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Theorem perfectlem2 27117

Description: Lemma for perfect 27118. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by Wolf Lammen, 17-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
perfectlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
perfectlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
perfectlem.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
perfectlem.4	⊢ (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
perfectlem2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))

Proof of Theorem perfectlem2 Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perfectlem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
2		1red 11151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3		perfectlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4		perfectlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
5		perfectlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
6	3, 1, 4, 5	perfectlem1 27116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
7	6	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
8	7	nnred 12177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
9	1	nnred 12177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7	nnge1d 12210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
11		2cn 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		exp1 14008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑1) = 2
14		df-2 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	13, 14	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑1) = (1 + 1)
16		2re 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18		1zzd 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
19	3	peano2nnd 12179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
21		1lt2 12328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
23		1re 11150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	3	nnrpd 12969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
25		ltaddrp 12966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ⁺) → 1 < (1 + 𝐴))
26	23, 24, 25	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
27		ax-1cn 11102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	3	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
29		addcom 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
30	27, 28, 29	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
31	26, 30	breqtrd 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐴 + 1))
32		ltexp2a 14107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 1 < (𝐴 + 1))) → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
33	17, 18, 20, 22, 31, 32	syl32anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
34	15, 33	eqbrtrrid 5138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)))
35	6	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
36	35	nnred 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
37	2, 2, 36	ltaddsubd 11754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
39		0lt1 11676	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
41		peano2rem 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
42	36, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
43		expgt1 14041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
44	16, 19, 22, 43	mp3an2i 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
45		posdif 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
46	23, 36, 45	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
47	44, 46	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
48	1	nngt0d 12211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
49		ltdiv2 12045	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
50	2, 40, 42, 47, 9, 48, 49	syl222anc 1388	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
51	38, 50	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1))
52	1	nncnd 12178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
53	52	div1d 11926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 1) = 𝐵)
54	51, 53	breqtrd 5128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < 𝐵)
55	2, 8, 9, 10, 54	lelttrd 11308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
56		eluz2b2 12856	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
57	1, 55, 56	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2))
58		fzfid 13914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
59		dvdsssfz1 16264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
60	1, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
61	58, 60	ssfid 9188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
62	61	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
63		ssrab2 4039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ ℕ)
65	64	sselda 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
66	65	nnred 12177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
67	65	nnnn0d 12479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
68	67	nn0ge0d 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
69		df-tp 4590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛})
70	7, 1	prssd 4782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
71	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
72		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℕ)
73	72	snssd 4769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑛} ⊆ ℕ)
74	71, 73	unssd 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}) ⊆ ℕ)
75	69, 74	eqsstrid 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ ℕ)
76	6	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
77	76	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
78	7	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ)
79		dvdsmul2 16224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
80	77, 78, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
81	76	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
82	76	nnne0d 12212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ≠ 0)
83	52, 81, 82	divcan2d 11936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = 𝐵)
84	80, 83	breqtrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵)
85		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝑥 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵))
86	84, 85	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥 ∥ 𝐵))
87	86	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥 ∥ 𝐵))
88	1	nnzd 12532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
89		iddvds 16215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∥ 𝐵)
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐵)
91		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
92	90, 91	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∥ 𝐵))
93	92	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∥ 𝐵))
94		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∥ 𝐵)
95		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∥ 𝐵 ↔ 𝑛 ∥ 𝐵))
96	94, 95	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝑛 → 𝑥 ∥ 𝐵))
97	87, 93, 96	3jaod 1431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 𝑛) → 𝑥 ∥ 𝐵))
98		eltpi 4648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 𝑛))
99	97, 98	impel 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑥 ∥ 𝐵)
100	75, 99	ssrabdv 4033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵})
101	62, 66, 68, 100	fsumless 15738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
103		disjsn 4671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
104	102, 103	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅)
105	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}))
106		tpfi 9252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin)
108	75	sselda 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℕ)
109	108	nncnd 12178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℂ)
110	104, 105, 107, 109	fsumsplit 15683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘))
111	7	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
112		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
113	112	sumsn 15688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
114	7, 111, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
115		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝑘 = 𝐵)
116	115	sumsn 15688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
117	1, 52, 116	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
118	114, 117	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
119		incom 4168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵})
120	8, 54	gtned 11285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
121		disjsn2 4672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
123	119, 122	eqtr3id 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵}) = ∅)
124		df-pr 4588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵})
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵}))
126		prfi 9250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin)
128	70	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
129	128	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
130	123, 125, 127, 129	fsumsplit 15683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘))
131	81, 52	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) ∈ ℂ)
132	52, 131, 81, 82	divdird 11972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
133	35	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
134		1cnd 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
135	133, 134, 52	subdird 11611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
136	52	mullidd 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
137	136	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
138	135, 137	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
139	138	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)))
140	133, 52	mulcld 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∈ ℂ)
141	52, 140	pncan3d 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
142	139, 141	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
143	142	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
144	133, 52, 81, 82	divassd 11969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
145	143, 144	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
146	52, 81, 82	divcan3d 11939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 𝐵)
147	146	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
148	132, 145, 147	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
149	118, 130, 148	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
150	149	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
151	72	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℂ)
152		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑘 = 𝑛)
153	152	sumsn 15688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
154	151, 151, 153	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
155	150, 154	oveq12d 7387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
156	110, 155	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
157	3	nnnn0d 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
158		expp1 14009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
159	11, 157, 158	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
160		2nn 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ
161		nnexpcl 14015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
162	160, 157, 161	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
163	162	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
164		mulcom 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
165	163, 11, 164	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
166	159, 165	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
167	166	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
168		2cnd 12240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
169	168, 163, 52	mulassd 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
170		2prm 16638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℙ
171		coprm 16657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
172	170, 88, 171	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
173	4, 172	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
174		2z 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
175		rpexp1i 16669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
176	174, 88, 157, 175	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
177	173, 176	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
178		sgmmul 27088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
179	134, 162, 1, 177, 178	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
180		pncan 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
181	28, 27, 180	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
182	181	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
183	182	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
184		1sgm2ppw 27087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
185	19, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
186	183, 185	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
187	186	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
188	179, 5, 187	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
189	167, 169, 188	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
190	189	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
191		1nn0 12434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
192		sgmnncl 27033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
193	191, 1, 192	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
194	193	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℂ)
195	194, 81, 82	divcan3d 11939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (1 σ 𝐵))
196	190, 144, 195	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = (1 σ 𝐵))
197		sgmval 27028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} (𝑘↑_𝑐1))
198	27, 1, 197	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} (𝑘↑_𝑐1))
199		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵})
200	63, 199	sselid 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
201	200	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
202	201	cxp1d 26591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑_𝑐1) = 𝑘)
203	202	sumeq2dv 15644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} (𝑘↑_𝑐1) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘)
204	196, 198, 203	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
205	204	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
206	101, 156, 205	3brtr3d 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
207	36, 8	remulcld 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
208	207	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
209	72	nnrpd 12969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
210	208, 209	ltaddrpd 13004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
211	72	nnred 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ)
212	208, 211	readdcld 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ∈ ℝ)
213	208, 212	ltnled 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
214	210, 213	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
215	206, 214	condan 817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) → 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
216		elpri 4609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
217	215, 216	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
218	217	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
219	218	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
220	2, 55	gtned 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)
221	220	necomd 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
222		1dvds 16216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝐵)
223	88, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∥ 𝐵)
224		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
225		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ↔ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
226		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 = 𝐵 ↔ 1 = 𝐵))
227	225, 226	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵)))
228	224, 227	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
229		1nn 12173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
231	228, 219, 230	rspcdva 3586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵)))
232	223, 231	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))
233	232	ord 864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 = 𝐵))
234	233	necon1ad 2942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ≠ 𝐵 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
235	221, 234	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
236	235	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
237	236	orbi1d 916	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
238	237	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
239	238	ralbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
240	219, 239	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)))
241		isprm2 16628	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵))))
242	57, 240, 241	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℙ)
243	207	ltp1d 12089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
244		peano2re 11323	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
245	207, 244	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
246	207, 245	ltnled 11297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
247	243, 246	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
248	200	nnred 12177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
249	200	nnnn0d 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
250	249	nn0ge0d 12482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
251		df-tp 4590	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1})
252		snssi 4768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
253	229, 252	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {1} ⊆ ℕ)
254	70, 253	unssd 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}) ⊆ ℕ)
255	251, 254	eqsstrid 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
256		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∥ 𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
257	223, 256	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 1 → 𝑥 ∥ 𝐵))
258	86, 92, 257	3jaod 1431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 1) → 𝑥 ∥ 𝐵))
259		eltpi 4648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 1))
260	258, 259	impel 505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑥 ∥ 𝐵)
261	255, 260	ssrabdv 4033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵})
262	61, 248, 250, 261	fsumless 15738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘)
263	262	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘)
264	52, 81, 82	diveq1ad 11943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 ↔ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
265	264	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1 ↔ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
266	265	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1)
267	266	necomd 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
268	221	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ 𝐵)
269	267, 268	nelprd 4617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
270		disjsn 4671	. . . . . . . . 9 ⊢ (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
271	269, 270	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅)
272	251	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}))
273		tpfi 9252	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin
274	273	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin)
275	255	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
276	275	sselda 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℕ)
277	276	nncnd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℂ)
278	271, 272, 274, 277	fsumsplit 15683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘))
279		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
280	279	sumsn 15688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
281	2, 27, 280	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
282	149, 281	oveq12d 7387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
283	282	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
284	278, 283	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
285	204	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
286	263, 284, 285	3brtr3d 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
287	286	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
288	287	necon1bd 2943	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) → 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
289	247, 288	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
290	242, 289	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∨ w3o 1085 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 {crab 3402 ∪ cun 3909 ∩ cin 3910 ⊆ wss 3911 ∅c0 4292 {csn 4585 {cpr 4587 {ctp 4589 class class class wbr 5102 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 Fincfn 8895 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 + caddc 11047 · cmul 11049 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 / cdiv 11811 ℕcn 12162 2c2 12217 ℕ₀cn0 12418 ℤcz 12505 ℤ_≥cuz 12769 ℝ⁺crp 12927 ...cfz 13444 ↑cexp 14002 Σcsu 15628 ∥ cdvds 16198 gcd cgcd 16440 ℙcprime 16617 ↑_𝑐ccxp 26440 σ csgm 26982

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-inf2 9570 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122 ax-addf 11123

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-of 7633 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-supp 8117 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-er 8648 df-map 8778 df-pm 8779 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9289 df-fi 9338 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-z 12506 df-dec 12626 df-uz 12770 df-q 12884 df-rp 12928 df-xneg 13048 df-xadd 13049 df-xmul 13050 df-ioo 13286 df-ioc 13287 df-ico 13288 df-icc 13289 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-fl 13730 df-mod 13808 df-seq 13943 df-exp 14003 df-fac 14215 df-bc 14244 df-hash 14272 df-shft 15009 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-limsup 15413 df-clim 15430 df-rlim 15431 df-sum 15629 df-ef 16009 df-sin 16011 df-cos 16012 df-pi 16014 df-dvds 16199 df-gcd 16441 df-prm 16618 df-pc 16784 df-struct 17093 df-sets 17110 df-slot 17128 df-ndx 17140 df-base 17156 df-ress 17177 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17361 df-topn 17362 df-0g 17380 df-gsum 17381 df-topgen 17382 df-pt 17383 df-prds 17386 df-xrs 17441 df-qtop 17446 df-imas 17447 df-xps 17449 df-mre 17523 df-mrc 17524 df-acs 17526 df-mgm 18543 df-sgrp 18622 df-mnd 18638 df-submnd 18687 df-mulg 18976 df-cntz 19225 df-cmn 19688 df-psmet 21232 df-xmet 21233 df-met 21234 df-bl 21235 df-mopn 21236 df-fbas 21237 df-fg 21238 df-cnfld 21241 df-top 22757 df-topon 22774 df-topsp 22796 df-bases 22809 df-cld 22882 df-ntr 22883 df-cls 22884 df-nei 22961 df-lp 22999 df-perf 23000 df-cn 23090 df-cnp 23091 df-haus 23178 df-tx 23425 df-hmeo 23618 df-fil 23709 df-fm 23801 df-flim 23802 df-flf 23803 df-xms 24184 df-ms 24185 df-tms 24186 df-cncf 24747 df-limc 25743 df-dv 25744 df-log 26441 df-cxp 26442 df-sgm 26988

This theorem is referenced by: perfect 27118

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