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Theorem mndind 17988
 Description: Induction in a monoid. In this theorem, 𝜓(𝑥) is the "generic" proposition to be be proved (the first four hypotheses tell its values at y, y+z, 0, A respectively). The two induction hypotheses mndind.i1 and mndind.i2 tell that it is true at 0, that if it is true at y then it is true at y+z (provided z is in 𝐺). The hypothesis mndind.k tells that 𝐺 is generating. (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mndind.ch (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
mndind.th (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝜓𝜃))
mndind.ta (𝑥 = 0 → (𝜓𝜏))
mndind.et (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
mndind.0g 0 = (0g𝑀)
mndind.pg + = (+g𝑀)
mndind.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndind.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
mndind.g (𝜑𝐺𝐵)
mndind.k (𝜑𝐵 = ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺))
mndind.i1 (𝜑𝜏)
mndind.i2 (((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) ∧ 𝜒) → 𝜃)
mndind.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
mndind (𝜑𝜂)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥,𝑧   𝜃,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐴   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝑦,𝐺,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem mndind
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndind.i1 . . . 4 (𝜑𝜏)
2 mndind.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
3 mndind.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 mndind.0g . . . . . . 7 0 = (0g𝑀)
53, 4mndidcl 17922 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐵)
7 mndind.ta . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝜓𝜏))
87sbcieg 3761 . . . . 5 ( 0𝐵 → ([ 0 / 𝑥]𝜓𝜏))
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → ([ 0 / 𝑥]𝜓𝜏))
101, 9mpbird 260 . . 3 (𝜑[ 0 / 𝑥]𝜓)
11 dfsbcq 3725 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[ 0 / 𝑥]𝜓))
12 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝑎 + 𝐴) = ( 0 + 𝐴))
1312sbceq1d 3728 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ([(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
1411, 13imbi12d 348 . . . 4 (𝑎 = 0 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓) ↔ ([ 0 / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
15 mndind.k . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺))
163submacs 17987 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝑀) ∈ (ACS‘𝐵))
172, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (SubMnd‘𝑀) ∈ (ACS‘𝐵))
1817acsmred 16923 . . . . . . . 8 (𝜑 → (SubMnd‘𝑀) ∈ (Moore‘𝐵))
19 mndind.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐵)
20 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝐵𝑎𝐵))
2120anbi2d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵)))
22 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
23 mndind.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
2422, 23sbcie 3763 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑦 / 𝑥]𝜓𝜒)
25 dfsbcq 3725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → ([𝑦 / 𝑥]𝜓[𝑎 / 𝑥]𝜓))
2624, 25bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (𝜒[𝑎 / 𝑥]𝜓))
27 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏))
2827sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → ([(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
2926, 28imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)))
3021, 29imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎 → ((((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)) ↔ (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))))
31 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧𝐺𝑏𝐺))
3231anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑏 → ((𝜑𝑧𝐺) ↔ (𝜑𝑏𝐺)))
3332anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑏 → (((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵)))
34 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 + 𝑧) ∈ V
35 mndind.th . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝜓𝜃))
3634, 35sbcie 3763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑦 + 𝑧) / 𝑥]𝜓𝜃)
37 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑏 → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + 𝑏))
3837sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑏 → ([(𝑦 + 𝑧) / 𝑥]𝜓[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
3936, 38bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑏 → (𝜃[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4039imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑏 → ((𝜒𝜃) ↔ (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)))
4133, 40imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑏 → ((((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒𝜃)) ↔ (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))))
42 mndind.i2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) ∧ 𝜒) → 𝜃)
4342ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) → (𝜒𝜃))
44433expa 1115 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐺) → (𝜒𝜃))
4544an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒𝜃))
4641, 45chvarvv 2005 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4730, 46chvarvv 2005 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4847ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐺) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4919, 48ssrabdv 4004 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
50 mndind.pg . . . . . . . . 9 + = (+g𝑀)
513, 50, 4mndrid 17928 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 + 0 ) = 𝑎)
522, 51sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 + 0 ) = 𝑎)
5352sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → ([(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓[𝑎 / 𝑥]𝜓))
5453biimprd 251 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
5554ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
56 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
572ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
58 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
59 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑐𝐵)
603, 50mndcl 17915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝐵)
6157, 58, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝐵)
62 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → 𝑎 = (𝑏 + 𝑐))
6362sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
64 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑏 + 𝑐) → (𝑎 + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
65 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑑𝐵)
663, 50mndass 17916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵𝑑𝐵)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6757, 58, 59, 65, 66syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6864, 67sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → (𝑎 + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6968sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → ([(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
7063, 69imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) ↔ ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7161, 70rspcdv 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) → ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7271ralrimdva 3157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) → ∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7372impr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))) → ∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
74 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
7574sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
76 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + 𝑑)))
7776sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ([(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
7875, 77imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎 → (([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) ↔ ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7978cbvralvw 3399 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
8073, 79sylib 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))) → ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
8180adantrrl 723 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
82 imim1 83 . . . . . . . . . . 11 (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) → (([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
8382ral2imi 3127 . . . . . . . . . 10 (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) → (∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
8456, 81, 83sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
85 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 0 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 0 ))
8685sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
8786imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓)))
8887ralbidv 3165 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 0 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓)))
89 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑐))
9089sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
9190imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓)))
9291ralbidv 3165 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑐 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓)))
93 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑑))
9493sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))
9594imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))
9695ralbidv 3165 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑑 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))
97 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + (𝑐 + 𝑑)))
9897sbceq1d 3728 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
9998imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
10099ralbidv 3165 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
1013, 50, 4, 2, 55, 84, 88, 92, 96, 100issubmd 17967 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∈ (SubMnd‘𝑀))
102 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (mrCls‘(SubMnd‘𝑀)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝑀))
103102mrcsscl 16887 . . . . . . . 8 (((SubMnd‘𝑀) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐺 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∧ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺) ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
10418, 49, 101, 103syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺) ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
10515, 104eqsstrd 3956 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
106 mndind.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
107105, 106sseldd 3919 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
108 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝐴))
109108sbceq1d 3728 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
110109imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
111110ralbidv 3165 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
112111elrab 3631 . . . . . 6 (𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
113112simprbi 500 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
114107, 113syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
11514, 114, 6rspcdva 3576 . . 3 (𝜑 → ([ 0 / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
11610, 115mpd 15 . 2 (𝜑[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)
1173, 50, 4mndlid 17927 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ( 0 + 𝐴) = 𝐴)
1182, 106, 117syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ( 0 + 𝐴) = 𝐴)
119118sbceq1d 3728 . . 3 (𝜑 → ([( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓[𝐴 / 𝑥]𝜓))
120 mndind.et . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
121120sbcieg 3761 . . . 4 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝜓𝜂))
122106, 121syl 17 . . 3 (𝜑 → ([𝐴 / 𝑥]𝜓𝜂))
123119, 122bitrd 282 . 2 (𝜑 → ([( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓𝜂))
124116, 123mpbid 235 1 (𝜑𝜂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  {crab 3113  [wsbc 3723   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  0gc0g 16709  Moorecmre 16849  mrClscmrc 16850  ACScacs 16852  Mndcmnd 17907  SubMndcsubmnd 17951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-0g 16711  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953 This theorem is referenced by:  mdetunilem7  21227
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