Theorem umgrres1lem 29379

Description: Lemma for umgrres1 29383. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
umgrres1lem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑝)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 6040	. 2 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
2		upgrres1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
5		umgruhgr 29173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		upgrres1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
9		edguhgr 29198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
10		elpwi 4548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
11		upgrres1.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	10, 11	sseqtrrdi 3963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
14	5, 8, 13	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
15	14	ad4ant13 752	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑁 ∉ 𝑒)
17		elpwdifsn 4734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
18	4, 15, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
20	19	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
21		rabss 4010	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
22	20, 21	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
23	2, 22	eqsstrid 3960	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
24		elrabi 3630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ 𝐸)
25	24, 6	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺))
26		edgumgr 29204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 2))
27	26	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑝) = 2)
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
30	25, 29	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
31	30, 2	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐹 → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
32	31	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐹) → (♯‘𝑝) = 2)
33	23, 32	ssrabdv 4013	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
34	1, 33	eqsstrid 3960	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  {crab 3389   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  {csn 4567   I cid 5525  ran crn 5632   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  2c2 12236  ♯chash 14292  Vtxcvtx 29065  Edgcedg 29116  UHGraphcuhgr 29125  UMGraphcumgr 29150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-edg 29117  df-uhgr 29127  df-upgr 29151  df-umgr 29152

This theorem is referenced by:  umgrres1  29383  usgrres1  29384