Theorem nadd2rabtr 43397

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is transitive. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabtr	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabtr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → Ord 𝐴)
2		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐴)
3		ordelss 6400	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
5		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ On)
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
8	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → Ord 𝐴)
9		simpllr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
10		ordelon 6408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ On)
12		onelon 6409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
13	11, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ On)
14		simpll2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ On)
16		naddel2 8726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦)))
18	7, 17	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦))
19		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶)
20	18, 19	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
21		ontr1 6430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ On → (((𝐵 +no 𝑥) ∈ (𝐵 +no 𝑦) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶))
22	6, 20, 21	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶)
23	4, 22	ssrabdv 4074	. . . . 5 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
25	24	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
26		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 +no 𝑥) = (𝐵 +no 𝑦))
27	26	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶))
28	27	ralrab 3699	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐵 +no 𝑦) ∈ 𝐶 → 𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}))
29	25, 28	sylibr 234	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
30		dftr3 5265	. 2 ⊢ (Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶}𝑦 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
31	29, 30	sylibr 234	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ⊆ wss 3951  Tr wtr 5259  Ord word 6383  Oncon0 6384  (class class class)co 7431   +no cnadd 8703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-nadd 8704

This theorem is referenced by:  nadd2rabord  43398  nadd1rabtr  43401