Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eu 19192
 Description: The factorization of ablfac1b 19189 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu (𝜑𝑇 = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
21simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
3 ablfac1eu.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
42, 3dprdf2 19126 . . 3 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
54ffnd 6492 . 2 (𝜑𝑇 Fn 𝐴)
6 ablfac1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
8 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
9 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 ablfac1.f . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 ablfac1.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
126, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1b 19189 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
136fvexi 6663 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1413rabex 5202 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
1514, 8dmmpti 6468 . . . . 5 dom 𝑆 = 𝐴
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
1712, 16dprdf2 19126 . . 3 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
1817ffnd 6492 . 2 (𝜑𝑆 Fn 𝐴)
1910adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2017ffvelrnda 6832 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
216subgss 18276 . . . . 5 ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2319, 22ssfid 8729 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ Fin)
244ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
256subgss 18276 . . . . . 6 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2724adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2819, 26ssfid 8729 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
2928adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
30 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑞))
317odsubdvds 18692 . . . . . . 7 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
3227, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
33 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
3411sselda 3918 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
35 prmz 16013 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℤ)
37 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
39 ablgrp 18907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
416grpbn0 18128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
43 hashnncl 13727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4542, 44mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4734, 46pccld 16181 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
4847nn0zd 12077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
496lagsubg 18338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (♯‘𝐵))
5024, 19, 49syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (♯‘𝐵))
5133, 50eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
5246nnzd 12078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
53 pcdvdsb 16199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)))
5434, 52, 37, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)))
5551, 54mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))
56 eluz2 12241 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
5738, 48, 55, 56syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶))
58 dvdsexp 15673 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
5936, 37, 57, 58syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
6033, 59eqbrtrd 5055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
6160adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
6226sselda 3918 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥𝐵)
636, 7odcl 18660 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
6564nn0zd 12077 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
66 hashcl 13717 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑞) ∈ Fin → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
6728, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
6867nn0zd 12077 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
6968adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
70 prmnn 16012 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
7134, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℕ)
7271, 47nnexpcld 13606 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
7372nnzd 12078 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
7473adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
75 dvdstr 15642 . . . . . . 7 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)) ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))))
7665, 69, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (((𝑂𝑥) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)) ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))))
7732, 61, 76mp2and 698 . . . . 5 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
7826, 77ssrabdv 4004 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
79 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞𝑝 = 𝑞)
80 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))
8179, 80oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
8281breq2d 5045 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))))
8382rabbidv 3430 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8483, 8, 14fvmpt3i 6754 . . . . 5 (𝑞𝐴 → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8584adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
8678, 85sseqtrrd 3959 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞))
8772nnnn0d 11947 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ0)
88 pcdvds 16194 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
8934, 46, 88syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
902adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑇)
913adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑇 = 𝐴)
92 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷𝐴)
9392adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷𝐴)
9490, 91, 93dprdres 19147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
9594simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
964adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
9796, 93fssresd 6523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
9897fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
99 difssd 4063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∖ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
10095, 98, 99dprdres 19147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
101100simpld 498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
102 dprdsubg 19143 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1046lagsubg 18338 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵))
105103, 19, 104syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵))
106 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
107106subg0cl 18283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
108103, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
109108ne0d 4254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅)
1106dprdssv 19135 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
111 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
11219, 110, 111sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
113 hashnncl 13727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
115109, 114mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ)
116115nnzd 12078 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ)
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞𝑥 = 𝑞)
118 sneq 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑞 → {𝑥} = {𝑞})
119118difeq2d 4053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑞 → (𝐷 ∖ {𝑥}) = (𝐷 ∖ {𝑞}))
120119reseq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})) = ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
121120oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑞 → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
122121fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞 → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) = (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
123117, 122breq12d 5046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
124123notbid 321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑞 → (¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
125 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
1269adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
12710adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ Fin)
128 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
129128ssrab3 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 ⊆ ℙ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ⊆ ℙ)
131 ssidd 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷𝐷)
1322, 3, 92dprdres 19147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
133132simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
134 dprdsubg 19143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
136 difssd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴)
1372, 3, 136dprdres 19147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
138137simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))
139 dprdsubg 19143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
141 difss 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴
142 fssres 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴) → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
1434, 141, 142sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
144143fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) = (𝐴𝐷))
145 fvres 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
146145adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
147 eldif 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷))
14828adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
149106subg0cl 18283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
15024, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
151150snssd 4705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑞𝐴) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
152151adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
153 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0g𝐺) ∈ V
154 hashsng 13730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
155153, 154ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
15633adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
15734adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
158 iddvdsexp 15629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
15936, 158sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
16051adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
16133, 68eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∈ ℤ)
162 dvdstr 15642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞𝐶) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
16336, 161, 52, 162syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
164163adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
165159, 160, 164mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵))
166 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
167166, 128elrab2 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
168157, 165, 167sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞𝐷)
169168ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ∈ ℕ → 𝑞𝐷))
170169con3d 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞𝐷 → ¬ 𝐶 ∈ ℕ))
171170impr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝐶 ∈ ℕ)
17237adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
173 elnn0 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐶 ∈ ℕ0 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
174172, 173sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
175174ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (¬ 𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 = 0))
176171, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 = 0)
177176oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞𝐶) = (𝑞↑0))
17871adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ)
179178nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℂ)
180179exp0d 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞↑0) = 1)
181156, 177, 1803eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = 1)
182155, 181eqtr4id 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)))
183 snfi 8581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(0g𝐺)} ∈ Fin
184 hashen 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({(0g𝐺)} ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin) → ((♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
185183, 148, 184sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
186182, 185mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞))
187 fisseneq 8717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞) ∧ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
188148, 152, 186, 187syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
189106subg0cl 18283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
190135, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
191190adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
192191snssd 4705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
193188, 192eqsstrrd 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
194147, 193sylan2b 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
195146, 194eqsstrd 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
196138, 144, 135, 195dprdlub 19145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
197 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
198197lsmss2 18789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))) → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
199135, 140, 196, 198syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
200 disjdif 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅)
202 undif2 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐴)
203 ssequn1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐷𝐴 ↔ (𝐷𝐴) = 𝐴)
20492, 203sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐷𝐴) = 𝐴)
205202, 204syl5req 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 = (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)))
2064, 201, 205, 197, 2dprdsplit 19167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))))
2071simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵)
208206, 207eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = 𝐵)
209199, 208eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
210133, 209jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
211210adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
2124, 92fssresd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
213212fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
214213adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
21592sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝑞𝐴)
216215, 37syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
217216adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
218 fvres 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞𝐷 → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
219218adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
220219fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (♯‘(𝑇𝑞)))
221215, 33syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
222220, 221eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
223222adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → (♯‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
224 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
225 fzfid 13340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1...(♯‘𝐵)) ∈ Fin)
226 prmnn 16012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
2272263ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ∈ ℕ)
228 prmz 16013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
229 dvdsle 15656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵)))
230228, 45, 229syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ) → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵)))
2312303impia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))
23245nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
2332323ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
234 fznn 12974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))))
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))))
236227, 231, 235mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)))
237236rabssdv 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
238128, 237eqsstrid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
239225, 238ssfid 8729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
240239adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ∈ Fin)
2416, 7, 125, 126, 127, 130, 128, 131, 211, 214, 217, 223, 224, 240ablfac1eulem 19191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
242241ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
243242adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
244124, 243, 34rspcdva 3576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
245 coprm 16049 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
24634, 116, 245syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
247244, 246mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
248 rpexp1i 16059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
24936, 116, 47, 248syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
250247, 249mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
251 coprmdvds2 15992 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵)))
25273, 116, 52, 250, 251syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵)))
25389, 105, 252mp2and 698 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵))
254 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
255 inss1 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
25795, 98, 256dprdres 19147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
258257simpld 498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))
259 dprdsubg 19143 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
260258, 259syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
261 inass 4149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})))
262 disjdif 4382 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
263262ineq2i 4139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞}))) = (𝐷 ∩ ∅)
264 in0 4302 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ∅) = ∅
265261, 263, 2643eqtri 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
266265a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅)
26795, 98, 256, 99, 266, 106dprddisj2 19158 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = {(0g𝐺)})
26895, 98, 256, 99, 266, 254dprdcntz2 19157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
2696dprdssv 19135 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
270 ssfi 8726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
27119, 269, 270sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
272197, 106, 254, 260, 103, 267, 268, 271, 112lsmhash 18827 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
273 inundif 4388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})) = 𝐷
274273eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞}))
275274a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})))
27697, 266, 275, 197, 95dprdsplit 19167 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
277209adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
278276, 277eqtr3d 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = 𝐵)
279278fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = (♯‘𝐵))
280 snssi 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐷 → {𝑞} ⊆ 𝐷)
281280adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → {𝑞} ⊆ 𝐷)
282 sseqin2 4145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑞} ⊆ 𝐷 ↔ (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
283281, 282sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
284283reseq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞}))
285284oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})))
28695adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
287213ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
288 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝑞𝐷)
289286, 287, 288dpjlem 19170 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})) = ((𝑇𝐷)‘𝑞))
290218adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
291285, 289, 2903eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
292 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝑞𝐷)
293 disjsn 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝐷)
294292, 293sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅)
295294reseq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ ∅))
296 res0 5826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝐷) ↾ ∅) = ∅
297295, 296eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ∅)
298297oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ∅))
299106dprd0 19150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
30040, 299syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
301300simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
302301adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
303298, 302, 1883eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
304303anassrs 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ ¬ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
305291, 304pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
306305fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) = (♯‘(𝑇𝑞)))
307306oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
308272, 279, 3073eqtr3d 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
309253, 308breqtrd 5059 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
310115nnne0d 11679 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)
311 dvdsmulcr 15635 . . . . . . . 8 (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞))))
31273, 68, 116, 310, 311syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞))))
313309, 312mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))
314 dvdseq 15660 . . . . . 6 ((((♯‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇𝑞)))) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
31567, 87, 60, 313, 314syl22anc 837 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
3166, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1a 19188 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
317315, 316eqtr4d 2839 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)))
318 hashen 13707 . . . . 5 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑆𝑞) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
31928, 23, 318syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → ((♯‘(𝑇𝑞)) = (♯‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
320317, 319mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞))
321 fisseneq 8717 . . 3 (((𝑆𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞) ∧ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
32223, 86, 320, 321syl3anc 1368 . 2 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
3235, 18, 322eqfnfvd 6786 1 (𝜑𝑇 = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  {crab 3113  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {csn 4528   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ≈ cen 8493  Fincfn 8496  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   ≤ cle 10669  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12889  ↑cexp 13429  ♯chash 13690   ∥ cdvds 15603   gcd cgcd 15837  ℙcprime 16009   pCnt cpc 16167  Basecbs 16479  0gc0g 16709  Grpcgrp 18099  SubGrpcsubg 18269  Cntzccntz 18441  odcod 18648  LSSumclsm 18755  Abelcabl 18903   DProd cdprd 19112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-eqg 18274  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-ga 18416  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-od 18652  df-lsm 18757  df-pj1 18758  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-dprd 19114 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator