Theorem abelth2 26802

Description: Abel's theorem, restricted to the [0, 1] interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth2.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth2.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelth2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem abelth2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitssre 13660	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11287	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3922	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
5		1re 11338	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		elicc01 13627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 1))
7	6	bilani 510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 1))
8	7	simp1d 1160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9		resubcl 11652	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
10	5, 8, 9	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
11	10	leidd 11912	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ≤ (1 − 𝑧))
12		1red 11339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
13	7	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ≤ 1)
14	8, 12, 13	abssubge0d 15633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) = (1 − 𝑧))
15	7	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑧)
16	8, 15	absidd 15622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑧) = 𝑧)
17	16	oveq2d 7462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − (abs‘𝑧)) = (1 − 𝑧))
18	17	oveq2d 7462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − (abs‘𝑧))) = (1 · (1 − 𝑧)))
19	10	recnd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − 𝑧)) = (1 − 𝑧))
21	18, 20	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − (abs‘𝑧))) = (1 − 𝑧))
22	11, 14, 21	3brtr4d 5141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧))))
23	4, 22	ssrabdv 4001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))})
24	23	resmptd 6045	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
25		abelth2.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
26	24, 25	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ↾ (0[,]1)) = 𝐹)
27		abelth2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
28		abelth2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
29		1red 11339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
30		0le1 11869	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
32		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}
33		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
34	27, 28, 29, 31, 32, 33	abelth 26801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ∈ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}–cn→ℂ))
35		rescncf 25251	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ⊆ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ∈ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
36	23, 34, 35	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37	26, 36	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5656   ↾ cres 5658  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   ≤ cle 11374   − cmin 11571  ℕ₀cn0 12636  [,]cicc 13509  seqcseq 14174  ↑cexp 14234  abscabs 15433   ⇝ cli 15683  Σcsu 15885  –cn→ccncf 25230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-t1 23665  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-ulm 26737

This theorem is used by:  leibpi  27303