MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eu 19943
Description: The factorization of ablfac1b 19940 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to ๐‘†. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfac1.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfac1.s ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
ablfac1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfac1.f (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
ablfac1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
ablfac1c.d ๐ท = {๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆฃ ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)}
ablfac1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โŠ† ๐ด)
ablfac1eu.1 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘‡ โˆง (๐บ DProd ๐‘‡) = ๐ต))
ablfac1eu.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
ablfac1eu.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
ablfac1eu.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘,๐‘ค,๐‘ฅ,๐ต   ๐ท,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ค,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘ž   ๐ด,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‚,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‡,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ค)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ž,๐‘)   ๐ท(๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘)   ๐‘‡(๐‘ค,๐‘)   ๐บ(๐‘ค)   ๐‘‚(๐‘ค)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘‡ โˆง (๐บ DProd ๐‘‡) = ๐ต))
21simpld 496 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘‡)
3 ablfac1eu.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
42, 3dprdf2 19877 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
54ffnd 6719 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ Fn ๐ด)
6 ablfac1.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 ablfac1.o . . . . 5 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
8 ablfac1.s . . . . 5 ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
9 ablfac1.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
10 ablfac1.f . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
11 ablfac1.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
126, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1b 19940 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
136fvexi 6906 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ V
1413rabex 5333 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} โˆˆ V
1514, 8dmmpti 6695 . . . . 5 dom ๐‘† = ๐ด
1615a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ด)
1712, 16dprdf2 19877 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
1817ffnd 6719 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† Fn ๐ด)
1910adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
2017ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
216subgss 19007 . . . . 5 ((๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) โŠ† ๐ต)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) โŠ† ๐ต)
2319, 22ssfid 9267 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin)
244ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
256subgss 19007 . . . . . 6 ((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† ๐ต)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† ๐ต)
2726sselda 3983 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
286, 7odcl 19404 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
3029nn0zd 12584 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
3119, 26ssfid 9267 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin)
32 hashcl 14316 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„•0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„•0)
3433nn0zd 12584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„ค)
3534adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„ค)
3611sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
37 prmnn 16611 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
39 ablgrp 19653 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
416grpbn0 18851 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
43 hashnncl 14326 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„• โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„• โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
4542, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
4736, 46pccld 16783 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0)
4838, 47nnexpcld 14208 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•)
4948nnzd 12585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
5049adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
5124adantr 482 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
5231adantr 482 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin)
53 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
547odsubdvds 19439 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
56 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
57 prmz 16612 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
5836, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
59 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
6059nn0zd 12584 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6147nn0zd 12584 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
626lagsubg 19072 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
6324, 19, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
6456, 63eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
6546nnzd 12585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
66 pcdvdsb 16802 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ โ‰ค (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6736, 65, 59, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โ‰ค (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6864, 67mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โ‰ค (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
69 eluz2 12828 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ถ) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰ค (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7060, 61, 68, 69syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ถ))
71 dvdsexp 16271 . . . . . . . . 9 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7258, 59, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7356, 72eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7473adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7530, 35, 50, 55, 74dvdstrd 16238 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7626, 75ssrabdv 4072 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
77 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ ๐‘ = ๐‘ž)
78 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7977, 78oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
8079breq2d 5161 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
8180rabbidv 3441 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
8281, 8, 14fvmpt3i 7004 . . . . 5 (๐‘ž โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
8382adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ž) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
8476, 83sseqtrrd 4024 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐‘†โ€˜๐‘ž))
8548nnnn0d 12532 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•0)
86 pcdvds 16797 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
8736, 46, 86syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
882adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘‡)
893adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
90 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โŠ† ๐ด)
9190adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท โŠ† ๐ด)
9288, 89, 91dprdres 19898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โŠ† (๐บ DProd ๐‘‡)))
9392simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))
944adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘‡:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
9594, 91fssresd 6759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡ โ†พ ๐ท):๐ทโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
9695fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ๐ท) = ๐ท)
97 difssd 4133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ท โˆ– {๐‘ž}) โŠ† ๐ท)
9893, 96, 97dprdres 19898 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))))
9998simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))
100 dprdsubg 19894 . . . . . . . . . . 11 (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
1026lagsubg 19072 . . . . . . . . . 10 (((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
103101, 19, 102syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
104 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
105104subg0cl 19014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))
106101, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))
107106ne0d 4336 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โ‰  โˆ…)
1086dprdssv 19886 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โŠ† ๐ต
109 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โŠ† ๐ต) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ Fin)
11019, 108, 109sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ Fin)
111 hashnncl 14326 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„• โ†” (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โ‰  โˆ…))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„• โ†” (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) โ‰  โˆ…))
113107, 112mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„•)
114113nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค)
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ž)
116 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘ž})
117116difeq2d 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐ท โˆ– {๐‘ž}))
118117reseq2d 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})) = ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))
119118oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ}))) = (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))
120119fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))))
121115, 120breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))) โ†” ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
122121notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ž โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))) โ†” ยฌ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
123 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1249adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
12510adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
126 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ท = {๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆฃ ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)}
127126ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ท โŠ† โ„™
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ท โŠ† โ„™)
129 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ท โŠ† ๐ท)
1302, 3, 90dprdres 19898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โŠ† (๐บ DProd ๐‘‡)))
131130simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))
132 dprdsubg 19894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
134 difssd 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– ๐ท) โŠ† ๐ด)
1352, 3, 134dprdres 19898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โŠ† (๐บ DProd ๐‘‡)))
136135simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))
137 dprdsubg 19894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
139 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐ด โˆ– ๐ท) โŠ† ๐ด
140 fssres 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘‡:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐ด โˆ– ๐ท) โŠ† ๐ด) โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)):(๐ด โˆ– ๐ท)โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
1414, 139, 140sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)):(๐ด โˆ– ๐ท)โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
142141fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)) = (๐ด โˆ– ๐ท))
143 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
144143adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
145 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท) โ†” (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท))
14631adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin)
147104subg0cl 19014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
14824, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
149148snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} โŠ† (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
150149adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} โŠ† (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
151 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0gโ€˜๐บ) โˆˆ V
152 hashsng 14329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = 1)
153151, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = 1
15456adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
15536adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
156 iddvdsexp 16223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ))
15758, 156sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ))
15864adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
15956, 34eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆˆ โ„ค)
160 dvdstr 16237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆง (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
16158, 159, 65, 160syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆง (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
162161adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ž โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆง (๐‘žโ†‘๐ถ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
163157, 158, 162mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
164 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ค = ๐‘ž โ†’ (๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
165164, 126elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ž โˆˆ ๐ท โ†” (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
166155, 163, 165sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)
167166ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ท))
168167con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•))
169168impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•)
17059adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
171 elnn0 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ถ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ถ = 0))
172170, 171sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„• โˆจ ๐ถ = 0))
173172ord 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ = 0))
174169, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐ถ = 0)
175174oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘žโ†‘๐ถ) = (๐‘žโ†‘0))
17638adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
177176nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„‚)
178177exp0d 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘žโ†‘0) = 1)
179154, 175, 1783eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = 1)
180153, 179eqtr4id 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
181 snfi 9044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(0gโ€˜๐บ)} โˆˆ Fin
182 hashen 14307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({(0gโ€˜๐บ)} โˆˆ Fin โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†” {(0gโ€˜๐บ)} โ‰ˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
183181, 146, 182sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†” {(0gโ€˜๐บ)} โ‰ˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
184180, 183mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} โ‰ˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
185 fisseneq 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โˆง {(0gโ€˜๐บ)} โŠ† (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆง {(0gโ€˜๐บ)} โ‰ˆ (๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
186146, 150, 184, 185syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
187104subg0cl 19014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
188133, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
189188adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
190189snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ {(0gโ€˜๐บ)} โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
191186, 190eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
192145, 191sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
193144, 192eqsstrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
194136, 142, 133, 193dprdlub 19896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
195 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (LSSumโ€˜๐บ) = (LSSumโ€˜๐บ)
196195lsmss2 19535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท))) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))) โ†’ ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
197133, 138, 194, 196syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)))
198 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ท โˆฉ (๐ด โˆ– ๐ท)) = โˆ…
199198a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆฉ (๐ด โˆ– ๐ท)) = โˆ…)
200 undif2 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ท โˆช (๐ด โˆ– ๐ท)) = (๐ท โˆช ๐ด)
201 ssequn1 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐ท โŠ† ๐ด โ†” (๐ท โˆช ๐ด) = ๐ด)
20290, 201sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆช ๐ด) = ๐ด)
203200, 202eqtr2id 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (๐ท โˆช (๐ด โˆ– ๐ท)))
2044, 199, 203, 195, 2dprdsplit 19918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ๐‘‡) = ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))))
2051simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ๐‘‡) = ๐ต)
206204, 205eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– ๐ท)))) = ๐ต)
207197, 206eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ๐ต)
208131, 207jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ๐ต))
209208adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ๐ต))
2104, 90fssresd 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ†พ ๐ท):๐ทโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
211210fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ๐ท) = ๐ท)
212211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ๐ท) = ๐ท)
21390sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ด)
214213, 59syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
215214adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
216 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
217216adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
218217fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
219213, 56syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
220218, 219eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
221220adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
222 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„™)
223 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ Fin)
224 prmnn 16611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ค โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
2252243ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
226 prmz 16612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ค โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
227 dvdsle 16253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต)))
228226, 45, 227syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต)))
2292283impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต))
23045nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
2312303ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
232 fznn 13569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต))))
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ต))))
234225, 229, 233mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)))
235234rabssdv 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆฃ ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)} โŠ† (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)))
236126, 235eqsstrid 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โŠ† (1...(โ™ฏโ€˜๐ต)))
237223, 236ssfid 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Fin)
238237adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ท โˆˆ Fin)
2396, 7, 123, 124, 125, 128, 126, 129, 209, 212, 215, 221, 222, 238ablfac1eulem 19942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))))
240239ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„™ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))))
241240adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„™ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ฅ})))))
242122, 241, 36rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))))
243 coprm 16648 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โ†” (๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1))
24436, 114, 243syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘ž โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โ†” (๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1))
245242, 244mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1)
246 rpexp1i 16660 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1 โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1))
24758, 114, 47, 246syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ž gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1 โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1))
248245, 247mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1)
249 coprmdvds2 16591 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = 1) โ†’ (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
25049, 114, 65, 248, 249syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)))
25187, 103, 250mp2and 698 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
252 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
253 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โŠ† ๐ท
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โŠ† ๐ท)
25593, 96, 254dprdres 19898 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โŠ† (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))))
256255simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))
257 dprdsubg 19894 . . . . . . . . . . 11 (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
258256, 257syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
259 inass 4220 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = (๐ท โˆฉ ({๐‘ž} โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))
260 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . . . 14 ({๐‘ž} โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = โˆ…
261260ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆฉ ({๐‘ž} โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))) = (๐ท โˆฉ โˆ…)
262 in0 4392 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆฉ โˆ…) = โˆ…
263259, 261, 2623eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = โˆ…
264263a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆฉ (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = โˆ…)
26593, 96, 254, 97, 264, 104dprddisj2 19909 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆฉ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) = {(0gโ€˜๐บ)})
26693, 96, 254, 97, 264, 252dprdcntz2 19908 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))))
2676dprdssv 19886 . . . . . . . . . . 11 (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โŠ† ๐ต
268 ssfi 9173 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โŠ† ๐ต) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆˆ Fin)
26919, 267, 268sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) โˆˆ Fin)
270195, 104, 252, 258, 101, 265, 266, 269, 110lsmhash 19573 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
271 inundif 4479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆช (๐ท โˆ– {๐‘ž})) = ๐ท
272271eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ๐ท = ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆช (๐ท โˆ– {๐‘ž}))
273272a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ท = ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) โˆช (๐ท โˆ– {๐‘ž})))
27495, 264, 273, 195, 93dprdsplit 19918 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))))
275207adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท)) = ๐ต)
276274, 275eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) = ๐ต)
277276fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
278 snssi 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ž โˆˆ ๐ท โ†’ {๐‘ž} โŠ† ๐ท)
279278adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ {๐‘ž} โŠ† ๐ท)
280 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({๐‘ž} โŠ† ๐ท โ†” (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) = {๐‘ž})
281279, 280sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) = {๐‘ž})
282281reseq2d 5982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) = ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ {๐‘ž}))
283282oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ {๐‘ž})))
28493adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ๐ท))
285211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ๐ท) = ๐ท)
286 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)
287284, 285, 286dpjlem 19921 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ {๐‘ž})) = ((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž))
288216adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท)โ€˜๐‘ž) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
289283, 287, 2883eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
290 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)
291 disjsn 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ท โˆฉ {๐‘ž}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)
292290, 291sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}) = โˆ…)
293292reseq2d 5982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) = ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ โˆ…))
294 res0 5986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ โˆ…) = โˆ…
295293, 294eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})) = โˆ…)
296295oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐บ DProd โˆ…))
297104dprd0 19901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บdom DProd โˆ… โˆง (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)}))
29840, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd โˆ… โˆง (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)}))
299298simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)})
300299adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)})
301296, 300, 1863eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ ๐ด โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
302301anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
303289, 302pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
304303fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
305304oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆฉ {๐‘ž})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
306270, 277, 3053eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
307251, 306breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))))
308113nnne0d 12262 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โ‰  0)
309 dvdsmulcr 16229 . . . . . . . 8 (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž})))) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โ†” (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž))))
31049, 34, 114, 308, 309syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ๐ท) โ†พ (๐ท โˆ– {๐‘ž}))))) โ†” (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž))))
311307, 310mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
312 dvdseq 16257 . . . . . 6 ((((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•0) โˆง ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) โˆฅ (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆง (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
31333, 85, 73, 311, 312syl22anc 838 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
3146, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1a 19939 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘(๐‘ž pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
315313, 314eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)))
316 hashen 14307 . . . . 5 (((๐‘‡โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โ‰ˆ (๐‘†โ€˜๐‘ž)))
31731, 23, 316syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ž)) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โ‰ˆ (๐‘†โ€˜๐‘ž)))
318315, 317mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โ‰ˆ (๐‘†โ€˜๐‘ž))
319 fisseneq 9257 . . 3 (((๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆˆ Fin โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โŠ† (๐‘†โ€˜๐‘ž) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ž) โ‰ˆ (๐‘†โ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) = (๐‘†โ€˜๐‘ž))
32023, 84, 318, 319syl3anc 1372 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ž) = (๐‘†โ€˜๐‘ž))
3215, 18, 320eqfnfvd 7036 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677   โ†พ cres 5679  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ‰ˆ cen 8936  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290   โˆฅ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  โ„™cprime 16608   pCnt cpc 16769  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179  odcod 19392  LSSumclsm 19502  Abelcabl 19649   DProd cdprd 19863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-ga 19154  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-od 19396  df-lsm 19504  df-pj1 19505  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-dprd 19865
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator