MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolicc2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolicc2lem4 25423
Description: Lemma for ovolicc2 25425. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.) (Revised by AV, 17-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ovolicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ovolicc2.4 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
ovolicc2.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
ovolicc2.6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
ovolicc2.7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
ovolicc2.8 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ˆβŸΆβ„•)
ovolicc2.9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
ovolicc2.10 𝑇 = {𝑒 ∈ π‘ˆ ∣ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…}
ovolicc2.11 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‡βŸΆπ‘‡)
ovolicc2.12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (π»β€˜π‘‘))
ovolicc2.13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐢)
ovolicc2.14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
ovolicc2.15 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝐢}))
ovolicc2.16 π‘Š = {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘›)}
ovolicc2.17 𝑀 = inf(π‘Š, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑛,𝑒,𝐴   𝐡,𝑛,𝑑,𝑒   𝑑,𝐻   𝐢,𝑛,𝑑   𝑛,𝐹,𝑑   𝑛,𝐾,𝑑,𝑒   𝑛,𝐺,𝑑   𝑛,𝑀,𝑑   𝑛,π‘Š   πœ‘,𝑛,𝑑   𝑇,𝑛,𝑑   π‘ˆ,𝑛,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝐢(𝑒)   𝑆(𝑒,𝑑,𝑛)   𝑇(𝑒)   𝐹(𝑒)   𝐺(𝑒)   𝐻(𝑒,𝑛)   𝑀(𝑒)   π‘Š(𝑒,𝑑)

Proof of Theorem ovolicc2lem4
Dummy variables π‘š π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arch 12485 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„• π‘₯ < 𝑧)
21ad2antlr 726 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„• π‘₯ < 𝑧)
3 df-ima 5685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) = ran ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))
4 ovolicc2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ˆβŸΆβ„•)
5 nnuz 12881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
6 ovolicc2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝐢}))
7 1zzd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
8 ovolicc2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
9 ovolicc2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‡βŸΆπ‘‡)
105, 6, 7, 8, 9algrf 16529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆπ‘‡)
11 ovolicc2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑇 = {𝑒 ∈ π‘ˆ ∣ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…}
1211ssrab3 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑇 βŠ† π‘ˆ
13 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾:β„•βŸΆπ‘‡ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐾:β„•βŸΆπ‘ˆ)
1410, 12, 13sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆπ‘ˆ)
15 fco 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:π‘ˆβŸΆβ„• ∧ 𝐾:β„•βŸΆπ‘ˆ) β†’ (𝐺 ∘ 𝐾):β„•βŸΆβ„•)
164, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝐾):β„•βŸΆβ„•)
17 fz1ssnn 13550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑀) βŠ† β„•
18 fssres 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∘ 𝐾):β„•βŸΆβ„• ∧ (1...𝑀) βŠ† β„•) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)βŸΆβ„•)
1916, 17, 18sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)βŸΆβ„•)
2019frnd 6724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ran ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)) βŠ† β„•)
213, 20eqsstrid 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) βŠ† β„•)
22 nnssre 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• βŠ† ℝ
2321, 22sstrdi 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) βŠ† ℝ)
2423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) βŠ† ℝ)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)))
2624, 25sseldd 3979 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
27 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
28 nnre 12235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ β„• β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
30 lelttr 11320 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑧) β†’ 𝑦 < 𝑧))
3126, 27, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ ((𝑦 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑧) β†’ 𝑦 < 𝑧))
3231ancomsd 465 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ ((π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 < 𝑧))
3332expdimp 452 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) ∧ π‘₯ < 𝑧) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝑦 < 𝑧))
3433an32s 651 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < 𝑧) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ 𝑦 < 𝑧))
3534ralimdva 3162 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < 𝑧) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧))
3635impancom 451 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ < 𝑧 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧))
3736an32s 651 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ < 𝑧 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧))
3837reximdva 3163 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ β„• π‘₯ < 𝑧 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧))
392, 38mpd 15 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)
40 fzfid 13956 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
41 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘–) = ((𝐺 ∘ 𝐾)β€˜π‘–))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘–) = ((𝐺 ∘ 𝐾)β€˜π‘–))
43 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
44 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾:β„•βŸΆπ‘‡ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾)β€˜π‘–) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))
4510, 43, 44syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾)β€˜π‘–) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))
4642, 45eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘–) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))
4746adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘–) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))
48 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘—) = ((𝐺 ∘ 𝐾)β€˜π‘—))
4948ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘—) = ((𝐺 ∘ 𝐾)β€˜π‘—))
50 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
52 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾:β„•βŸΆπ‘‡ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—)))
5310, 51, 52syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—)))
5449, 53eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘—) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—)))
5547, 54eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ ((((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘–) = (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘—) ↔ (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—))))
56 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—)) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—)))))
5717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) βŠ† β„•)
58 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5958ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6059nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
61 ovolicc2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 π‘Š = {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘›)}
6261ssrab3 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π‘Š βŠ† β„•
6362, 22sstri 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π‘Š βŠ† ℝ
64 ovolicc2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑀 = inf(π‘Š, ℝ, < )
6562, 5sseqtri 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 π‘Š βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
66 nnnfi 13949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Β¬ β„• ∈ Fin
67 ovolicc2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
6867elin2d 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
69 ssfi 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘ˆ ∈ Fin ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 ∈ Fin)
7068, 12, 69sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) β†’ 𝑇 ∈ Fin)
7210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) β†’ 𝐾:β„•βŸΆπ‘‡)
73 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πΎβ€˜π‘–) = (πΎβ€˜π‘—) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—))))
7473fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πΎβ€˜π‘–) = (πΎβ€˜π‘—) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—)))))
75 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ πœ‘)
76 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
77 ral0 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 βˆ€π‘š ∈ βˆ… 𝑛 ≀ π‘š
78 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ π‘Š = βˆ…)
7978raleqdv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… 𝑛 ≀ π‘š))
8077, 79mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š)
8180ralrimivw 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š)
82 rabid2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (β„• = {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š} ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š)
8381, 82sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ β„• = {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š})
8476, 83eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑖 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š})
85 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
8685, 83eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑗 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š})
87 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
88 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
89 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
90 ovolicc2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
91 ovolicc2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
92 ovolicc2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
93 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
94 ovolicc2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (π»β€˜π‘‘))
95 ovolicc2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐢)
9687, 88, 89, 90, 91, 67, 92, 4, 93, 11, 9, 94, 95, 8, 6, 61ovolicc2lem3 25422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š} ∧ 𝑗 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š})) β†’ (𝑖 = 𝑗 ↔ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—))))))
9775, 84, 86, 96syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 = 𝑗 ↔ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—))))))
9874, 97imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((πΎβ€˜π‘–) = (πΎβ€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
9998ralrimivva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ β„• ((πΎβ€˜π‘–) = (πΎβ€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
100 dff13 7259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐾:ℕ–1-1→𝑇 ↔ (𝐾:β„•βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ β„• ((πΎβ€˜π‘–) = (πΎβ€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
10172, 99, 100sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) β†’ 𝐾:ℕ–1-1→𝑇)
102 f1domg 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑇 ∈ Fin β†’ (𝐾:ℕ–1-1→𝑇 β†’ β„• β‰Ό 𝑇))
10371, 101, 102sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) β†’ β„• β‰Ό 𝑇)
104 domfi 9206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑇 ∈ Fin ∧ β„• β‰Ό 𝑇) β†’ β„• ∈ Fin)
10570, 103, 104syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘Š = βˆ…) β†’ β„• ∈ Fin)
106105ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (π‘Š = βˆ… β†’ β„• ∈ Fin))
107106necon3bd 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (Β¬ β„• ∈ Fin β†’ π‘Š β‰  βˆ…))
10866, 107mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
109 infssuzcl 12932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Š βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ inf(π‘Š, ℝ, < ) ∈ π‘Š)
11065, 108, 109sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ inf(π‘Š, ℝ, < ) ∈ π‘Š)
11164, 110eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
11263, 111sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
113112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
11463sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ π‘Š β†’ π‘š ∈ ℝ)
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ π‘š ∈ ℝ)
116 elfzle2 13523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑛 ≀ 𝑀)
117116ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ≀ 𝑀)
118 infssuzle 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Š βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ inf(π‘Š, ℝ, < ) ≀ π‘š)
11965, 118mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ π‘Š β†’ inf(π‘Š, ℝ, < ) ≀ π‘š)
12064, 119eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ π‘Š β†’ 𝑀 ≀ π‘š)
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑀 ≀ π‘š)
12260, 113, 115, 117, 121letrd 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ π‘Š) β†’ 𝑛 ≀ π‘š)
123122ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š)
12457, 123ssrabdv 4067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) βŠ† {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š})
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ (1...𝑀) βŠ† {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š})
126 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
127125, 126sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑖 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š})
128 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
129125, 128sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑗 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š})
130127, 129jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ (𝑖 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š} ∧ 𝑗 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ βˆ€π‘š ∈ π‘Š 𝑛 ≀ π‘š}))
131130, 96syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ (𝑖 = 𝑗 ↔ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—))))))
13256, 131imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ ((πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘—)) β†’ 𝑖 = 𝑗))
13355, 132sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀))) β†’ ((((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘–) = (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
134133ralrimivva 3195 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘–) = (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗))
135 dff13 7259 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1β†’β„• ↔ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘–) = (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))β€˜π‘—) β†’ 𝑖 = 𝑗)))
13619, 134, 135sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1β†’β„•)
137 f1f1orn 6844 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1β†’β„• β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’ran ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)))
138136, 137syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’ran ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)))
139 f1oeq3 6823 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) = ran ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’ran ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀))))
1403, 139ax-mp 5 . . . . . . 7 (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’ran ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)))
141138, 140sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)))
142 f1ofo 6840 . . . . . 6 (((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–1-1-ontoβ†’((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–ontoβ†’((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)))
143141, 142syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–ontoβ†’((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)))
144 fofi 9352 . . . . 5 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ((𝐺 ∘ 𝐾) β†Ύ (1...𝑀)):(1...𝑀)–ontoβ†’((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) ∈ Fin)
14540, 143, 144syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) ∈ Fin)
146 fimaxre2 12175 . . . 4 ((((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) βŠ† ℝ ∧ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ≀ π‘₯)
14723, 145, 146syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ≀ π‘₯)
14839, 147r19.29a 3157 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)
14988, 87resubcld 11658 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
150149rexrd 11280 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*)
151150adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*)
152 fzfid 13956 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1...𝑧) ∈ Fin)
153 elfznn 13548 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑧) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
154 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)
155154ovolfsf 25374 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
15691, 155syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
157156ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞))
158153, 157sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑧)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞))
159 elrege0 13449 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—)))
160158, 159sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑧)) β†’ ((((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—)))
161160simpld 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑧)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
162152, 161fsumrecl 15698 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑧)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
163162adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑧)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
164163rexrd 11280 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑧)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ*)
165154, 90ovolsf 25375 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
16691, 165syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
167166frnd 6724 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (0[,)+∞))
168 rge0ssre 13451 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
169167, 168sstrdi 3990 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ)
170 ressxr 11274 . . . . . 6 ℝ βŠ† ℝ*
171169, 170sstrdi 3990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ*)
172 supxrcl 13312 . . . . 5 (ran 𝑆 βŠ† ℝ* β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
173171, 172syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
174173adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
175149adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
17621sselda 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
177168, 157sselid 3976 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
178176, 177syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
179145, 178fsumrecl 15698 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
180179adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ Σ𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
181 inss2 4225 . . . . . . . . . . 11 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
182 fss 6733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
18391, 181, 182sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
18462, 111sselid 3976 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
18514, 184ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π‘€) ∈ π‘ˆ)
1864, 185ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)) ∈ β„•)
187183, 186ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€))) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
188 xp2nd 8018 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€))) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) ∈ ℝ)
189187, 188syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) ∈ ℝ)
19012, 8sselid 3976 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
1914, 190ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„•)
192183, 191ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
193 xp1st 8017 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ ℝ)
194192, 193syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ ℝ)
195189, 194resubcld 11658 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) ∈ ℝ)
196 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))
197177recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
198176, 197syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
199196, 40, 141, 46, 198fsumf1o 15687 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))
2004adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐺:π‘ˆβŸΆβ„•)
201 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾:β„•βŸΆπ‘ˆ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘–) ∈ π‘ˆ)
20214, 43, 201syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΎβ€˜π‘–) ∈ π‘ˆ)
203200, 202ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) ∈ β„•)
204154ovolfsval 25373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) ∈ β„•) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))))
20591, 203, 204syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))))
206205sumeq2dv 15667 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))))
207183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
2084adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐺:π‘ˆβŸΆβ„•)
20914ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘–) ∈ π‘ˆ)
210208, 209ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) ∈ β„•)
211207, 210ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
212 xp2nd 8018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
213211, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
21443, 213sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
215214recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ β„‚)
216183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
217216, 203ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
218 xp1st 8017 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
219217, 218syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
220219recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ β„‚)
22140, 215, 220fsumsub 15752 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))))
222 fzfid 13956 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
223 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
224223, 213sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
225222, 224fsumrecl 15698 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
226225recnd 11258 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ β„‚)
227189recnd 11258 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) ∈ β„‚)
22865, 111sselid 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
229 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑀 β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))
230229fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€))))
231230fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑀 β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))))
232228, 215, 231fsumm1 15715 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) + (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€))))))
233226, 227, 232comraddd 11444 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))))
234 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜1)))
235234fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜1))))
236235fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜1)))))
237228, 220, 236fsum1p 15717 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜1)))) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝑀)(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))))
2385, 6, 7, 8algr0 16528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜1) = 𝐢)
239238fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜1)) = (πΊβ€˜πΆ))
240239fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜1))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))
241240fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜1)))) = (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))
2427peano2zd 12685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1 + 1) ∈ β„€)
243184nnzd 12601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
244 1z 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ β„€
245 fzp1ss 13570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ β„€ β†’ ((1 + 1)...𝑀) βŠ† (1...𝑀))
246244, 245mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((1 + 1)...𝑀) βŠ† (1...𝑀))
247246sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
248247, 220syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝑀)) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ β„‚)
249 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 + 1) β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1))))
250249fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1)))))
251250fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1))))))
2527, 242, 243, 248, 251fsumshftm 15745 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝑀)(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = Σ𝑗 ∈ (((1 + 1) βˆ’ 1)...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1))))))
253 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ β„‚
254253, 253pncan3oi 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 + 1) βˆ’ 1) = 1
255254oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 1) βˆ’ 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) = (1...(𝑀 βˆ’ 1))
256255sumeq1i 15662 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑗 ∈ (((1 + 1) βˆ’ 1)...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1))))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1)))))
257 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΎβ€˜(𝑗 + 1)) = (πΎβ€˜(𝑖 + 1)))
258257fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1))) = (πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))
259258fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1)))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))
260259fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1))))) = (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))
261260cbvsumv 15660 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑗 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))
262256, 261eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗 ∈ (((1 + 1) βˆ’ 1)...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑗 + 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))
263252, 262eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝑀)(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))
264241, 263oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜1)))) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝑀)(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))) = ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))))
265237, 264eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) = ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))))
266233, 265oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))) = (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))) βˆ’ ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))))
267194recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) ∈ β„‚)
268 peano2nn 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ β„• β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„•)
269 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾:β„•βŸΆπ‘ˆ ∧ (𝑖 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ π‘ˆ)
27014, 268, 269syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ π‘ˆ)
271208, 270ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))) ∈ β„•)
272207, 271ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
273 xp1st 8017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) ∈ ℝ)
274272, 273syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) ∈ ℝ)
275223, 274sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) ∈ ℝ)
276222, 275fsumrecl 15698 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) ∈ ℝ)
277276recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) ∈ β„‚)
278227, 226, 267, 277addsub4d 11634 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))) βˆ’ ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))) = (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) + (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))))
279221, 266, 2783eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))) = (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) + (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))))
280199, 206, 2793eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) + (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))))
281280, 179eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) + (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))) ∈ ℝ)
282 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑀 β†’ (πΎβ€˜π‘›) = (πΎβ€˜π‘€))
283282eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑀 β†’ (𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘›) ↔ 𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘€)))
284283, 61elrab2 3683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ π‘Š ↔ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘€)))
285111, 284sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘€)))
286285simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘€))
28787, 88, 89, 90, 91, 67, 92, 4, 93ovolicc2lem1 25420 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜π‘€) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘€) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))))))
288185, 287mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (πΎβ€˜π‘€) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))))))
289286, 288mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) < 𝐡 ∧ 𝐡 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€))))))
290289simp3d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))))
29187, 88, 89, 90, 91, 67, 92, 4, 93ovolicc2lem1 25420 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ 𝐢 ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))))
292190, 291mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝐢 ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))))))
29395, 292mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))))
294293simp2d 1141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ))) < 𝐴)
29588, 194, 189, 87, 290, 294lt2subd 11854 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) < ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))))
296149, 195, 295ltled 11378 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))))
297223adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
298 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)))
299243adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
300 elfzm11 13590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ (𝑖 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀)))
301244, 299, 300sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) ↔ (𝑖 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀)))
302298, 301mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀))
303302simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 < 𝑀)
304297nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
305112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
306304, 305ltnled 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑖))
307303, 306mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑖)
308 infssuzle 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑖 ∈ π‘Š) β†’ inf(π‘Š, ℝ, < ) ≀ 𝑖)
30965, 308mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ π‘Š β†’ inf(π‘Š, ℝ, < ) ≀ 𝑖)
31064, 309eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ π‘Š β†’ 𝑀 ≀ 𝑖)
311307, 310nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑖 ∈ π‘Š)
312297, 311jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑖 ∈ π‘Š))
31387, 88, 89, 90, 91, 67, 92, 4, 93, 11, 9, 94, 95, 8, 6, 61ovolicc2lem2 25421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑖 ∈ π‘Š)) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ≀ 𝐡)
314312, 313syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ≀ 𝐡)
315314iftrued 4532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))), 𝐡) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))))
316 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = (πΎβ€˜π‘–) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))
317316fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (πΎβ€˜π‘–) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))))
318317breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (πΎβ€˜π‘–) β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡 ↔ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ≀ 𝐡))
319318, 317ifbieq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (πΎβ€˜π‘–) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) = if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))), 𝐡))
320 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (πΎβ€˜π‘–) β†’ (π»β€˜π‘‘) = (π»β€˜(πΎβ€˜π‘–)))
321319, 320eleq12d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (πΎβ€˜π‘–) β†’ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (π»β€˜π‘‘) ↔ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))), 𝐡) ∈ (π»β€˜(πΎβ€˜π‘–))))
32294ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (π»β€˜π‘‘))
323322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (π»β€˜π‘‘))
324 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾:β„•βŸΆπ‘‡ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘–) ∈ 𝑇)
32510, 223, 324syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (πΎβ€˜π‘–) ∈ 𝑇)
326321, 323, 325rspcdva 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))), 𝐡) ∈ (π»β€˜(πΎβ€˜π‘–)))
327315, 326eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ (π»β€˜(πΎβ€˜π‘–)))
3285, 6, 7, 8, 9algrp1 16530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)) = (π»β€˜(πΎβ€˜π‘–)))
329223, 328sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)) = (π»β€˜(πΎβ€˜π‘–)))
330327, 329eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)))
331223, 270sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ π‘ˆ)
33287, 88, 89, 90, 91, 67, 92, 4, 93ovolicc2lem1 25420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ π‘ˆ) β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))))
333331, 332syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ (πΎβ€˜(𝑖 + 1)) ↔ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))))
334330, 333mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))))
335334simp2d 1141 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))))
336275, 224, 335ltled 11378 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))))
337222, 275, 224, 336fsumle 15763 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))))
338225, 276subge0d 11820 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–))))))
339337, 338mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))))
340225, 276resubcld 11658 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))) ∈ ℝ)
341195, 340addge01d 11818 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))) ↔ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) ≀ (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) + (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1)))))))))
342339, 341mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) ≀ (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) + (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))))
343149, 195, 281, 296, 342letrd 11387 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘€)))) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜πΆ)))) + (Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜π‘–)))) βˆ’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜(πΎβ€˜(𝑖 + 1))))))))
344343, 280breqtrrd 5170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Σ𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
345344adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Σ𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
346 fzfid 13956 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ (1...𝑧) ∈ Fin)
347161adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑧)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
348160simprd 495 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑧)) β†’ 0 ≀ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
349348adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑧)) β†’ 0 ≀ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
35021adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) βŠ† β„•)
351350sselda 3978 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑦 ∈ β„•)
352351nnred 12243 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
35328ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
354 ltle 11318 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 < 𝑧 β†’ 𝑦 ≀ 𝑧))
355352, 353, 354syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ (𝑦 < 𝑧 β†’ 𝑦 ≀ 𝑧))
356351, 5eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
357 nnz 12595 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„• β†’ 𝑧 ∈ β„€)
358357ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
359 elfz5 13511 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑧) ↔ 𝑦 ≀ 𝑧))
360356, 358, 359syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ (𝑦 ∈ (1...𝑧) ↔ 𝑦 ≀ 𝑧))
361355, 360sylibrd 259 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))) β†’ (𝑦 < 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ (1...𝑧)))
362361ralimdva 3162 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ∈ (1...𝑧)))
363362impr 454 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ∈ (1...𝑧))
364 dfss3 3966 . . . . . 6 (((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) βŠ† (1...𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 ∈ (1...𝑧))
365363, 364sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀)) βŠ† (1...𝑧))
366346, 347, 349, 365fsumless 15760 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ Σ𝑗 ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑧)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
367175, 180, 163, 345, 366letrd 11387 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑧)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
368 eqidd 2728 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑧)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—))
369 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
370369, 5eleqtrdi 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
371347recnd 11258 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑧)) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
372368, 370, 371fsumser 15694 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑧)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))β€˜π‘§))
37390fveq1i 6892 . . . . 5 (π‘†β€˜π‘§) = (seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))β€˜π‘§)
374372, 373eqtr4di 2785 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑧)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) = (π‘†β€˜π‘§))
375166ffnd 6717 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 Fn β„•)
376 fnfvelrn 7084 . . . . . 6 ((𝑆 Fn β„• ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘§) ∈ ran 𝑆)
377375, 369, 376syl2an2r 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ (π‘†β€˜π‘§) ∈ ran 𝑆)
378 supxrub 13321 . . . . 5 ((ran 𝑆 βŠ† ℝ* ∧ (π‘†β€˜π‘§) ∈ ran 𝑆) β†’ (π‘†β€˜π‘§) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
379171, 377, 378syl2an2r 684 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ (π‘†β€˜π‘§) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
380374, 379eqbrtrd 5164 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑧)(((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)β€˜π‘—) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
381151, 164, 174, 367, 380xrletrd 13159 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐺 ∘ 𝐾) β€œ (1...𝑀))𝑦 < 𝑧)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
382148, 381rexlimddv 3156 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  π’« cpw 4598  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1st c1st 7983  2nd c2nd 7984   β‰Ό cdom 8951  Fincfn 8953  supcsup 9449  infcinf 9450  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  +∞cpnf 11261  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  (,)cioo 13342  [,)cico 13344  [,]cicc 13345  ...cfz 13502  seqcseq 13984  abscabs 15199  Ξ£csu 15650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651
This theorem is referenced by:  ovolicc2lem5  25424
  Copyright terms: Public domain W3C validator