Theorem k0004ss2 45342

Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...𝑛)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004ss2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(0...𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k0004.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (0...𝑛)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(𝑡‘𝑘) = 1})
2	1	k0004ss1 45341	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (0...𝑁)))
3		ssidd 3936	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (0...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (0...𝑁)))
4		elmapi 8894	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) → 𝑣:(0...𝑁)⟶ℝ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁))) → 𝑣:(0...𝑁)⟶ℝ)
6		fzfid 14140	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁))) → (0...𝑁) ∈ Fin)
7		0red 11335	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁))) → 0 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	fdmfifsupp 9391	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁))) → 𝑣 finSupp 0)
9	3, 8	ssrabdv 4001	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (0...𝑁)) ⊆ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑣 finSupp 0})
10		ovex 7473	. . . 4 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(0...𝑁)) = (ℝ^‘(0...𝑁))
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(0...𝑁))) = (Base‘(ℝ^‘(0...𝑁)))
13	11, 12	rrxbase 25736	. . . 4 ⊢ ((0...𝑁) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(0...𝑁))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑣 finSupp 0})
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(0...𝑁))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∣ 𝑣 finSupp 0}
15	9, 14	sseqtrrdi 3954	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (0...𝑁)) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(0...𝑁))))
16	2, 15	sstrd 3923	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(0...𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872   finSupp cfsupp 9378  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225  ℕ₀cn0 12630  [,]cicc 13503  ...cfz 13663  Σcsu 15879  Basecbs 17413  ℝ^crrx 25731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-icc 13507  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-field 21010  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-cnfld 21706  df-refld 21938  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-tng 24930  df-tcph 25517  df-rrx 25733

This theorem is used by: (None)