Theorem nadd2rabtr 43373

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is transitive. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabtr	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabtr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → Ord 𝐴)
2		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐴)
3		ordelss 6348	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
5		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ On)
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
8	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → Ord 𝐴)
9		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
10		ordelon 6356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ On)
12		onelon 6357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
13	11, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
14		simpll2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
16		naddel2 8652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
18	7, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦))
19		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶)
20	18, 19	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
21		ontr1 6379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ On → (((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶))
22	6, 20, 21	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶)
23	4, 22	ssrabdv 4037	. . . . 5 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
25	24	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
26		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 +no 𝑥) = (𝐵 +no 𝑦))
27	26	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
28	27	ralrab 3665	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
29	25, 28	sylibr 234	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
30		dftr3 5220	. 2 ⊢ (Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
31	29, 30	sylibr 234	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405   ⊆ wss 3914  Tr wtr 5214  Ord word 6331  Oncon0 6332  (class class class)co 7387   +no cnadd 8629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-nadd 8630

This theorem is referenced by:  nadd2rabord  43374  nadd1rabtr  43377