MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eu 19945
Description: The factorization of ablfac1b 19942 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to ๐‘†. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfac1.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfac1.s ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
ablfac1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfac1.f (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
ablfac1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
ablfac1c.d ๐ท = {๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆฃ ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)}
ablfac1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โŠ† ๐ด)
ablfac1eu.1 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘‡ โˆง (๐บ DProd ๐‘‡) = ๐ต))
ablfac1eu.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
ablfac1eu.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
ablfac1eu.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘,๐‘ค,๐‘ฅ,๐ต   ๐ท,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ค,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘ž   ๐ด,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‚,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‡,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ค)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ž,๐‘)   ๐ท(๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘)   ๐‘‡(๐‘ค,๐‘)   ๐บ(๐‘ค)   ๐‘‚(๐‘ค)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘‡ โˆง (๐บ DProd ๐‘‡) = ๐ต))
21simpld 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘‡)
3 ablfac1eu.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
42, 3dprdf2 19879 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
54ffnd 6718 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ Fn ๐ด)
6 ablfac1.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 ablfac1.o . . . . 5 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
8 ablfac1.s . . . . 5 ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
9 ablfac1.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
10 ablfac1.f . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
11 ablfac1.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
126, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1b 19942 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
136fvexi 6905 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ V
1413rabex 5332 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} โˆˆ V
1514, 8dmmpti 6694 . . . . 5 dom ๐‘† = ๐ด
1615a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ด)
1712, 16dprdf2 19879 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
1817ffnd 6718 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† Fn ๐ด)
1910adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
2017ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
216subgss 19009 . . . . 5 ((๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) โŠ† ๐ต)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) โŠ† ๐ต)
2319, 22ssfid 9269 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin)
244ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
256subgss 19009 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† ๐ต)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† ๐ต)
2726sselda 3982 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
286, 7odcl 19406 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
3029nn0zd 12586 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
3119, 26ssfid 9269 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin)
32 hashcl 14318 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„•0)
3433nn0zd 12586 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„ค)
3534adantr 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„ค)
3611sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
37 prmnn 16613 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
39 ablgrp 19655 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
416grpbn0 18853 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
43 hashnncl 14328 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„• โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„• โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
4542, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
4736, 46pccld 16785 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0)
4838, 47nnexpcld 14210 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•)
4948nnzd 12587 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
5049adantr 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
5124adantr 481 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
5231adantr 481 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin)
53 simpr 485 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
547odsubdvds 19441 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
56 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
57 prmz 16614 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
5836, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
59 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
6059nn0zd 12586 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6147nn0zd 12586 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
626lagsubg 19074 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
6324, 19, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
6456, 63eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
6546nnzd 12587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
66 pcdvdsb 16804 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ โ‰ค (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6736, 65, 59, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โ‰ค (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6864, 67mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โ‰ค (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
69 eluz2 12830 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ถ) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰ค (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7060, 61, 68, 69syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ถ))
71 dvdsexp 16273 . . . . . . . . 9 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7258, 59, 70, 71syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7356, 72eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7473adantr 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7530, 35, 50, 55, 74dvdstrd 16240 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7626, 75ssrabdv 4071 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
77 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ ๐‘ = ๐‘ž)
78 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7977, 78oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
8079breq2d 5160 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
8180rabbidv 3440 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
8281, 8, 14fvmpt3i 7003 . . . . 5 (๐‘ž โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
8382adantl 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
8476, 83sseqtrrd 4023 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐‘†โ€˜๐‘ž))
8548nnnn0d 12534 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•0)
86 pcdvds 16799 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
8736, 46, 86syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
882adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘‡)
893adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
90 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โŠ† ๐ด)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท โŠ† ๐ด)
9288, 89, 91dprdres 19900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โŠ† (๐บ DProd ๐‘‡)))
9392simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))
944adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘‡:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
9594, 91fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡ โ†พ ๐ท):๐ทโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
9695fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ๐ท) = ๐ท)
97 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ท โˆ– {๐‘ž}) โŠ† ๐ท)
9893, 96, 97dprdres 19900 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))))
9998simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))
100 dprdsubg 19896 . . . . . . . . . . 11 (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
1026lagsubg 19074 . . . . . . . . . 10 (((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
103101, 19, 102syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
104 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
105104subg0cl 19016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))
106101, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))
107106ne0d 4335 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โ‰  โˆ…)
1086dprdssv 19888 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โŠ† ๐ต
109 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โŠ† ๐ต) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ Fin)
11019, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ Fin)
111 hashnncl 14328 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„• โ†” (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โ‰  โˆ…))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„• โ†” (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โ‰  โˆ…))
113107, 112mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„•)
114113nnzd 12587 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค)
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ž)
116 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘ž})
117116difeq2d 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐ท โˆ– {๐‘ž}))
118117reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})) = ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))
119118oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ}))) = (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))
120119fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))))
121115, 120breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))) โ†” ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
122121notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))) โ†” ยฌ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
123 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1249adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
12510adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
126 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ท = {๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆฃ ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)}
127126ssrab3 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ท โŠ† โ„™
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ท โŠ† โ„™)
129 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ท โŠ† ๐ท)
1302, 3, 90dprdres 19900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โŠ† (๐บ DProd ๐‘‡)))
131130simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))
132 dprdsubg 19896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
134 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– ๐ท) โŠ† ๐ด)
1352, 3, 134dprdres 19900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โŠ† (๐บ DProd ๐‘‡)))
136135simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))
137 dprdsubg 19896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
139 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐ด โˆ– ๐ท) โŠ† ๐ด
140 fssres 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘‡:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐ด โˆ– ๐ท) โŠ† ๐ด) โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)):(๐ด โˆ– ๐ท)โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
1414, 139, 140sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)):(๐ด โˆ– ๐ท)โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
142141fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)) = (๐ด โˆ– ๐ท))
143 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
145 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท) โ†” (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท))
14631adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin)
147104subg0cl 19016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
14824, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
149148snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} โŠ† (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
150149adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} โŠ† (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
151 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0gโ€˜๐บ) โˆˆ V
152 hashsng 14331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = 1)
153151, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = 1
15456adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
15536adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
156 iddvdsexp 16225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ))
15758, 156sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ))
15864adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
15956, 34eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆˆ โ„ค)
160 dvdstr 16239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆง (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
16158, 159, 65, 160syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆง (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
162161adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆง (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
163157, 158, 162mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
164 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ค = ๐‘ž โ†’ (๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
165164, 126elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ž โˆˆ ๐ท โ†” (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
166155, 163, 165sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)
167166ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ท))
168167con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•))
169168impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•)
17059adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
171 elnn0 12476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ถ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ถ = 0))
172170, 171sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ถ = 0))
173172ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ = 0))
174169, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐ถ = 0)
175174oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) = (๐‘žโ†‘0))
17638adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
177176nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„‚)
178177exp0d 14107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘žโ†‘0) = 1)
179154, 175, 1783eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = 1)
180153, 179eqtr4id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
181 snfi 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(0gโ€˜๐บ)} โˆˆ Fin
182 hashen 14309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({(0gโ€˜๐บ)} โˆˆ Fin โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†” {(0gโ€˜๐บ)} โ‰ˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
183181, 146, 182sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†” {(0gโ€˜๐บ)} โ‰ˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
184180, 183mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} โ‰ˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
185 fisseneq 9259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โˆง {(0gโ€˜๐บ)} โŠ† (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆง {(0gโ€˜๐บ)} โ‰ˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
186146, 150, 184, 185syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
187104subg0cl 19016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
188133, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
189188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
190189snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
191186, 190eqsstrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
192145, 191sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
193144, 192eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
194136, 142, 133, 193dprdlub 19898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
195 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (LSSumโ€˜๐บ) = (LSSumโ€˜๐บ)
196195lsmss2 19537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))) โ†’ ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
197133, 138, 194, 196syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
198 disjdif 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ท โˆฉ (๐ด โˆ– ๐ท)) = โˆ…
199198a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆฉ (๐ด โˆ– ๐ท)) = โˆ…)
200 undif2 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ท โˆช (๐ด โˆ– ๐ท)) = (๐ท โˆช ๐ด)
201 ssequn1 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐ท โŠ† ๐ด โ†” (๐ท โˆช ๐ด) = ๐ด)
20290, 201sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆช ๐ด) = ๐ด)
203200, 202eqtr2id 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ท โˆช (๐ด โˆ– ๐ท)))
2044, 199, 203, 195, 2dprdsplit 19920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ๐‘‡) = ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))))
2051simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ๐‘‡) = ๐ต)
206204, 205eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))) = ๐ต)
207197, 206eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ๐ต)
208131, 207jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ๐ต))
209208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ๐ต))
2104, 90fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ†พ ๐ท):๐ทโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
211210fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ๐ท) = ๐ท)
212211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ๐ท) = ๐ท)
21390sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ด)
214213, 59syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
215214adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
216 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
217216adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
218217fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
219213, 56syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
220218, 219eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
221220adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
222 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„™)
223 fzfid 13940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ Fin)
224 prmnn 16613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ค โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
2252243ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
226 prmz 16614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ค โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
227 dvdsle 16255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต)))
228226, 45, 227syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต)))
2292283impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต))
23045nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
2312303ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
232 fznn 13571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต))))
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต))))
234225, 229, 233mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)))
235234rabssdv 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆฃ ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)} โŠ† (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)))
236126, 235eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โŠ† (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)))
237223, 236ssfid 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Fin)
238237adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ท โˆˆ Fin)
2396, 7, 123, 124, 125, 128, 126, 129, 209, 212, 215, 221, 222, 238ablfac1eulem 19944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))))
240239ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„™ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))))
241240adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„™ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))))
242122, 241, 36rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))))
243 coprm 16650 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โ†” (๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1))
24436, 114, 243syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โ†” (๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1))
245242, 244mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1)
246 rpexp1i 16662 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1 โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1))
24758, 114, 47, 246syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1 โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1))
248245, 247mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1)
249 coprmdvds2 16593 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1) โ†’ (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
25049, 114, 65, 248, 249syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
25187, 103, 250mp2and 697 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
252 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
253 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โŠ† ๐ท
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โŠ† ๐ท)
25593, 96, 254dprdres 19900 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))))
256255simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))
257 dprdsubg 19896 . . . . . . . . . . 11 (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
258256, 257syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
259 inass 4219 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = (๐ท โˆฉ ({๐‘ž} โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))
260 disjdif 4471 . . . . . . . . . . . . . 14 ({๐‘ž} โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = โˆ…
261260ineq2i 4209 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆฉ ({๐‘ž} โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) = (๐ท โˆฉ โˆ…)
262 in0 4391 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆฉ โˆ…) = โˆ…
263259, 261, 2623eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = โˆ…
264263a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = โˆ…)
26593, 96, 254, 97, 264, 104dprddisj2 19911 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆฉ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) = {(0gโ€˜๐บ)})
26693, 96, 254, 97, 264, 252dprdcntz2 19910 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))))
2676dprdssv 19888 . . . . . . . . . . 11 (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โŠ† ๐ต
268 ssfi 9175 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โŠ† ๐ต) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆˆ Fin)
26919, 267, 268sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆˆ Fin)
270195, 104, 252, 258, 101, 265, 266, 269, 110lsmhash 19575 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
271 inundif 4478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆช (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = ๐ท
272271eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ๐ท = ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆช (๐ท โˆ– {๐‘ž}))
273272a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท = ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆช (๐ท โˆ– {๐‘ž})))
27495, 264, 273, 195, 93dprdsplit 19920 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))))
275207adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ๐ต)
276274, 275eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) = ๐ต)
277276fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
278 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ž โˆˆ ๐ท โ†’ {๐‘ž} โŠ† ๐ท)
279278adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ {๐‘ž} โŠ† ๐ท)
280 sseqin2 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({๐‘ž} โŠ† ๐ท โ†” (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) = {๐‘ž})
281279, 280sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) = {๐‘ž})
282281reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) = ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ {๐‘ž}))
283282oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ {๐‘ž})))
28493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))
285211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ๐ท) = ๐ท)
286 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)
287284, 285, 286dpjlem 19923 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ {๐‘ž})) = ((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž))
288216adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
289283, 287, 2883eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
290 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)
291 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)
292290, 291sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) = โˆ…)
293292reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) = ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ โˆ…))
294 res0 5985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ โˆ…) = โˆ…
295293, 294eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) = โˆ…)
296295oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐บ DProd โˆ…))
297104dprd0 19903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บdom DProd โˆ… โˆง (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)}))
29840, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd โˆ… โˆง (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)}))
299298simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)})
300299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)})
301296, 300, 1863eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
302301anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
303289, 302pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
304303fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
305304oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
306270, 277, 3053eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
307251, 306breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
308113nnne0d 12264 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โ‰  0)
309 dvdsmulcr 16231 . . . . . . . 8 (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โ†” (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž))))
31049, 34, 114, 308, 309syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โ†” (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž))))
311307, 310mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
312 dvdseq 16259 . . . . . 6 ((((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•0) โˆง ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆง (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
31333, 85, 73, 311, 312syl22anc 837 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
3146, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1a 19941 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
315313, 314eqtr4d 2775 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)))
316 hashen 14309 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โ‰ˆ (๐‘†โ€˜๐‘ž)))
31731, 23, 316syl2anc 584 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โ‰ˆ (๐‘†โ€˜๐‘ž)))
318315, 317mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โ‰ˆ (๐‘†โ€˜๐‘ž))
319 fisseneq 9259 . . 3 (((๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โ‰ˆ (๐‘†โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) = (๐‘†โ€˜๐‘ž))
32023, 84, 318, 319syl3anc 1371 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) = (๐‘†โ€˜๐‘ž))
3215, 18, 320eqfnfvd 7035 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676   โ†พ cres 5678  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11251  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  โ™ฏchash 14292   โˆฅ cdvds 16199   gcd cgcd 16437  โ„™cprime 16610   pCnt cpc 16771  Basecbs 17146  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  SubGrpcsubg 19002  Cntzccntz 19181  odcod 19394  LSSumclsm 19504  Abelcabl 19651   DProd cdprd 19865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-ga 19156  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-od 19398  df-lsm 19506  df-pj1 19507  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-dprd 19867
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator