Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004ss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004ss2 40012
Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004ss2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 k0004.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
21k0004ss1 40011 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
3 ssidd 3915 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
4 elmapi 8283 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
54adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
6 fzfid 13196 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7 0red 10495 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
85, 6, 7fdmfifsupp 8694 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣 finSupp 0)
93, 8ssrabdv 3975 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
10 ovex 7053 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
11 eqid 2795 . . . . 5 (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))) = (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))
12 eqid 2795 . . . . 5 (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))))
1311, 12rrxbase 23679 . . . 4 ((1...(𝑁 + 1)) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
1410, 13ax-mp 5 . . 3 (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0}
159, 14syl6sseqr 3943 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
162, 15sstrd 3903 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  Vcvv 3437  wss 3863   class class class wbr 4966  cmpt 5045  wf 6226  cfv 6230  (class class class)co 7021  𝑚 cmap 8261   finSupp cfsupp 8684  cr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391  0cn0 11750  [,]cicc 12596  ...cfz 12747  Σcsu 14881  Basecbs 16317  ℝ^crrx 23674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-tpos 7748  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-sup 8757  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-rp 12245  df-icc 12600  df-fz 12748  df-seq 13225  df-exp 13285  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-sum 14882  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-0g 16549  df-prds 16555  df-pws 16557  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-subg 18035  df-cmn 18640  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-cring 18995  df-oppr 19068  df-dvdsr 19086  df-unit 19087  df-invr 19117  df-dvr 19128  df-drng 19199  df-field 19200  df-subrg 19228  df-sra 19639  df-rgmod 19640  df-cnfld 20233  df-refld 20436  df-dsmm 20563  df-frlm 20578  df-tng 22882  df-tcph 23461  df-rrx 23676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator