Theorem k0004ss2 45152

Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004ss2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k0004.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
2	1	k0004ss1 45151	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
3		ssidd 3931	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
4		elmapi 8869	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
6		fzfid 14116	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7		0red 11311	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	fdmfifsupp 9367	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣 finSupp 0)
9	3, 8	ssrabdv 3998	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
10		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))) = (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))))
13	11, 12	rrxbase 25709	. . . 4 ⊢ ((1...(𝑁 + 1)) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0}
15	9, 14	sseqtrrdi 3949	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
16	2, 15	sstrd 3918	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847   finSupp cfsupp 9353  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  ℕ₀cn0 12606  [,]cicc 13479  ...cfz 13639  Σcsu 15853  Basecbs 17387  ℝ^crrx 25704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-icc 13483  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-field 20983  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-refld 21911  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-tng 24903  df-tcph 25490  df-rrx 25706

This theorem is used by: (None)