Theorem ablfac1eu 20034

Description: The factorization of ablfac1b 20031 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
ablfac1eu.1	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))

Assertion

Ref	Expression
ablfac1eu	⊢ (𝜑 → 𝑇 = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac1eu.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
2	1	simpld 493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑇)
3		ablfac1eu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
4	2, 3	dprdf2 19968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
5	4	ffnd 6722	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 Fn 𝐴)
6		ablfac1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ablfac1.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		ablfac1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
9		ablfac1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10		ablfac1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11		ablfac1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	ablfac1b 20031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
13	6	fvexi 6908	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13	rabex 5334	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
15	14, 8	dmmpti 6698	. . . . 5 ⊢ dom 𝑆 = 𝐴
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
17	12, 16	dprdf2 19968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
18	17	ffnd 6722	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn 𝐴)
19	10	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
20	17	ffvelcdmda 7091	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	6	subgss 19086	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑞) ⊆ 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑞) ⊆ 𝐵)
23	19, 22	ssfid 9290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑞) ∈ Fin)
24	4	ffvelcdmda 7091	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	6	subgss 19086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇‘𝑞) ⊆ 𝐵)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑞) ⊆ 𝐵)
27	26	sselda 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	6, 7	odcl 19495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12614	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (𝑂‘𝑥) ∈ ℤ)
31	19, 26	ssfid 9290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑞) ∈ Fin)
32		hashcl 14347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑞) ∈ Fin → (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∈ ℕ0)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 12614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∈ ℤ)
35	34	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∈ ℤ)
36	11	sselda 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
37		prmnn 16644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ ℕ)
39		ablgrp 19744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
40	9, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
41	6	grpbn0 18927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
43		hashnncl 14357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
44	10, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
45	42, 44	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
46	45	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
47	36, 46	pccld 16818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
48	38, 47	nnexpcld 14239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
49	48	nnzd 12615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
50	49	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ)
51	24	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (𝑇‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
52	31	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (𝑇‘𝑞) ∈ Fin)
53		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞))
54	7	odsubdvds 19530	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇‘𝑞) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (𝑂‘𝑥) ∥ (♯‘(𝑇‘𝑞)))
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (𝑂‘𝑥) ∥ (♯‘(𝑇‘𝑞)))
56		ablfac1eu.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
57		prmz 16645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
58	36, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ ℤ)
59		ablfac1eu.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
60	59	nn0zd 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
61	47	nn0zd 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
62	6	lagsubg 19154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∥ (♯‘𝐵))
63	24, 19, 62	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∥ (♯‘𝐵))
64	56, 63	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞↑𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
65	46	nnzd 12615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
66		pcdvdsb 16837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ↔ (𝑞↑𝐶) ∥ (♯‘𝐵)))
67	36, 65, 59, 66	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ↔ (𝑞↑𝐶) ∥ (♯‘𝐵)))
68	64, 67	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))
69		eluz2 12858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
70	60, 61, 68, 69	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
71		dvdsexp 16304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (𝑞↑𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
72	58, 59, 70, 71	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞↑𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
73	56, 72	eqbrtrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
74	73	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
75	30, 35, 50, 55, 74	dvdstrd 16271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇‘𝑞)) → (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
76	26, 75	ssrabdv 4068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
77		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 𝑞)
78		oveq1 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))
79	77, 78	oveq12d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
80	79	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))))
81	80	rabbidv 3427	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
82	81, 8, 14	fvmpt3i 7007	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → (𝑆‘𝑞) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
83	82	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑞) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵)))})
84	76, 83	sseqtrrd 4019	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑞) ⊆ (𝑆‘𝑞))
85	48	nnnn0d 12562	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ0)
86		pcdvds 16832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
87	36, 46, 86	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
88	2	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑇)
89	3	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → dom 𝑇 = 𝐴)
90		ablfac1.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
91	90	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ 𝐴)
92	88, 89, 91	dprdres 19989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
93	92	simpld 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ 𝐷))
94	4	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
95	94, 91	fssresd 6762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑇 ↾ 𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
96	95	fdmd 6731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → dom (𝑇 ↾ 𝐷) = 𝐷)
97		difssd 4130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐷 ∖ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
98	93, 96, 97	dprdres 19989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷))))
99	98	simpld 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
100		dprdsubg 19985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
102	6	lagsubg 19154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵))
103	101, 19, 102	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵))
104		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
105	104	subg0cl 19093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
106	101, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (0g‘𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
107	106	ne0d 4336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅)
108	6	dprdssv 19977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
109		ssfi 9196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
110	19, 108, 109	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
111		hashnncl 14357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
113	107, 112	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ)
114	113	nnzd 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ)
115		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → 𝑥 = 𝑞)
116		sneq 4639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → {𝑥} = {𝑞})
117	116	difeq2d 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐷 ∖ {𝑥}) = (𝐷 ∖ {𝑞}))
118	117	reseq2d 5984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})) = ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
119	118	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
120	119	fveq2d 6898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) = (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
121	115, 120	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
122	121	notbid 317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
123		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐷 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑝 ∈ 𝐷 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
124	9	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
125	10	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ Fin)
126		ablfac1c.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
127	126	ssrab3 4077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 ⊆ ℙ
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ⊆ ℙ)
129		ssidd 4001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ⊆ 𝐷)
130	2, 3, 90	dprdres 19989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
131	130	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ 𝐷))
132		dprdsubg 19985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
134		difssd 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐷) ⊆ 𝐴)
135	2, 3, 134	dprdres 19989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
136	135	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)))
137		dprdsubg 19985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
139		difss 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐷) ⊆ 𝐴
140		fssres 6761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∖ 𝐷) ⊆ 𝐴) → (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)):(𝐴 ∖ 𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
141	4, 139, 140	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)):(𝐴 ∖ 𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
142	141	fdmd 6731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → dom (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)) = (𝐴 ∖ 𝐷))
143		fvres 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) → ((𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))‘𝑞) = (𝑇‘𝑞))
144	143	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))‘𝑞) = (𝑇‘𝑞))
145		eldif 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷))
146	31	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝑇‘𝑞) ∈ Fin)
147	104	subg0cl 19093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑇‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑇‘𝑞))
148	24, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (0g‘𝐺) ∈ (𝑇‘𝑞))
149	148	snssd 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → {(0g‘𝐺)} ⊆ (𝑇‘𝑞))
150	149	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → {(0g‘𝐺)} ⊆ (𝑇‘𝑞))
151		fvex 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
152		hashsng 14360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
153	151, 152	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
154	56	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
155	36	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
156		iddvdsexp 16256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞↑𝐶))
157	58, 156	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞↑𝐶))
158	64	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑞↑𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
159	56, 34	eqeltrrd 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞↑𝐶) ∈ ℤ)
160		dvdstr 16270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞↑𝐶) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑞 ∥ (𝑞↑𝐶) ∧ (𝑞↑𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
161	58, 159, 65, 160	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∥ (𝑞↑𝐶) ∧ (𝑞↑𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
162	161	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑞 ∥ (𝑞↑𝐶) ∧ (𝑞↑𝐶) ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
163	157, 158, 162	mp2and 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (♯‘𝐵))
164		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
165	164, 126	elrab2 3683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
166	155, 163, 165	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ 𝐷)
167	166	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ 𝐷))
168	167	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐶 ∈ ℕ))
169	168	impr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → ¬ 𝐶 ∈ ℕ)
170	59	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
171		elnn0 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
172	170, 171	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
173	172	ord 862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (¬ 𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 = 0))
174	169, 173	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → 𝐶 = 0)
175	174	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝑞↑𝐶) = (𝑞↑0))
176	38	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ)
177	176	nncnd 12258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → 𝑞 ∈ ℂ)
178	177	exp0d 14136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝑞↑0) = 1)
179	154, 175, 178	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = 1)
180	153, 179	eqtr4id 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘(𝑇‘𝑞)))
181		snfi 9067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {(0g‘𝐺)} ∈ Fin
182		hashen 14338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ Fin ∧ (𝑇‘𝑞) ∈ Fin) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘(𝑇‘𝑞)) ↔ {(0g‘𝐺)} ≈ (𝑇‘𝑞)))
183	181, 146, 182	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘(𝑇‘𝑞)) ↔ {(0g‘𝐺)} ≈ (𝑇‘𝑞)))
184	180, 183	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → {(0g‘𝐺)} ≈ (𝑇‘𝑞))
185		fisseneq 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑇‘𝑞) ∈ Fin ∧ {(0g‘𝐺)} ⊆ (𝑇‘𝑞) ∧ {(0g‘𝐺)} ≈ (𝑇‘𝑞)) → {(0g‘𝐺)} = (𝑇‘𝑞))
186	146, 150, 184, 185	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → {(0g‘𝐺)} = (𝑇‘𝑞))
187	104	subg0cl 19093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
188	133, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
189	188	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (0g‘𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
190	189	snssd 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → {(0g‘𝐺)} ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
191	186, 190	eqsstrrd 4017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝑇‘𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
192	145, 191	sylan2b 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → (𝑇‘𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
193	144, 192	eqsstrd 4016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (𝐴 ∖ 𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))‘𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
194	136, 142, 133, 193	dprdlub 19987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
195		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
196	195	lsmss2 19626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷))) → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
197	133, 138, 194, 196	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)))
198		disjdif 4472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷 ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅
199	198	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ (𝐴 ∖ 𝐷)) = ∅)
200		undif2 4477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷 ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)) = (𝐷 ∪ 𝐴)
201		ssequn1 4179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐷 ∪ 𝐴) = 𝐴)
202	90, 201	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ 𝐴) = 𝐴)
203	200, 202	eqtr2id 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐷 ∪ (𝐴 ∖ 𝐷)))
204	4, 199, 203, 195, 2	dprdsplit 20009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)))))
205	1	simprd 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵)
206	204, 205	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ 𝐷)))) = 𝐵)
207	197, 206	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) = 𝐵)
208	131, 207	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) = 𝐵))
209	208	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) = 𝐵))
210	4, 90	fssresd 6762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾ 𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
211	210	fdmd 6731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (𝑇 ↾ 𝐷) = 𝐷)
212	211	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → dom (𝑇 ↾ 𝐷) = 𝐷)
213	90	sselda 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → 𝑞 ∈ 𝐴)
214	213, 59	syldan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
215	214	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
216		fvres 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐷 → ((𝑇 ↾ 𝐷)‘𝑞) = (𝑇‘𝑞))
217	216	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → ((𝑇 ↾ 𝐷)‘𝑞) = (𝑇‘𝑞))
218	217	fveq2d 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑇 ↾ 𝐷)‘𝑞)) = (♯‘(𝑇‘𝑞)))
219	213, 56	syldan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
220	218, 219	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑇 ↾ 𝐷)‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
221	220	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑇 ↾ 𝐷)‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
222		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
223		fzfid 13970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘𝐵)) ∈ Fin)
224		prmnn 16644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
225	224	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ∈ ℕ)
226		prmz 16645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
227		dvdsle 16286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵)))
228	226, 45, 227	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℙ) → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵)))
229	228	3impia 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))
230	45	nnzd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
231	230	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
232		fznn 13601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))))
233	231, 232	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (♯‘𝐵))))
234	225, 229, 233	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑤 ∈ (1...(♯‘𝐵)))
235	234	rabssdv 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)} ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
236	126, 235	eqsstrid 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (1...(♯‘𝐵)))
237	223, 236	ssfid 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
238	237	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ∈ Fin)
239	6, 7, 123, 124, 125, 128, 126, 129, 209, 212, 215, 221, 222, 238	ablfac1eulem 20033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
240	239	ralrimiva 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
241	240	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
242	122, 241, 36	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
243		coprm 16681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
244	36, 114, 243	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
245	242, 244	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
246		rpexp1i 16694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
247	58, 114, 47, 246	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞 gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
248	245, 247	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
249		coprmdvds2 16624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) gcd (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵)))
250	49, 114, 65, 248, 249	syl31anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (♯‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵)))
251	87, 103, 250	mp2and 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (♯‘𝐵))
252		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
253		inss1 4228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷
254	253	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
255	93, 96, 254	dprdres 19989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷))))
256	255	simpld 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))
257		dprdsubg 19985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
258	256, 257	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
259		inass 4219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})))
260		disjdif 4472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
261	260	ineq2i 4208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞}))) = (𝐷 ∩ ∅)
262		in0 4392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∩ ∅) = ∅
263	259, 261, 262	3eqtri 2757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
264	263	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅)
265	93, 96, 254, 97, 264, 104	dprddisj2 20000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = {(0g‘𝐺)})
266	93, 96, 254, 97, 264, 252	dprdcntz2 19999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
267	6	dprdssv 19977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
268		ssfi 9196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
269	19, 267, 268	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
270	195, 104, 252, 258, 101, 265, 266, 269, 110	lsmhash 19664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
271		inundif 4479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})) = 𝐷
272	271	eqcomi 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞}))
273	272	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})))
274	95, 264, 273, 195, 93	dprdsplit 20009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) = ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
275	207	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ 𝐷)) = 𝐵)
276	274, 275	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = 𝐵)
277	276	fveq2d 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = (♯‘𝐵))
278		snssi 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐷 → {𝑞} ⊆ 𝐷)
279	278	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → {𝑞} ⊆ 𝐷)
280		sseqin2 4214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝑞} ⊆ 𝐷 ↔ (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
281	279, 280	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
282	281	reseq2d 5984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ {𝑞}))
283	282	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ {𝑞})))
284	93	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ 𝐷))
285	211	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → dom (𝑇 ↾ 𝐷) = 𝐷)
286		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → 𝑞 ∈ 𝐷)
287	284, 285, 286	dpjlem 20012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ {𝑞})) = ((𝑇 ↾ 𝐷)‘𝑞))
288	216	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → ((𝑇 ↾ 𝐷)‘𝑞) = (𝑇‘𝑞))
289	283, 287, 288	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇‘𝑞))
290		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)
291		disjsn 4716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)
292	290, 291	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅)
293	292	reseq2d 5984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ ∅))
294		res0 5988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ ∅) = ∅
295	293, 294	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ∅)
296	295	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ∅))
297	104	dprd0 19992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g‘𝐺)}))
298	40, 297	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g‘𝐺)}))
299	298	simprd 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g‘𝐺)})
300	299	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g‘𝐺)})
301	296, 300, 186	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇‘𝑞))
302	301	anassrs 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇‘𝑞))
303	289, 302	pm2.61dan 811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇‘𝑞))
304	303	fveq2d 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) = (♯‘(𝑇‘𝑞)))
305	304	oveq1d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((♯‘(𝑇‘𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
306	270, 277, 305	3eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = ((♯‘(𝑇‘𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
307	251, 306	breqtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇‘𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
308	113	nnne0d 12292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)
309		dvdsmulcr 16262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑇‘𝑞)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇‘𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇‘𝑞))))
310	49, 34, 114, 308, 309	syl112anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((♯‘(𝑇‘𝑞)) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ 𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇‘𝑞))))
311	307, 310	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇‘𝑞)))
312		dvdseq 16290	. . . . . 6 ⊢ ((((♯‘(𝑇‘𝑞)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘(𝑇‘𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝑇‘𝑞)))) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
313	33, 85, 73, 311, 312	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
314	6, 7, 8, 9, 10, 11	ablfac1a 20030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
315	313, 314	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (♯‘(𝑆‘𝑞)))
316		hashen 14338	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑆‘𝑞) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑇‘𝑞)) = (♯‘(𝑆‘𝑞)) ↔ (𝑇‘𝑞) ≈ (𝑆‘𝑞)))
317	31, 23, 316	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((♯‘(𝑇‘𝑞)) = (♯‘(𝑆‘𝑞)) ↔ (𝑇‘𝑞) ≈ (𝑆‘𝑞)))
318	315, 317	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑞) ≈ (𝑆‘𝑞))
319		fisseneq 9280	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑇‘𝑞) ⊆ (𝑆‘𝑞) ∧ (𝑇‘𝑞) ≈ (𝑆‘𝑞)) → (𝑇‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))
320	23, 84, 318, 319	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))
321	5, 18, 320	eqfnfvd 7040	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   ∖ cdif 3942   ∪ cun 3943   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ∅c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5677   ↾ cres 5679  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417   ≈ cen 8959  Fincfn 8962  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143   ≤ cle 11279  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13516  ↑cexp 14058  ♯chash 14321   ∥ cdvds 16230   gcd cgcd 16468  ℙcprime 16641   pCnt cpc 16804  Basecbs 17179  0_gc0g 17420  Grpcgrp 18894  SubGrpcsubg 19079  Cntzccntz 19270  odcod 19483  LSSumclsm 19593  Abelcabl 19740   DProd cdprd 19954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-pc 16805  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-ga 19245  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-od 19487  df-lsm 19595  df-pj1 19596  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-dprd 19956

This theorem is referenced by: (None)