Theorem umgrres1lem 29328

Description: Lemma for umgrres1 29332. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
umgrres1lem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑝)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 6092	. 2 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
2		upgrres1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
5		umgruhgr 29122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		upgrres1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
9		edguhgr 29147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
10		elpwi 4606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
11		upgrres1.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	10, 11	sseqtrrdi 4024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
14	5, 8, 13	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
15	14	ad4ant13 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑁 ∉ 𝑒)
17		elpwdifsn 4788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
18	4, 15, 16, 17	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
20	19	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
21		rabss 4071	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
22	20, 21	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
23	2, 22	eqsstrid 4021	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
24		elrabi 3686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ 𝐸)
25	24, 6	eleqtrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺))
26		edgumgr 29153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 2))
27	26	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑝) = 2)
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
30	25, 29	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
31	30, 2	eleq2s 2858	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐹 → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
32	31	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐹) → (♯‘𝑝) = 2)
33	23, 32	ssrabdv 4073	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
34	1, 33	eqsstrid 4021	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3045  ∀wral 3060  {crab 3435   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   I cid 5576  ran crn 5685   ↾ cres 5686  ‘cfv 6560  2c2 12322  ♯chash 14370  Vtxcvtx 29014  Edgcedg 29065  UHGraphcuhgr 29074  UMGraphcumgr 29099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371  df-edg 29066  df-uhgr 29076  df-upgr 29100  df-umgr 29101

This theorem is referenced by:  umgrres1  29332  usgrres1  29333