MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrres1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrres1lem 27019
Description: Lemma for umgrres1 27023. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrres1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
umgrres1lem ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑝)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1lem
StepHypRef Expression
1 rnresi 5936 . 2 ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
2 upgrres1.f . . . 4 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
3 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑁𝑒) → 𝑒𝐸)
5 umgruhgr 26816 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6 upgrres1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edg‘𝐺)
76eleq2i 2901 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
87biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
9 edguhgr 26841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
10 elpwi 4547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
11 upgrres1.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1210, 11sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒𝑉)
139, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒𝑉)
145, 8, 13syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝑉)
1514ad4ant13 747 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑁𝑒) → 𝑒𝑉)
16 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑁𝑒) → 𝑁𝑒)
17 elpwdifsn 4713 . . . . . . . 8 ((𝑒𝐸𝑒𝑉𝑁𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
184, 15, 16, 17syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑁𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
1918ex 413 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑁𝑒𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
2019ralrimiva 3179 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑒𝐸 (𝑁𝑒𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
21 rabss 4045 . . . . 5 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ ∀𝑒𝐸 (𝑁𝑒𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
2220, 21sylibr 235 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
232, 22eqsstrid 4012 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
24 elrabi 3672 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑒𝐸𝑁𝑒} → 𝑝𝐸)
2524, 6eleqtrdi 2920 . . . . . 6 (𝑝 ∈ {𝑒𝐸𝑁𝑒} → 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺))
26 edgumgr 26847 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 2))
2726simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑝) = 2)
2827ex 413 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
2928adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
3025, 29syl5com 31 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑒𝐸𝑁𝑒} → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
3130, 2eleq2s 2928 . . . 4 (𝑝𝐹 → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
3231impcom 408 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑝𝐹) → (♯‘𝑝) = 2)
3323, 32ssrabdv 4047 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
341, 33eqsstrid 4012 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wnel 3120  wral 3135  {crab 3139  cdif 3930  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   I cid 5452  ran crn 5549  cres 5550  cfv 6348  2c2 11680  chash 13678  Vtxcvtx 26708  Edgcedg 26759  UHGraphcuhgr 26768  UMGraphcumgr 26793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-edg 26760  df-uhgr 26770  df-upgr 26794  df-umgr 26795
This theorem is referenced by:  umgrres1  27023  usgrres1  27024
  Copyright terms: Public domain W3C validator