Theorem umgrres1lem 29345

Description: Lemma for umgrres1 29349. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
umgrres1lem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑝)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 6104	. 2 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
2		upgrres1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
5		umgruhgr 29139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		upgrres1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
9		edguhgr 29164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
10		elpwi 4629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
11		upgrres1.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	10, 11	sseqtrrdi 4060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
14	5, 8, 13	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
15	14	ad4ant13 750	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑁 ∉ 𝑒)
17		elpwdifsn 4814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
18	4, 15, 16, 17	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
20	19	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
21		rabss 4095	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
22	20, 21	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
23	2, 22	eqsstrid 4057	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
24		elrabi 3703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ 𝐸)
25	24, 6	eleqtrdi 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺))
26		edgumgr 29170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 2))
27	26	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑝) = 2)
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
30	25, 29	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
31	30, 2	eleq2s 2862	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐹 → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
32	31	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐹) → (♯‘𝑝) = 2)
33	23, 32	ssrabdv 4097	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
34	1, 33	eqsstrid 4057	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3052  ∀wral 3067  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   I cid 5592  ran crn 5701   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  2c2 12348  ♯chash 14379  Vtxcvtx 29031  Edgcedg 29082  UHGraphcuhgr 29091  UMGraphcumgr 29116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-edg 29083  df-uhgr 29093  df-upgr 29117  df-umgr 29118

This theorem is referenced by:  umgrres1  29349  usgrres1  29350