Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004ss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004ss2 38944
Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004ss2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 k0004.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
21k0004ss1 38943 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
3 ssidd 3815 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
4 elmapi 8108 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
54adantl 469 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
6 fzfid 12990 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7 0red 10322 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
85, 6, 7fdmfifsupp 8518 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣 finSupp 0)
93, 8ssrabdv 3872 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
10 ovex 6900 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
11 eqid 2802 . . . . 5 (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))) = (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))
12 eqid 2802 . . . . 5 (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))))
1311, 12rrxbase 23382 . . . 4 ((1...(𝑁 + 1)) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
1410, 13ax-mp 5 . . 3 (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0}
159, 14syl6sseqr 3843 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
162, 15sstrd 3802 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  {crab 3096  Vcvv 3387  wss 3763   class class class wbr 4837  cmpt 4916  wf 6091  cfv 6095  (class class class)co 6868  𝑚 cmap 8086   finSupp cfsupp 8508  cr 10214  0cc0 10215  1c1 10216   + caddc 10218  0cn0 11553  [,]cicc 12390  ...cfz 12543  Σcsu 14633  Basecbs 16062  ℝ^crrx 23377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293  ax-addf 10294  ax-mulf 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-supp 7524  df-tpos 7581  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-ixp 8140  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fsupp 8509  df-sup 8581  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-z 11638  df-dec 11754  df-uz 11899  df-rp 12041  df-icc 12394  df-fz 12544  df-seq 13019  df-exp 13078  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-sum 14634  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-starv 16162  df-sca 16163  df-vsca 16164  df-ip 16165  df-tset 16166  df-ple 16167  df-ds 16169  df-unif 16170  df-hom 16171  df-cco 16172  df-0g 16301  df-prds 16307  df-pws 16309  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-subg 17787  df-cmn 18390  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-cring 18746  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-dvr 18879  df-drng 18947  df-field 18948  df-subrg 18976  df-sra 19375  df-rgmod 19376  df-cnfld 19949  df-refld 20154  df-dsmm 20280  df-frlm 20295  df-tng 22596  df-tch 23175  df-rrx 23379
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator