Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004ss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004ss2 43205
Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘‘β€˜π‘˜) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004ss2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π΄β€˜π‘) βŠ† (Baseβ€˜(ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛   𝑑,𝑛   π‘˜,𝑁   𝑑,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑑,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 k0004.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(𝑛 + 1))(π‘‘β€˜π‘˜) = 1})
21k0004ss1 43204 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π΄β€˜π‘) βŠ† (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
3 ssidd 4004 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) βŠ† (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
4 elmapi 8845 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) β†’ 𝑣:(1...(𝑁 + 1))βŸΆβ„)
54adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑣:(1...(𝑁 + 1))βŸΆβ„)
6 fzfid 13942 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) β†’ (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7 0red 11221 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
85, 6, 7fdmfifsupp 9375 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) β†’ 𝑣 finSupp 0)
93, 8ssrabdv 4070 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) βŠ† {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
10 ovex 7444 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
11 eqid 2730 . . . . 5 (ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1))) = (ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1)))
12 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜(ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1)))) = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1))))
1311, 12rrxbase 25136 . . . 4 ((1...(𝑁 + 1)) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
1410, 13ax-mp 5 . . 3 (Baseβ€˜(ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0}
159, 14sseqtrrdi 4032 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) βŠ† (Baseβ€˜(ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1)))))
162, 15sstrd 3991 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π΄β€˜π‘) βŠ† (Baseβ€˜(ℝ^β€˜(1...(𝑁 + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  Ξ£csu 15636  Basecbs 17148  β„^crrx 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-tng 24313  df-tcph 24917  df-rrx 25133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator