Theorem k0004ss2 44605

Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004ss2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k0004.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
2	1	k0004ss1 44604	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
3		ssidd 3938	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
4		elmapi 8787	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
6		fzfid 13927	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7		0red 11139	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	fdmfifsupp 9279	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣 finSupp 0)
9	3, 8	ssrabdv 4005	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
10		ovex 7390	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
11		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))) = (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))
12		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))))
13	11, 12	rrxbase 25374	. . . 4 ⊢ ((1...(𝑁 + 1)) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0}
15	9, 14	sseqtrrdi 3956	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
16	2, 15	sstrd 3925	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8764   finSupp cfsupp 9265  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℕ₀cn0 12429  [,]cicc 13293  ...cfz 13453  Σcsu 15640  Basecbs 17171  ℝ^crrx 25369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-rp 12935  df-icc 13297  df-fz 13454  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-sum 15641  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-subg 19091  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-dvr 20373  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-drng 20704  df-field 20705  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-cnfld 21349  df-refld 21581  df-dsmm 21708  df-frlm 21723  df-tng 24568  df-tcph 25155  df-rrx 25371

This theorem is referenced by: (None)