Theorem nadd2rabtr 44139

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is transitive. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabtr	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabtr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1230	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → Ord 𝐴)
2		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐴)
3		ordelss 6376	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
5		simpll3 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
6	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ On)
7		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
8	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → Ord 𝐴)
9		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
10		ordelon 6384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ On)
12		onelon 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
13	11, 7, 12	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
14		simpll2 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
15	14	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
16		naddel2 8673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
18	7, 17	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦))
19		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶)
20	18, 19	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
21		ontr1 6408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ On → (((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶))
22	6, 20, 21	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶)
23	4, 22	ssrabdv 4026	. . . . 5 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
24	23	ex 417	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
25	24	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
26		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 +no 𝑥) = (𝐵 +no 𝑦))
27	26	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
28	27	ralrab 3656	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
29	25, 28	sylibr 237	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
30		dftr3 5222	. 2 ⊢ (Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
31	29, 30	sylibr 237	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415   ⊆ wss 3904  Tr wtr 5217  Ord word 6359  Oncon0 6360  (class class class)co 7412   +no cnadd 8649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-nadd 8650

This theorem is used by:  nadd2rabord  44140  nadd1rabtr  44143