))
9896, 97syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
100 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ๐‘› โˆฅ ๐ต)
101 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐ต โ†” ๐‘› โˆฅ ๐ต))
102100, 101syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
10393, 99, 1023jaod 1429 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ((๐‘ฅ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘ฅ = ๐ต โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘›) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
10481, 103syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›} โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
105104imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›}) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต)
10680, 105ssrabdv 4032 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›} โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต})
10766, 70, 72, 106fsumless 15686 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›}๐‘˜ โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}๐‘˜)
108 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต})
109 disjsn 4673 . . . . . . . . . . . 12 (({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆฉ {๐‘›}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต})
110108, 109sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆฉ {๐‘›}) = โˆ…)
11173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›} = ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆช {๐‘›}))
112 tpfi 9270 . . . . . . . . . . . 12 {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›} โˆˆ Fin
113112a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›} โˆˆ Fin)
11480sselda 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
115114nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
116110, 111, 113, 115fsumsplit 15631 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›}๐‘˜ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}๐‘˜ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘›}๐‘˜))
1178nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
119118sumsn 15636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„• โˆง (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))}๐‘˜ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
1208, 117, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))}๐‘˜ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐‘˜ = ๐ต)
122121sumsn 15636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐‘˜ = ๐ต)
1231, 55, 122syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐‘˜ = ๐ต)
124120, 123oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))}๐‘˜ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐‘˜) = ((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) + ๐ต))
125 incom 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({๐ต} โˆฉ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))}) = ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))} โˆฉ {๐ต})
1269, 57gtned 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
127 disjsn2 4674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โ‰  (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ({๐ต} โˆฉ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))}) = โˆ…)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ({๐ต} โˆฉ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))}) = โˆ…)
129125, 128eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))} โˆฉ {๐ต}) = โˆ…)
130 df-pr 4590 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} = ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))} โˆช {๐ต})
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} = ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))} โˆช {๐ต}))
132 prfi 9269 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆˆ Fin
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆˆ Fin)
13475sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
135134nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
136129, 131, 133, 135fsumsplit 15631 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}๐‘˜ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))}๐‘˜ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐‘˜))
13787, 55mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
13855, 137, 87, 88divdird 11974 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต)) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = ((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) + ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
13935nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„‚)
14027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
141139, 140, 55subdird 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆ’ (1 ยท ๐ต)))
14255mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
143142oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆ’ (1 ยท ๐ต)) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต))
144141, 143eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต))
145144oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต)) = (๐ต + (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต)))
146139, 55mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
14755, 146pncan3d 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต)) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต))
148145, 147eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต)) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต))
149148oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต)) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
150139, 55, 87, 88divassd 11971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
151149, 150eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต)) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
15255, 87, 88divcan3d 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = ๐ต)
153152oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) + ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท ๐ต) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) = ((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) + ๐ต))
154138, 151, 1533eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) = ((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) + ๐ต))
155124, 136, 1543eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}๐‘˜ = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
156155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}๐‘˜ = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
15777nncnd 12174 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
158 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ๐‘˜ = ๐‘›)
159158sumsn 15636 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘›}๐‘˜ = ๐‘›)
160157, 157, 159syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘›}๐‘˜ = ๐‘›)
161156, 160oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}๐‘˜ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘›}๐‘˜) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + ๐‘›))
162116, 161eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, ๐‘›}๐‘˜ = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + ๐‘›))
1634nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
164 expp1 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = ((2โ†‘๐ด) ยท 2))
16512, 163, 164sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = ((2โ†‘๐ด) ยท 2))
166 2nn 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„•
167 nnexpcl 13986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„•)
168166, 163, 167sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„•)
169168nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
170 mulcom 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘๐ด) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
171169, 12, 170sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐ด) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
172165, 171eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
173172oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) = ((2 ยท (2โ†‘๐ด)) ยท ๐ต))
17412a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
175174, 169, 55mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (2โ†‘๐ด)) ยท ๐ต) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
176 isodd7 45943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ Odd โ†” (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (2 gcd ๐ต) = 1))
177 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (2 gcd ๐ต) = 1) โ†’ (2 gcd ๐ต) = 1)
178176, 177sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ Odd โ†’ (2 gcd ๐ต) = 1)
1795, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 gcd ๐ต) = 1)
180 2z 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„ค
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
182 rpexp1i 16604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1))
183181, 94, 163, 182syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((2 gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1))
184179, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1)
185 sgmmul 26565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
186140, 168, 1, 184, 185syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
187 pncan 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
18828, 27, 187sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
189188oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1)) = (2โ†‘๐ด))
190189oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = (1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)))
191 1sgm2ppw 26564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
19220, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
193190, 192eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
194193oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
195186, 6, 1943eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
196173, 175, 1953eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
197196oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
198 1nn0 12434 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„•0
199 sgmnncl 26512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„•)
200198, 1, 199sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„•)
201200nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
202201, 87, 88divcan3d 11941 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)) / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = (1 ฯƒ ๐ต))
203197, 150, 2023eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) = (1 ฯƒ ๐ต))
204 sgmval 26507 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} (๐‘˜โ†‘๐‘1))
20527, 1, 204sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} (๐‘˜โ†‘๐‘1))
206 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต})
20767, 206sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
208207nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
209208cxp1d 26077 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘1) = ๐‘˜)
210209sumeq2dv 15593 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต} (๐‘˜โ†‘๐‘1) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}๐‘˜)
211203, 205, 2103eqtrrd 2778 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}๐‘˜ = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
212211ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}๐‘˜ = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
213107, 162, 2123brtr3d 5137 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + ๐‘›) โ‰ค ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
21436, 9remulcld 11190 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
215214ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
21677nnrpd 12960 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
217215, 216ltaddrpd 12995 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) < (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + ๐‘›))
21877nnred 12173 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
219215, 218readdcld 11189 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + ๐‘›) โˆˆ โ„)
220215, 219ltnled 11307 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) < (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + ๐‘›) โ†” ยฌ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + ๐‘›) โ‰ค ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))))
221217, 220mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}) โ†’ ยฌ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + ๐‘›) โ‰ค ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
222213, 221condan 817 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โ†’ ๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต})
223 elpri 4609 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต))
224222, 223syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต))
225224expr 458 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต)))
226225ralrimiva 3140 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต)))
2273, 58gtned 11295 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  1)
228227necomd 2996 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  ๐ต)
229 1nn 12169 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„•
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
231 1dvds 16158 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐ต)
23294, 231syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆฅ ๐ต)
233 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†” 1 โˆฅ ๐ต))
234 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†” 1 = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
235 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› = ๐ต โ†” 1 = ๐ต))
236234, 235orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ ((๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต) โ†” (1 = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ 1 = ๐ต)))
237233, 236imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 1 โ†’ ((๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต)) โ†” (1 โˆฅ ๐ต โ†’ (1 = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ 1 = ๐ต))))
238237rspcv 3576 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต)) โ†’ (1 โˆฅ ๐ต โ†’ (1 = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ 1 = ๐ต))))
239230, 226, 232, 238syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ 1 = ๐ต))
240239ord 863 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 1 = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ 1 = ๐ต))
241240necon1ad 2957 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰  ๐ต โ†’ 1 = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
242228, 241mpd 15 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
243242eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› = 1 โ†” ๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
244243orbi1d 916 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› = 1 โˆจ ๐‘› = ๐ต) โ†” (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต)))
245244imbi2d 341 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = 1 โˆจ ๐‘› = ๐ต)) โ†” (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต))))
246245ralbidv 3171 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = 1 โˆจ ๐‘› = ๐ต)) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘› = ๐ต))))
247226, 246mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = 1 โˆจ ๐‘› = ๐ต)))
248 isprm2 16563 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†” (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› โˆฅ ๐ต โ†’ (๐‘› = 1 โˆจ ๐‘› = ๐ต))))
24960, 247, 248sylanbrc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„™)
250214ltp1d 12090 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) < (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1))
251 peano2re 11333 . . . . . 6 (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„)
252214, 251syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„)
253214, 252ltnled 11307 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) < (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1) โ†” ยฌ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1) โ‰ค ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))))
254250, 253mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1) โ‰ค ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
255207nnred 12173 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
256207nnnn0d 12478 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
257256nn0ge0d 12481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
258 df-tp 4592 . . . . . . . . . 10 {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} = ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆช {1})
259 snssi 4769 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„• โ†’ {1} โŠ† โ„•)
260229, 259mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {1} โŠ† โ„•)
26175, 260unssd 4147 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆช {1}) โŠ† โ„•)
262258, 261eqsstrid 3993 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} โŠ† โ„•)
263 eltpi 4649 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} โ†’ (๐‘ฅ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘ฅ = ๐ต โˆจ ๐‘ฅ = 1))
264 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐ต โ†” 1 โˆฅ ๐ต))
265232, 264syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
26692, 98, 2653jaod 1429 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ = (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆจ ๐‘ฅ = ๐ต โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
267263, 266syl5 34 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต))
268267imp 408 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1}) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต)
269262, 268ssrabdv 4032 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต})
27065, 255, 257, 269fsumless 15686 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1}๐‘˜ โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}๐‘˜)
271270adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1}๐‘˜ โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}๐‘˜)
27255, 87, 88diveq1ad 11945 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1 โ†” ๐ต = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
273272necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ‰  1 โ†” ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
274273biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ‰  1)
275274necomd 2996 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ 1 โ‰  (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
276228adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ 1 โ‰  ๐ต)
277275, 276nelprd 4618 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ 1 โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต})
278 disjsn 4673 . . . . . . . . 9 (({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆฉ {1}) = โˆ… โ†” ยฌ 1 โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต})
279277, 278sylibr 233 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆฉ {1}) = โˆ…)
280258a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} = ({(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต} โˆช {1}))
281 tpfi 9270 . . . . . . . . 9 {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} โˆˆ Fin
282281a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} โˆˆ Fin)
283262adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1} โŠ† โ„•)
284283sselda 3945 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
285284nncnd 12174 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
286279, 280, 282, 285fsumsplit 15631 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1}๐‘˜ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}๐‘˜ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {1}๐‘˜))
287 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 1 โ†’ ๐‘˜ = 1)
288287sumsn 15636 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {1}๐‘˜ = 1)
289140, 27, 288sylancl 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {1}๐‘˜ = 1)
290155, 289oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}๐‘˜ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {1}๐‘˜) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1))
291290adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต}๐‘˜ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {1}๐‘˜) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1))
292286, 291eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {(๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)), ๐ต, 1}๐‘˜ = (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1))
293211adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐ต}๐‘˜ = ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
294271, 292, 2933brtr3d 5137 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1) โ‰ค ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))))
295294ex 414 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ‰  ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1) โ‰ค ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))))
296295necon1bd 2958 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ (((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) + 1) โ‰ค ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
297254, 296mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
298249, 297jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1087   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3406   โˆช cun 3909   โˆฉ cin 3910   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  ฮฃcsu 15576   โˆฅ cdvds 16141   gcd cgcd 16379  โ„™cprime 16552  โ†‘๐‘ccxp 25927   ฯƒ csgm 26461   Odd codd 45903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-sgm 26467  df-even 45904  df-odd 45905
This theorem is referenced by:  perfectALTV  46001
  Copyright terms: Public domain W3C validator