Theorem umgrres1lem 29660

Description: Lemma for umgrres1 29664. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
umgrres1lem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑝)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 6077	. 2 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
2		upgrres1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
3		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
4	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
5		umgruhgr 29454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		upgrres1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
9		edguhgr 29479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
10		elpwi 4569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
11		upgrres1.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	10, 11	sseqtrrdi 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
13	9, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
14	5, 8, 13	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
15	14	ad4ant13 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
16		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑁 ∉ 𝑒)
17		elpwdifsn 4757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
18	4, 15, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	18	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
20	19	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
21		rabss 4024	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
22	20, 21	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
23	2, 22	eqsstrid 3975	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
24		elrabi 3646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ 𝐸)
25	24, 6	eleqtrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺))
26		edgumgr 29485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 2))
27	26	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑝) = 2)
28	27	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
29	28	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
30	25, 29	syl5com 32	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
31	30, 2	eleq2s 2881	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐹 → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
32	31	impcom 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐹) → (♯‘𝑝) = 2)
33	23, 32	ssrabdv 4027	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
34	1, 33	eqsstrid 3975	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  {crab 3416   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  {csn 4589   I cid 5555  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  2c2 12290  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29346  Edgcedg 29397  UHGraphcuhgr 29406  UMGraphcumgr 29431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-edg 29398  df-uhgr 29408  df-upgr 29432  df-umgr 29433

This theorem is referenced by:  umgrres1  29664  usgrres1  29665