MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelth2 24948
Description: Abel's theorem, restricted to the [0, 1] interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth2.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth2.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth2.3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
Assertion
Ref Expression
abelth2 (𝜑𝐹 ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem abelth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitssre 12878 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 10586 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3979 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
5 1re 10633 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
6 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
7 elicc01 12847 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
86, 7sylib 219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
98simp1d 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
10 resubcl 10942 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
115, 9, 10sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
1211leidd 11198 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ≤ (1 − 𝑧))
13 1red 10634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
148simp3d 1138 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ≤ 1)
159, 13, 14abssubge0d 14784 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) = (1 − 𝑧))
168simp2d 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑧)
179, 16absidd 14775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑧) = 𝑧)
1817oveq2d 7167 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − (abs‘𝑧)) = (1 − 𝑧))
1918oveq2d 7167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − (abs‘𝑧))) = (1 · (1 − 𝑧)))
2011recnd 10661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
2120mulid2d 10651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − 𝑧)) = (1 − 𝑧))
2219, 21eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − (abs‘𝑧))) = (1 − 𝑧))
2312, 15, 223brtr4d 5094 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧))))
244, 23ssrabdv 4053 . . . 4 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))})
2524resmptd 5906 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
26 abelth2.3 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
2725, 26syl6eqr 2878 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ↾ (0[,]1)) = 𝐹)
28 abelth2.1 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
29 abelth2.2 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
30 1red 10634 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 0le1 11155 . . . . 5 0 ≤ 1
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 1)
33 eqid 2825 . . . 4 {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}
34 eqid 2825 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
3528, 29, 30, 32, 33, 34abelth 24947 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}–cn→ℂ))
36 rescncf 23423 . . 3 ((0[,]1) ⊆ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
3724, 35, 36sylc 65 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
3827, 37eqeltrrd 2918 1 (𝜑𝐹 ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3146  wss 3939   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  cres 5555  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cle 10668  cmin 10862  0cn0 11889  [,]cicc 12734  seqcseq 13362  cexp 13422  abscabs 14586  cli 14834  Σcsu 15035  cnccncf 23402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-starv 16573  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-unif 16581  df-hom 16582  df-cco 16583  df-rest 16689  df-topn 16690  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-topgen 16710  df-pt 16711  df-prds 16714  df-xrs 16768  df-qtop 16773  df-imas 16774  df-xps 16776  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17948  df-mulg 18158  df-cntz 18380  df-cmn 18831  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-t1 21841  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-cncf 23404  df-ulm 24883
This theorem is referenced by:  leibpi  25437
  Copyright terms: Public domain W3C validator