Theorem nadd2rabtr 44576

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is transitive. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabtr	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabtr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → Ord 𝐴)
2		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐴)
3		ordelss 6393	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
5		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ On)
7		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
8	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → Ord 𝐴)
9		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
10		ordelon 6401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ On)
12		onelon 6402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
13	11, 7, 12	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
14		simpll2 1232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
16		naddel2 8723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
18	7, 17	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦))
19		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶)
20	18, 19	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
21		ontr1 6425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ On → (((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶))
22	6, 20, 21	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶)
23	4, 22	ssrabdv 4001	. . . . 5 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
24	23	ex 418	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
25	24	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
26		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 +no 𝑥) = (𝐵 +no 𝑦))
27	26	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
28	27	ralrab 3655	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
29	25, 28	sylibr 237	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
30		dftr3 5220	. 2 ⊢ (Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
31	29, 30	sylibr 237	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  Tr wtr 5215  Ord word 6376  Oncon0 6377  (class class class)co 7440   +no cnadd 8699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-nadd 8700

This theorem is used by:  nadd2rabord  44577  nadd1rabtr  44580