MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrres1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrres1lem 29328
Description: Lemma for umgrres1 29332. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrres1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
umgrres1lem ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑝)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1lem
StepHypRef Expression
1 rnresi 6092 . 2 ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
2 upgrres1.f . . . 4 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑁𝑒) → 𝑒𝐸)
5 umgruhgr 29122 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6 upgrres1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edg‘𝐺)
76eleq2i 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
87biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
9 edguhgr 29147 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
10 elpwi 4606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
11 upgrres1.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1210, 11sseqtrrdi 4024 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒𝑉)
139, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒𝑉)
145, 8, 13syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝑉)
1514ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑁𝑒) → 𝑒𝑉)
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑁𝑒) → 𝑁𝑒)
17 elpwdifsn 4788 . . . . . . . 8 ((𝑒𝐸𝑒𝑉𝑁𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
184, 15, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) ∧ 𝑁𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
1918ex 412 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑁𝑒𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
2019ralrimiva 3145 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑒𝐸 (𝑁𝑒𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
21 rabss 4071 . . . . 5 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ ∀𝑒𝐸 (𝑁𝑒𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
2220, 21sylibr 234 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
232, 22eqsstrid 4021 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
24 elrabi 3686 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑒𝐸𝑁𝑒} → 𝑝𝐸)
2524, 6eleqtrdi 2850 . . . . . 6 (𝑝 ∈ {𝑒𝐸𝑁𝑒} → 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺))
26 edgumgr 29153 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 2))
2726simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑝) = 2)
2827ex 412 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
3025, 29syl5com 31 . . . . 5 (𝑝 ∈ {𝑒𝐸𝑁𝑒} → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
3130, 2eleq2s 2858 . . . 4 (𝑝𝐹 → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
3231impcom 407 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑝𝐹) → (♯‘𝑝) = 2)
3323, 32ssrabdv 4073 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
341, 33eqsstrid 4021 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wnel 3045  wral 3060  {crab 3435  cdif 3947  wss 3950  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   I cid 5576  ran crn 5685  cres 5686  cfv 6560  2c2 12322  chash 14370  Vtxcvtx 29014  Edgcedg 29065  UHGraphcuhgr 29074  UMGraphcumgr 29099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371  df-edg 29066  df-uhgr 29076  df-upgr 29100  df-umgr 29101
This theorem is referenced by:  umgrres1  29332  usgrres1  29333
  Copyright terms: Public domain W3C validator