Theorem k0004ss2 44110

Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004ss2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k0004.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
2	1	k0004ss1 44109	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
3		ssidd 3989	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
4		elmapi 8872	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
6		fzfid 13997	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7		0red 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	fdmfifsupp 9398	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣 finSupp 0)
9	3, 8	ssrabdv 4056	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
10		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
11		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))) = (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))))
13	11, 12	rrxbase 25377	. . . 4 ⊢ ((1...(𝑁 + 1)) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0}
15	9, 14	sseqtrrdi 4007	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
16	2, 15	sstrd 3976	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3420  Vcvv 3464   ⊆ wss 3933   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5207  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8849   finSupp cfsupp 9384  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  ℕ₀cn0 12510  [,]cicc 13373  ...cfz 13530  Σcsu 15705  Basecbs 17230  ℝ^crrx 25372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-tpos 8234  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-rp 13018  df-icc 13377  df-fz 13531  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-sum 15706  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17462  df-prds 17468  df-pws 17470  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-subg 19115  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20307  df-dvdsr 20330  df-unit 20331  df-invr 20361  df-dvr 20374  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-drng 20704  df-field 20705  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-cnfld 21332  df-refld 21590  df-dsmm 21719  df-frlm 21734  df-tng 24560  df-tcph 25158  df-rrx 25374

This theorem is referenced by: (None)