MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eu 18948
Description: The factorization of ablfac1b 18945 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu (𝜑𝑇 = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
21simpld 487 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
3 ablfac1eu.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
42, 3dprdf2 18882 . . 3 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
54ffnd 6347 . 2 (𝜑𝑇 Fn 𝐴)
6 ablfac1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
8 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
9 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 ablfac1.f . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 ablfac1.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
126, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1b 18945 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
136fvexi 6515 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1413rabex 5092 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
1514, 8dmmpti 6324 . . . . 5 dom 𝑆 = 𝐴
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
1712, 16dprdf2 18882 . . 3 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
1817ffnd 6347 . 2 (𝜑𝑆 Fn 𝐴)
1910adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2017ffvelrnda 6678 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
216subgss 18067 . . . . 5 ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2319, 22ssfid 8538 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ Fin)
244ffvelrnda 6678 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
256subgss 18067 . . . . . 6 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2724adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2819, 26ssfid 8538 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
2928adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
30 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑞))
317odsubdvds 18460 . . . . . . 7 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
3227, 29, 30, 31syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
33 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
3411sselda 3860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
35 prmz 15878 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℤ)
37 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3837nn0zd 11901 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
39 ablgrp 18674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
416grpbn0 17923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
43 hashnncl 13545 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4542, 44mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4645adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4734, 46pccld 16046 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
4847nn0zd 11901 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
496lagsubg 18128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (♯‘𝐵))
5024, 19, 49syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (♯‘𝐵))
5133, 50eqbrtrrd 4954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
5246nnzd 11902 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
53 pcdvdsb 16064 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)))
5434, 52, 37, 53syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)))
5551, 54mpbird 249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))
56 eluz2 12067 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
5738, 48, 55, 56syl3anbrc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶))
58 dvdsexp 15540 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
5936, 37, 57, 58syl3anc 1351 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
6033, 59eqbrtrd 4952 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
6160adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
6226sselda 3860 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥𝐵)
636, 7odcl 18429 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
6564nn0zd 11901 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
66 hashcl 13535 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑞) ∈ Fin → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
6728, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
6867nn0zd 11901 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
6968adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
70 prmnn 15877 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
7134, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℕ)
7271, 47nnexpcld 13424 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7372nnzd 11902 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
7473adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
75 dvdstr 15509 . . . . . . 7 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)) ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))))
7665, 69, 74, 75syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (((𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)) ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))))
7732, 61, 76mp2and 686 . . . . 5 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
7826, 77ssrabdv 3942 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
79 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞𝑝 = 𝑞)
80 oveq1 6985 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))
8179, 80oveq12d 6996 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
8281breq2d 4942 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))))
8382rabbidv 3403 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8483, 8, 14fvmpt3i 6602 . . . . 5 (𝑞𝐴 → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8584adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8678, 85sseqtr4d 3900 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞))
8772nnnn0d 11770 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ0)
88 pcdvds 16059 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
8934, 46, 88syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
902adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑇)
913adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑇 = 𝐴)
92 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷𝐴)
9392adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷𝐴)
9490, 91, 93dprdres 18903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
9594simpld 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
964adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
9796, 93fssresd 6376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
9897fdmd 6355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
99 difssd 4001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∖ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
10095, 98, 99dprdres 18903 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
101100simpld 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
102 dprdsubg 18899 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1046lagsubg 18128 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵))
105103, 19, 104syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵))
106 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
107106subg0cl 18074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
108103, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
109108ne0d 4189 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅)
1106dprdssv 18891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
111 ssfi 8535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
11219, 110, 111sylancl 577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
113 hashnncl 13545 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
115109, 114mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ)
116115nnzd 11902 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞𝑥 = 𝑞)
118 sneq 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑞 → {𝑥} = {𝑞})
119118difeq2d 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑞 → (𝐷 ∖ {𝑥}) = (𝐷 ∖ {𝑞}))
120119reseq2d 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})) = ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
121120oveq2d 6994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑞 → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
122121fveq2d 6505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞 → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) = (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
123117, 122breq12d 4943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
124123notbid 310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑞 → (¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
125 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
1269adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
12710adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ Fin)
128 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
129128ssrab3 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 ⊆ ℙ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ⊆ ℙ)
131 ssidd 3882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷𝐷)
1322, 3, 92dprdres 18903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
133132simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
134 dprdsubg 18899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
136 difssd 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴)
1372, 3, 136dprdres 18903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
138137simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))
139 dprdsubg 18899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
141 difss 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴
142 fssres 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴) → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
1434, 141, 142sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
144143fdmd 6355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) = (𝐴𝐷))
145 fvres 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
146145adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
147 eldif 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷))
14828adantrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
149106subg0cl 18074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
15024, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
151150snssd 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑞𝐴) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
152151adantrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
15333adantrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
15434adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
155 iddvdsexp 15496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
15636, 155sylan 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
15751adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
15833, 68eqeltrrd 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∈ ℤ)
159 dvdstr 15509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞𝐶) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
16036, 158, 52, 159syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
161160adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
162156, 157, 161mp2and 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵))
163 breq1 4933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
164163, 128elrab2 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
165154, 162, 164sylanbrc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞𝐷)
166165ex 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ∈ ℕ → 𝑞𝐷))
167166con3d 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞𝐷 → ¬ 𝐶 ∈ ℕ))
168167impr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝐶 ∈ ℕ)
16937adantrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
170 elnn0 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐶 ∈ ℕ0 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
171169, 170sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
172171ord 850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (¬ 𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 = 0))
173168, 172mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 = 0)
174173oveq2d 6994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞𝐶) = (𝑞↑0))
17571adantrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ)
176175nncnd 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℂ)
177176exp0d 13322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞↑0) = 1)
178153, 174, 1773eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = 1)
179 fvex 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0g𝐺) ∈ V
180 hashsng 13547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
181179, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
182178, 181syl6reqr 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)))
183 snfi 8393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(0g𝐺)} ∈ Fin
184 hashen 13525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({(0g𝐺)} ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin) → ((♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
185183, 148, 184sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
186182, 185mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞))
187 fisseneq 8526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞) ∧ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
188148, 152, 186, 187syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
189106subg0cl 18074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
190135, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
191190adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
192191snssd 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
193188, 192eqsstr3d 3898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
194147, 193sylan2b 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
195146, 194eqsstrd 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
196138, 144, 135, 195dprdlub 18901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
197 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
198197lsmss2 18555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))) → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
199135, 140, 196, 198syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
200 disjdif 4305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅)
202 undif2 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐴)
203 ssequn1 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐷𝐴 ↔ (𝐷𝐴) = 𝐴)
20492, 203sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐷𝐴) = 𝐴)
205202, 204syl5req 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 = (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)))
2064, 201, 205, 197, 2dprdsplit 18923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))))
2071simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵)
208206, 207eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = 𝐵)
209199, 208eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
210133, 209jca 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
211210adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
2124, 92fssresd 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
213212fdmd 6355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
214213adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
21592sselda 3860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝑞𝐴)
216215, 37syldan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
217216adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
218 fvres 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞𝐷 → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
219218adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
220219fveq2d 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (♯‘(𝑇𝑞)))
221215, 33syldan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
222220, 221eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
223222adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
224 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
225 fzfid 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1...(♯‘𝐵)) ∈ Fin)
226 prmnn 15877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
2272263ad2ant2 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ∈ ℕ)
228 prmz 15878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
229 dvdsle 15523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵)))
230228, 45, 229syl2anr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ) → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵)))
2312303impia 1097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))
23245nnzd 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
2332323ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
234 fznn 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))))
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))))
236227, 231, 235mpbir2and 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)))
237236rabssdv 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
238128, 237syl5eqss 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
239225, 238ssfid 8538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
240239adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ∈ Fin)
2416, 7, 125, 126, 127, 130, 128, 131, 211, 214, 217, 223, 224, 240ablfac1eulem 18947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
242241ralrimiva 3132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
243242adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
244124, 243, 34rspcdva 3541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
245 coprm 15914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
24634, 116, 245syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
247244, 246mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
248 rpexp1i 15924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
24936, 116, 47, 248syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
250247, 249mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
251 coprmdvds2 15857 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵)))
25273, 116, 52, 250, 251syl31anc 1353 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵)))
25389, 105, 252mp2and 686 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵))
254 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
255 inss1 4094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
25795, 98, 256dprdres 18903 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
258257simpld 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))
259 dprdsubg 18899 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
261 inass 4085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})))
262 disjdif 4305 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
263262ineq2i 4075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞}))) = (𝐷 ∩ ∅)
264 in0 4233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ∅) = ∅
265261, 263, 2643eqtri 2806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
266265a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅)
26795, 98, 256, 99, 266, 106dprddisj2 18914 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = {(0g𝐺)})
26895, 98, 256, 99, 266, 254dprdcntz2 18913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
2696dprdssv 18891 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
270 ssfi 8535 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
27119, 269, 270sylancl 577 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
272197, 106, 254, 260, 103, 267, 268, 271, 112lsmhash 18592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
273 inundif 4311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})) = 𝐷
274273eqcomi 2787 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞}))
275274a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})))
27697, 266, 275, 197, 95dprdsplit 18923 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
277209adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
278276, 277eqtr3d 2816 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = 𝐵)
279278fveq2d 6505 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = (♯‘𝐵))
280 snssi 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐷 → {𝑞} ⊆ 𝐷)
281280adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → {𝑞} ⊆ 𝐷)
282 sseqin2 4081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑞} ⊆ 𝐷 ↔ (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
283281, 282sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
284283reseq2d 5696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞}))
285284oveq2d 6994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})))
28695adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
287213ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
288 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝑞𝐷)
289286, 287, 288dpjlem 18926 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})) = ((𝑇𝐷)‘𝑞))
290218adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
291285, 289, 2903eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
292 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝑞𝐷)
293 disjsn 4522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝐷)
294292, 293sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅)
295294reseq2d 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ ∅))
296 res0 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝐷) ↾ ∅) = ∅
297295, 296syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ∅)
298297oveq2d 6994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ∅))
299106dprd0 18906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
30040, 299syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
301300simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
302301adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
303298, 302, 1883eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
304303anassrs 460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ ¬ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
305291, 304pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
306305fveq2d 6505 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) = (♯‘(𝑇𝑞)))
307306oveq1d 6993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
308272, 279, 3073eqtr3d 2822 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
309253, 308breqtrd 4956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
310115nnne0d 11493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)
311 dvdsmulcr 15502 . . . . . . . 8 (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞))))
31273, 68, 116, 310, 311syl112anc 1354 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞))))
313309, 312mpbid 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
314 dvdseq 15527 . . . . . 6 ((((♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
31567, 87, 60, 313, 314syl22anc 826 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
3166, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1a 18944 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
317315, 316eqtr4d 2817 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)))
318 hashen 13525 . . . . 5 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑆𝑞) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
31928, 23, 318syl2anc 576 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
320317, 319mpbid 224 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞))
321 fisseneq 8526 . . 3 (((𝑆𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞) ∧ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
32223, 86, 320, 321syl3anc 1351 . 2 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
3235, 18, 322eqfnfvd 6632 1 (𝜑𝑇 = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  {crab 3092  Vcvv 3415  cdif 3828  cun 3829  cin 3830  wss 3831  c0 4180  {csn 4442   class class class wbr 4930  cmpt 5009  dom cdm 5408  cres 5410  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  cen 8305  Fincfn 8308  0cc0 10337  1c1 10338   · cmul 10342  cle 10477  cn 11441  0cn0 11710  cz 11796  cuz 12061  ...cfz 12711  cexp 13247  chash 13508  cdvds 15470   gcd cgcd 15706  cprime 15874   pCnt cpc 16032  Basecbs 16342  0gc0g 16572  Grpcgrp 17894  SubGrpcsubg 18060  Cntzccntz 18219  odcod 18417  LSSumclsm 18523  Abelcabl 18670   DProd cdprd 18868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-disj 4899  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-tpos 7697  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-omul 7912  df-er 8091  df-ec 8093  df-qs 8097  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-dju 9126  df-card 9164  df-acn 9167  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248  df-fac 13452  df-bc 13481  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-sum 14907  df-dvds 15471  df-gcd 15707  df-prm 15875  df-pc 16033  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-eqg 18065  df-ghm 18130  df-gim 18173  df-ga 18194  df-cntz 18221  df-oppg 18248  df-od 18421  df-lsm 18525  df-pj1 18526  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-dprd 18870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator