Theorem k0004ss2 45057

Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004ss2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k0004.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
2	1	k0004ss1 45056	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
3		ssidd 3954	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
4		elmapi 8855	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
6		fzfid 14062	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7		0red 11260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	fdmfifsupp 9352	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣 finSupp 0)
9	3, 8	ssrabdv 4021	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
10		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))) = (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))))
13	11, 12	rrxbase 25648	. . . 4 ⊢ ((1...(𝑁 + 1)) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0}
15	9, 14	sseqtrrdi 3972	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
16	2, 15	sstrd 3941	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8833   finSupp cfsupp 9338  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  ℕ₀cn0 12553  [,]cicc 13426  ...cfz 13586  Σcsu 15798  Basecbs 17326  ℝ^crrx 25643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-icc 13430  df-fz 13587  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-sum 15799  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-subg 19272  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-dvr 20570  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-drng 20921  df-field 20922  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-cnfld 21618  df-refld 21850  df-dsmm 21977  df-frlm 21992  df-tng 24842  df-tcph 25429  df-rrx 25645

This theorem is used by: (None)