Theorem umgrres1lem 29383

Description: Lemma for umgrres1 29387. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgrres1.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
umgrres1lem	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑝)   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem umgrres1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 6034	. 2 ⊢ ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
2		upgrres1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐸)
5		umgruhgr 29177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		upgrres1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐸 → 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
9		edguhgr 29202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
10		elpwi 4561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
11		upgrres1.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	10, 11	sseqtrrdi 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
14	5, 8, 13	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
15	14	ad4ant13 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ⊆ 𝑉)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑁 ∉ 𝑒)
17		elpwdifsn 4745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
18	4, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑁 ∉ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
20	19	ralrimiva 3128	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
21		rabss 4022	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑁 ∉ 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁})))
22	20, 21	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
23	2, 22	eqsstrid 3972	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
24		elrabi 3642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ 𝐸)
25	24, 6	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺))
26		edgumgr 29208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 2))
27	26	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑝 ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘𝑝) = 2)
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝑝) = 2))
30	25, 29	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
31	30, 2	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐹 → ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑝) = 2))
32	31	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ 𝐹) → (♯‘𝑝) = 2)
33	23, 32	ssrabdv 4025	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝐹 ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
34	1, 33	eqsstrid 3972	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  {crab 3399   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   I cid 5518  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  2c2 12200  ♯chash 14253  Vtxcvtx 29069  Edgcedg 29120  UHGraphcuhgr 29129  UMGraphcumgr 29154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-edg 29121  df-uhgr 29131  df-upgr 29155  df-umgr 29156

This theorem is referenced by:  umgrres1  29387  usgrres1  29388