Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdrvallem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdrvallem3 41355
Description: Lemma for mapdrval 41356. (Contributed by NM, 2-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrval.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdrval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrval.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrval.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrval.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrval.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapdrval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdrval.r (𝜑𝑅𝑇)
mapdrval.e (𝜑𝑅𝐶)
mapdrval.q 𝑄 = 𝑅 (𝑂‘(𝐿))
mapdrval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdrvallem2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdrvallem2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdrvallem2.z 0 = (0g𝑈)
mapdrvallem2.y 𝑌 = (0g𝐷)
Assertion
Ref Expression
mapdrvallem3 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} = 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑔,,𝐿   𝑔,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑅,𝑓,   𝑈,𝑔   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓   𝐶,   ,𝑁   𝑄,   𝑈,   ,𝑉   ,𝑌   0 ,   𝜑,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔,)   𝑄(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔,)   𝑇(𝑓,𝑔,)   𝑈(𝑓)   𝐹()   𝐻(𝑓,𝑔,)   𝐾(𝑔,)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔,)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑔,)   𝑌(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdrvallem3
StepHypRef Expression
1 mapdrval.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdrval.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdrval.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdrval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdrval.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
6 mapdrval.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 mapdrval.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 mapdrval.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9 mapdrval.t . . 3 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
10 mapdrval.c . . 3 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
11 mapdrval.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 mapdrval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑇)
13 mapdrval.e . . 3 (𝜑𝑅𝐶)
14 mapdrval.q . . 3 𝑄 = 𝑅 (𝑂‘(𝐿))
15 mapdrval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
16 mapdrvallem2.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
17 mapdrvallem2.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18 mapdrvallem2.z . . 3 0 = (0g𝑈)
19 mapdrvallem2.y . . 3 𝑌 = (0g𝐷)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19mapdrvallem2 41354 . 2 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)
21 2fveq3 6895 . . . . . 6 ( = 𝑓 → (𝑂‘(𝐿)) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
2221ssiun2s 5048 . . . . 5 (𝑓𝑅 → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑅 (𝑂‘(𝐿)))
2322adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑅) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑅 (𝑂‘(𝐿)))
2423, 14sseqtrrdi 4030 . . 3 ((𝜑𝑓𝑅) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄)
2513, 24ssrabdv 4067 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄})
2620, 25eqssd 3996 1 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  wss 3946   ciun 4993  cfv 6543  Basecbs 17205  0gc0g 17446  LSubSpclss 20901  LSpanclspn 20941  LSAtomsclsa 38682  LFnlclfn 38765  LKerclk 38793  LDualcld 38831  HLchlt 39058  LHypclh 39693  DVecHcdvh 40787  ocHcoch 41056  mapdcmpd 41333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38661
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-fz 13530  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-0g 17448  df-proset 18312  df-poset 18330  df-plt 18347  df-lub 18363  df-glb 18364  df-join 18365  df-meet 18366  df-p0 18442  df-p1 18443  df-lat 18449  df-clat 18516  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-lsm 19627  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20309  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-drng 20702  df-lmod 20831  df-lss 20902  df-lsp 20942  df-lvec 21074  df-lsatoms 38684  df-lshyp 38685  df-lfl 38766  df-lkr 38794  df-ldual 38832  df-oposet 38884  df-ol 38886  df-oml 38887  df-covers 38974  df-ats 38975  df-atl 39006  df-cvlat 39030  df-hlat 39059  df-llines 39207  df-lplanes 39208  df-lvols 39209  df-lines 39210  df-psubsp 39212  df-pmap 39213  df-padd 39505  df-lhyp 39697  df-laut 39698  df-ldil 39813  df-ltrn 39814  df-trl 39868  df-tgrp 40452  df-tendo 40464  df-edring 40466  df-dveca 40712  df-disoa 40738  df-dvech 40788  df-dib 40848  df-dic 40882  df-dih 40938  df-doch 41057  df-djh 41104
This theorem is referenced by:  mapdrval  41356
  Copyright terms: Public domain W3C validator