Theorem nadd2rabtr 43374

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is transitive. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabtr	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabtr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → Ord 𝐴)
2		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐴)
3		ordelss 6402	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
5		simpll3 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ On)
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
8	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → Ord 𝐴)
9		simpllr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
10		ordelon 6410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ On)
12		onelon 6411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
13	11, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
14		simpll2 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
16		naddel2 8725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
18	7, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦))
19		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶)
20	18, 19	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
21		ontr1 6432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ On → (((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶))
22	6, 20, 21	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶)
23	4, 22	ssrabdv 4084	. . . . 5 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
25	24	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
26		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 +no 𝑥) = (𝐵 +no 𝑦))
27	26	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
28	27	ralrab 3702	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
29	25, 28	sylibr 234	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
30		dftr3 5271	. 2 ⊢ (Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
31	29, 30	sylibr 234	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ⊆ wss 3963  Tr wtr 5265  Ord word 6385  Oncon0 6386  (class class class)co 7431   +no cnadd 8702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-nadd 8703

This theorem is referenced by:  nadd2rabord  43375  nadd1rabtr  43378