MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eu 20094
Description: The factorization of ablfac1b 20091 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu (𝜑𝑇 = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
21simpld 494 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
3 ablfac1eu.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
42, 3dprdf2 20028 . . 3 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
54ffnd 6736 . 2 (𝜑𝑇 Fn 𝐴)
6 ablfac1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
8 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
9 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 ablfac1.f . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 ablfac1.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
126, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1b 20091 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
136fvexi 6919 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1413rabex 5338 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
1514, 8dmmpti 6711 . . . . 5 dom 𝑆 = 𝐴
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
1712, 16dprdf2 20028 . . 3 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
1817ffnd 6736 . 2 (𝜑𝑆 Fn 𝐴)
1910adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2017ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
216subgss 19146 . . . . 5 ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2319, 22ssfid 9302 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ Fin)
244ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
256subgss 19146 . . . . . 6 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2726sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥𝐵)
286, 7odcl 19555 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
3029nn0zd 12641 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
3119, 26ssfid 9302 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
32 hashcl 14396 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑞) ∈ Fin → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
3433nn0zd 12641 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
3534adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
3611sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
37 prmnn 16712 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℕ)
39 ablgrp 19804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
416grpbn0 18985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
43 hashnncl 14406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4542, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4736, 46pccld 16889 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
4838, 47nnexpcld 14285 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
4948nnzd 12642 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
5049adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
5124adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5231adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
53 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑞))
547odsubdvds 19590 . . . . . . 7 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
56 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
57 prmz 16713 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
5836, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℤ)
59 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
6059nn0zd 12641 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
6147nn0zd 12641 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
626lagsubg 19214 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (♯‘𝐵))
6324, 19, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (♯‘𝐵))
6456, 63eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
6546nnzd 12642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
66 pcdvdsb 16908 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)))
6736, 65, 59, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)))
6864, 67mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))
69 eluz2 12885 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
7060, 61, 68, 69syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶))
71 dvdsexp 16366 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
7258, 59, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
7356, 72eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
7473adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
7530, 35, 50, 55, 74dvdstrd 16333 . . . . 5 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
7626, 75ssrabdv 4073 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
77 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞𝑝 = 𝑞)
78 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))
7977, 78oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
8079breq2d 5154 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))))
8180rabbidv 3443 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8281, 8, 14fvmpt3i 7020 . . . . 5 (𝑞𝐴 → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8382adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8476, 83sseqtrrd 4020 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞))
8548nnnn0d 12589 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ0)
86 pcdvds 16903 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
8736, 46, 86syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
882adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑇)
893adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑇 = 𝐴)
90 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷𝐴)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷𝐴)
9288, 89, 91dprdres 20049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
9392simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
944adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
9594, 91fssresd 6774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
9695fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
97 difssd 4136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∖ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
9893, 96, 97dprdres 20049 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
9998simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
100 dprdsubg 20045 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1026lagsubg 19214 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵))
103101, 19, 102syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵))
104 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
105104subg0cl 19153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
106101, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
107106ne0d 4341 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅)
1086dprdssv 20037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
109 ssfi 9214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
11019, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
111 hashnncl 14406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
113107, 112mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ)
114113nnzd 12642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ)
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞𝑥 = 𝑞)
116 sneq 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑞 → {𝑥} = {𝑞})
117116difeq2d 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑞 → (𝐷 ∖ {𝑥}) = (𝐷 ∖ {𝑞}))
118117reseq2d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})) = ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
119118oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑞 → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
120119fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞 → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) = (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
121115, 120breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
122121notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑞 → (¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
123 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
1249adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
12510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ Fin)
126 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
127126ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 ⊆ ℙ
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ⊆ ℙ)
129 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷𝐷)
1302, 3, 90dprdres 20049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
131130simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
132 dprdsubg 20045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
134 difssd 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴)
1352, 3, 134dprdres 20049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
136135simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))
137 dprdsubg 20045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
139 difss 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴
140 fssres 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴) → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
1414, 139, 140sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
142141fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) = (𝐴𝐷))
143 fvres 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
145 eldif 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷))
14631adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
147104subg0cl 19153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
14824, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
149148snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑞𝐴) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
150149adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
151 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0g𝐺) ∈ V
152 hashsng 14409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
153151, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
15456adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
15536adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
156 iddvdsexp 16318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
15758, 156sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
15864adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
15956, 34eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∈ ℤ)
160 dvdstr 16332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞𝐶) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
16158, 159, 65, 160syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
162161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
163157, 158, 162mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵))
164 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
165164, 126elrab2 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
166155, 163, 165sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞𝐷)
167166ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ∈ ℕ → 𝑞𝐷))
168167con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞𝐷 → ¬ 𝐶 ∈ ℕ))
169168impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝐶 ∈ ℕ)
17059adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
171 elnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐶 ∈ ℕ0 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
172170, 171sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
173172ord 864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (¬ 𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 = 0))
174169, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 = 0)
175174oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞𝐶) = (𝑞↑0))
17638adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ)
177176nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℂ)
178177exp0d 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞↑0) = 1)
179154, 175, 1783eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = 1)
180153, 179eqtr4id 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)))
181 snfi 9084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(0g𝐺)} ∈ Fin
182 hashen 14387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({(0g𝐺)} ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin) → ((♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
183181, 146, 182sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
184180, 183mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞))
185 fisseneq 9294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞) ∧ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
186146, 150, 184, 185syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
187104subg0cl 19153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
188133, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
189188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
190189snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
191186, 190eqsstrrd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
192145, 191sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
193144, 192eqsstrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
194136, 142, 133, 193dprdlub 20047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
195 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
196195lsmss2 19686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))) → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
197133, 138, 194, 196syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
198 disjdif 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅
199198a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅)
200 undif2 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐴)
201 ssequn1 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐷𝐴 ↔ (𝐷𝐴) = 𝐴)
20290, 201sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐷𝐴) = 𝐴)
203200, 202eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 = (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)))
2044, 199, 203, 195, 2dprdsplit 20069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))))
2051simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵)
206204, 205eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = 𝐵)
207197, 206eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
208131, 207jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
209208adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
2104, 90fssresd 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
211210fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
212211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
21390sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝑞𝐴)
214213, 59syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
215214adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
216 fvres 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞𝐷 → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
217216adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
218217fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (♯‘(𝑇𝑞)))
219213, 56syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
220218, 219eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
221220adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
222 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
223 fzfid 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1...(♯‘𝐵)) ∈ Fin)
224 prmnn 16712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
2252243ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ∈ ℕ)
226 prmz 16713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
227 dvdsle 16348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵)))
228226, 45, 227syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ) → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵)))
2292283impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))
23045nnzd 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
2312303ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
232 fznn 13633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))))
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))))
234225, 229, 233mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)))
235234rabssdv 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
236126, 235eqsstrid 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
237223, 236ssfid 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
238237adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ∈ Fin)
2396, 7, 123, 124, 125, 128, 126, 129, 209, 212, 215, 221, 222, 238ablfac1eulem 20093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
240239ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
241240adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
242122, 241, 36rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
243 coprm 16749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
24436, 114, 243syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
245242, 244mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
246 rpexp1i 16761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
24758, 114, 47, 246syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
248245, 247mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
249 coprmdvds2 16692 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵)))
25049, 114, 65, 248, 249syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵)))
25187, 103, 250mp2and 699 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵))
252 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
253 inss1 4236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
25593, 96, 254dprdres 20049 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
256255simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))
257 dprdsubg 20045 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
258256, 257syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
259 inass 4227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})))
260 disjdif 4471 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
261260ineq2i 4216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞}))) = (𝐷 ∩ ∅)
262 in0 4394 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ∅) = ∅
263259, 261, 2623eqtri 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
264263a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅)
26593, 96, 254, 97, 264, 104dprddisj2 20060 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = {(0g𝐺)})
26693, 96, 254, 97, 264, 252dprdcntz2 20059 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
2676dprdssv 20037 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
268 ssfi 9214 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
26919, 267, 268sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
270195, 104, 252, 258, 101, 265, 266, 269, 110lsmhash 19724 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
271 inundif 4478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})) = 𝐷
272271eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞}))
273272a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})))
27495, 264, 273, 195, 93dprdsplit 20069 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
275207adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
276274, 275eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = 𝐵)
277276fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = (♯‘𝐵))
278 snssi 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐷 → {𝑞} ⊆ 𝐷)
279278adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → {𝑞} ⊆ 𝐷)
280 sseqin2 4222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑞} ⊆ 𝐷 ↔ (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
281279, 280sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
282281reseq2d 5996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞}))
283282oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})))
28493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
285211ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
286 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝑞𝐷)
287284, 285, 286dpjlem 20072 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})) = ((𝑇𝐷)‘𝑞))
288216adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
289283, 287, 2883eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
290 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝑞𝐷)
291 disjsn 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝐷)
292290, 291sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅)
293292reseq2d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ ∅))
294 res0 6000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝐷) ↾ ∅) = ∅
295293, 294eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ∅)
296295oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ∅))
297104dprd0 20052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
29840, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
299298simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
300299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
301296, 300, 1863eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
302301anassrs 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ ¬ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
303289, 302pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
304303fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) = (♯‘(𝑇𝑞)))
305304oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
306270, 277, 3053eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
307251, 306breqtrd 5168 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
308113nnne0d 12317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)
309 dvdsmulcr 16324 . . . . . . . 8 (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞))))
31049, 34, 114, 308, 309syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞))))
311307, 310mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
312 dvdseq 16352 . . . . . 6 ((((♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
31333, 85, 73, 311, 312syl22anc 838 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
3146, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1a 20090 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
315313, 314eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)))
316 hashen 14387 . . . . 5 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑆𝑞) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
31731, 23, 316syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
318315, 317mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞))
319 fisseneq 9294 . . 3 (((𝑆𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞) ∧ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
32023, 84, 318, 319syl3anc 1372 . 2 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
3215, 18, 320eqfnfvd 7053 1 (𝜑𝑇 = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cres 5686  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cen 8983  Fincfn 8986  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  cle 11297  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  cexp 14103  chash 14370  cdvds 16291   gcd cgcd 16532  cprime 16709   pCnt cpc 16875  Basecbs 17248  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  Cntzccntz 19334  odcod 19543  LSSumclsm 19653  Abelcabl 19800   DProd cdprd 20014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-ga 19309  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-od 19547  df-lsm 19655  df-pj1 19656  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-dprd 20016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator