Theorem abelth2 26432

Description: Abel's theorem, restricted to the [0, 1] interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth2.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth2.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelth2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem abelth2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitssre 13450	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11093	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3931	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
5		1re 11142	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		elicc01 13417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 1))
7	6	bilani 505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 1))
8	7	simp1d 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
9		resubcl 11456	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
10	5, 8, 9	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
11	10	leidd 11714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ≤ (1 − 𝑧))
12		1red 11143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
13	7	simp3d 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ≤ 1)
14	8, 12, 13	abssubge0d 15394	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) = (1 − 𝑧))
15	7	simp2d 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑧)
16	8, 15	absidd 15383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑧) = 𝑧)
17	16	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − (abs‘𝑧)) = (1 − 𝑧))
18	17	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − (abs‘𝑧))) = (1 · (1 − 𝑧)))
19	10	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
20	19	mullidd 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − 𝑧)) = (1 − 𝑧))
21	18, 20	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − (abs‘𝑧))) = (1 − 𝑧))
22	11, 14, 21	3brtr4d 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧))))
23	4, 22	ssrabdv 4011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))})
24	23	resmptd 5999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
25		abelth2.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
26	24, 25	eqtr4di 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ↾ (0[,]1)) = 𝐹)
27		abelth2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
28		abelth2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
29		1red 11143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
30		0le1 11671	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
32		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}
33		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
34	27, 28, 29, 31, 32, 33	abelth 26431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ∈ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}–cn→ℂ))
35		rescncf 24889	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ⊆ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ∈ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
36	23, 34, 35	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37	26, 36	eqeltrrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕ₀cn0 12435  [,]cicc 13299  seqcseq 13961  ↑cexp 14021  abscabs 15194   ⇝ cli 15444  Σcsu 15646  –cn→ccncf 24868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-t1 23304  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-ulm 26367

This theorem is referenced by:  leibpi  26931