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Theorem perfectALTVlem2 43195
Description: Lemma for perfectALTV 43196. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectALTVlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.3 (𝜑𝐵 ∈ Odd )
perfectALTVlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectALTVlem2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))

Proof of Theorem perfectALTVlem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectALTVlem.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2 1re 10431 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4 perfectALTVlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
5 perfectALTVlem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Odd )
6 perfectALTVlem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
74, 1, 5, 6perfectALTVlem1 43194 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
87simp3d 1124 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
98nnred 11448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
101nnred 11448 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
118nnge1d 11481 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
12 2cn 11508 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
13 exp1 13243 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
15 df-2 11496 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1614, 15eqtri 2796 . . . . . . . . 9 (2↑1) = (1 + 1)
17 2re 11507 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19 1zzd 11819 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
204peano2nnd 11450 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2120nnzd 11892 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
22 1lt2 11611 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 2)
244nnrpd 12239 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
25 ltaddrp 12236 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
262, 24, 25sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
27 ax-1cn 10385 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
284nncnd 11449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
29 addcom 10618 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
3027, 28, 29sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
3126, 30breqtrd 4949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝐴 + 1))
32 ltexp2a 13338 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 1 < (𝐴 + 1))) → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
3318, 19, 21, 23, 31, 32syl32anc 1358 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
3416, 33syl5eqbrr 4959 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)))
357simp1d 1122 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
3635nnred 11448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
373, 3, 36ltaddsubd 11033 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
3834, 37mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
39 1rp 12201 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
41 peano2rem 10746 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
4236, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
43 expgt1 13275 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
4418, 20, 23, 43syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
45 posdif 10926 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
462, 36, 45sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
4744, 46mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
4842, 47jca 504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
49 elrp 12199 . . . . . . . . 9 (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ+ ↔ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
5048, 49sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
51 nnrp 12210 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
521, 51syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5340, 50, 52ltdiv2d 12264 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
5438, 53mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1))
551nncnd 11449 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5655div1d 11201 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 1) = 𝐵)
5754, 56breqtrd 4949 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < 𝐵)
583, 9, 10, 11, 57lelttrd 10590 . . . 4 (𝜑 → 1 < 𝐵)
59 eluz2b2 12128 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
601, 58, 59sylanbrc 575 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
61 fzfid 13149 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
62 dvdsssfz1 15518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵))
631, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵))
64 ssfi 8525 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
6561, 63, 64syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
6665ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
67 ssrab2 3942 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ ℕ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ ℕ)
6968sselda 3854 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
7069nnred 11448 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
7169nnnn0d 11760 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7271nn0ge0d 11763 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
73 df-tp 4440 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛})
74 prssi 4622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
758, 1, 74syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
7675ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
77 simplrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℕ)
7877snssd 4610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑛} ⊆ ℕ)
7976, 78unssd 4046 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}) ⊆ ℕ)
8073, 79syl5eqss 3901 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ ℕ)
81 eltpi 4493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝑛))
827simp2d 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
8382nnzd 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
848nnzd 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ)
85 dvdsmul2 15482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
8683, 84, 85syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
8782nncnd 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
8882nnne0d 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ≠ 0)
8955, 87, 88divcan2d 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = 𝐵)
9086, 89breqtrd 4949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵)
91 breq1 4926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵))
9290, 91syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥𝐵))
9392ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥𝐵))
941nnzd 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
95 iddvds 15473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐵)
97 breq1 4926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
9896, 97syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐵))
9998ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐵))
100 simplrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛𝐵)
101 breq1 4926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝐵𝑛𝐵))
102100, 101syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝑛𝑥𝐵))
10393, 99, 1023jaod 1408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝑛) → 𝑥𝐵))
10481, 103syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → 𝑥𝐵))
105104imp 398 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑥𝐵)
10680, 105ssrabdv 3936 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
10766, 70, 72, 106fsumless 15001 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
108 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
109 disjsn 4515 . . . . . . . . . . . 12 (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
110108, 109sylibr 226 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅)
11173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}))
112 tpfi 8581 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin
113112a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin)
11480sselda 3854 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℕ)
115114nncnd 11449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℂ)
116110, 111, 113, 115fsumsplit 14947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘))
1178nncnd 11449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
119118sumsn 14951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
1208, 117, 119syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐵)
122121sumsn 14951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
1231, 55, 122syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
124120, 123oveq12d 6988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
125 incom 4062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵})
1269, 57gtned 10567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
127 disjsn2 4516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
129125, 128syl5eqr 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵}) = ∅)
130 df-pr 4438 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵})
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵}))
132 prfi 8580 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin)
13475sselda 3854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
135134nncnd 11449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
136129, 131, 133, 135fsumsplit 14947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘))
13787, 55mulcld 10452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) ∈ ℂ)
13855, 137, 87, 88divdird 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
13935nncnd 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
14027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141139, 140, 55subdird 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
14255mulid2d 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
143142oveq2d 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
144141, 143eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
145144oveq2d 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)))
146139, 55mulcld 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∈ ℂ)
14755, 146pncan3d 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
148145, 147eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
149148oveq1d 6985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
150139, 55, 87, 88divassd 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
151149, 150eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
15255, 87, 88divcan3d 11214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 𝐵)
153152oveq2d 6986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
154138, 151, 1533eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
155124, 136, 1543eqtr4d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
156155ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
15777nncnd 11449 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℂ)
158 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
159158sumsn 14951 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
160157, 157, 159syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
161156, 160oveq12d 6988 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
162116, 161eqtrd 2808 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
1634nnnn0d 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
164 expp1 13244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
16512, 163, 164sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
166 2nn 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
167 nnexpcl 13250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
168166, 163, 167sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
169168nncnd 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
170 mulcom 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
171169, 12, 170sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
172165, 171eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
173172oveq1d 6985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
17412a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
175174, 169, 55mulassd 10455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
176 isodd7 43138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝐵) = 1))
177 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝐵) = 1) → (2 gcd 𝐵) = 1)
178176, 177sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Odd → (2 gcd 𝐵) = 1)
1795, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
180 2z 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
182 rpexp1i 15911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
183181, 94, 163, 182syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
184179, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
185 sgmmul 25469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
186140, 168, 1, 184, 185syl13anc 1352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
187 pncan 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
18828, 27, 187sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
189188oveq2d 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
190189oveq2d 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
191 1sgm2ppw 25468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
19220, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
193190, 192eqtr3d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
194193oveq1d 6985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
195186, 6, 1943eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
196173, 175, 1953eqtrd 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
197196oveq1d 6985 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
198 1nn0 11718 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
199 sgmnncl 25416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
200198, 1, 199sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
201200nncnd 11449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℂ)
202201, 87, 88divcan3d 11214 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (1 σ 𝐵))
203197, 150, 2023eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = (1 σ 𝐵))
204 sgmval 25411 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1))
20527, 1, 204sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1))
206 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
20767, 206sseldi 3852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
208207nncnd 11449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
209208cxp1d 24980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → (𝑘𝑐1) = 𝑘)
210209sumeq2dv 14910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
211203, 205, 2103eqtrrd 2813 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
212211ad2antrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
213107, 162, 2123brtr3d 4954 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
21436, 9remulcld 10462 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
215214ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
21677nnrpd 12239 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ+)
217215, 216ltaddrpd 12274 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
21877nnred 11448 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ)
219215, 218readdcld 10461 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ∈ ℝ)
220215, 219ltnled 10579 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
221217, 220mpbid 224 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
222213, 221condan 805 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) → 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
223 elpri 4457 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
224222, 223syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
225224expr 449 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
226225ralrimiva 3126 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
2273, 58gtned 10567 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≠ 1)
228227necomd 3016 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
229 1nn 11444 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
231 1dvds 15474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝐵)
23294, 231syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∥ 𝐵)
233 breq1 4926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (𝑛𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
234 eqeq1 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ↔ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
235 eqeq1 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 = 𝐵 ↔ 1 = 𝐵))
236234, 235orbi12d 902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → ((𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵)))
237233, 236imbi12d 337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
238237rspcv 3525 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) → (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
239230, 226, 232, 238syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))
240239ord 850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 = 𝐵))
241240necon1ad 2978 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ≠ 𝐵 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
242228, 241mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
243242eqeq2d 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
244243orbi1d 900 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
245244imbi2d 333 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
246245ralbidv 3141 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
247226, 246mpbird 249 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)))
248 isprm2 15872 . . 3 (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵))))
24960, 247, 248sylanbrc 575 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℙ)
250214ltp1d 11363 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
251 peano2re 10605 . . . . . 6 (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
252214, 251syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
253214, 252ltnled 10579 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
254250, 253mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
255207nnred 11448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
256207nnnn0d 11760 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
257256nn0ge0d 11763 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
258 df-tp 4440 . . . . . . . . . 10 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1})
259 snssi 4609 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
260229, 259mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {1} ⊆ ℕ)
26175, 260unssd 4046 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}) ⊆ ℕ)
262258, 261syl5eqss 3901 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
263 eltpi 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 1))
264 breq1 4926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑥𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
265232, 264syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 = 1 → 𝑥𝐵))
26692, 98, 2653jaod 1408 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 1) → 𝑥𝐵))
267263, 266syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → 𝑥𝐵))
268267imp 398 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑥𝐵)
269262, 268ssrabdv 3936 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
27065, 255, 257, 269fsumless 15001 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
271270adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
27255, 87, 88diveq1ad 11218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 ↔ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
273272necon3bid 3005 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1 ↔ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
274273biimpar 470 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1)
275274necomd 3016 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
276228adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ 𝐵)
277275, 276nelprd 4462 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
278 disjsn 4515 . . . . . . . . 9 (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
279277, 278sylibr 226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅)
280258a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}))
281 tpfi 8581 . . . . . . . . 9 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin
282281a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin)
283262adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
284283sselda 3854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℕ)
285284nncnd 11449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℂ)
286279, 280, 282, 285fsumsplit 14947 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘))
287 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
288287sumsn 14951 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
289140, 27, 288sylancl 577 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
290155, 289oveq12d 6988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
291290adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
292286, 291eqtrd 2808 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
293211adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
294271, 292, 2933brtr3d 4954 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
295294ex 405 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
296295necon1bd 2979 . . 3 (𝜑 → (¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) → 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
297254, 296mpd 15 . 2 (𝜑𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
298249, 297jca 504 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3o 1067   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  {crab 3086  cun 3823  cin 3824  wss 3825  c0 4173  {csn 4435  {cpr 4437  {ctp 4439   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8298  cc 10325  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332   < clt 10466  cle 10467  cmin 10662   / cdiv 11090  cn 11431  2c2 11488  0cn0 11700  cz 11786  cuz 12051  +crp 12197  ...cfz 12701  cexp 13237  Σcsu 14893  cdvds 15457   gcd cgcd 15693  cprime 15861  𝑐ccxp 24830   σ csgm 25365   Odd codd 43098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271  df-sin 15273  df-cos 15274  df-pi 15276  df-dvds 15458  df-gcd 15694  df-prm 15862  df-pc 16020  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-lp 21438  df-perf 21439  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cncf 23179  df-limc 24157  df-dv 24158  df-log 24831  df-cxp 24832  df-sgm 25371  df-even 43099  df-odd 43100
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