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Theorem nsgqusf1olem3 33444
Description: Lemma for nsgqusf1o 33445. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgqusf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
nsgqusf1o.t 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1 = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2 = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
nsgqusf1o.f 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
nsgqusf1olem3 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝐹,,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1olem3
StepHypRef Expression
1 nsgqusf1o.f . . . . 5 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
21elrnmpt 5968 . . . 4 ( ∈ V → ( ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
32elv 3484 . . 3 ( ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
4 nsgqusf1o.s . . . . 5 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
54reqabi 3459 . . . 4 (𝑆 ↔ ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
6 nsgqusf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 nsgqusf1o.t . . . . . . . 8 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
8 nsgqusf1o.1 . . . . . . . 8 = (le‘(toInc‘𝑆))
9 nsgqusf1o.2 . . . . . . . 8 = (le‘(toInc‘𝑇))
10 nsgqusf1o.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
11 nsgqusf1o.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
12 nsgqusf1o.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
13 nsgqusf1o.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
146, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13nsgqusf1olem1 33442 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝑇)
15 eleq2 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))))
1615rabbidv 3443 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))})
1716eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))}))
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))}))
19 nfv 1913 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵)
20 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2120nfrn 5962 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2221nfel2 2923 . . . . . . . . . . . 12 𝑥({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2319, 22nfan 1898 . . . . . . . . . . 11 𝑥((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
24 nsgsubg 19177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2513, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 subgrcl 19150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2827ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝐺 ∈ Grp)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
306subgss 19146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐵)
3130ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) → 𝐵)
3231sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑥𝐵)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥𝐵)
34 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑎𝐵)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎𝐵)
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝐺) = (+g𝐺)
37 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝐺) = (invg𝐺)
386, 36, 37grpasscan1 19020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑎𝐵) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) = 𝑎)
3929, 33, 35, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) = 𝑎)
40 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → ∈ (SubGrp‘𝐺))
41 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥)
42 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑁)
436subgss 19146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝐵)
4425, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁𝐵)
4544ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑁𝐵)
46 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
476, 46eqger 19197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
4948ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
5149, 34erth 8797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥 ↔ [𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
5225ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
536, 11, 52, 34quslsm 33434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → [𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
546, 11, 52, 32quslsm 33434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
5553, 54eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)))
5651, 55bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥 ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)))
5756biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥)
5850, 57ersym 8758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎)
596, 37, 36, 46eqgval 19196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎 ↔ (𝑥𝐵𝑎𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)))
6059biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) ∧ 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎) → (𝑥𝐵𝑎𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁))
6160simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) ∧ 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)
6229, 45, 58, 61syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)
6342, 62sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ )
6436subgcl 19155 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ ) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) ∈ )
6540, 41, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) ∈ )
6639, 65eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎)
6766adantllr 719 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎)
68 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
69 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} 𝑁) ∈ V
7068, 69elrnmpti 5972 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ↔ ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7170biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7323, 67, 72r19.29af 3267 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → 𝑎)
74 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → 𝑎)
75 ovexd 7467 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ V)
76 sneq 4635 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → {𝑥} = {𝑎})
7776oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → ({𝑥} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
7877eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑎 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7978adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
8068, 74, 75, 79elrnmptdv 5975 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
8173, 80impbida 800 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) → (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ↔ 𝑎))
8281rabbidva 3442 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))} = {𝑎𝐵𝑎})
8330adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵)
84 dfss7 4250 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ↔ {𝑎𝐵𝑎} = )
8583, 84sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → {𝑎𝐵𝑎} = )
8685adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → {𝑎𝐵𝑎} = )
8782, 86eqtr2d 2777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))})
8814, 18, 87rspcedvd 3623 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8988anasss 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁)) → ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
9013adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
917eleq2i 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑇𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
9291biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑇𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
9392adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
946, 10, 11, 90, 93nsgmgclem 33440 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
9594adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
96 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9796adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9895, 97mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ∈ (SubGrp‘𝐺))
9944adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁𝐵)
10025ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
101 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑎𝑁)
10211grplsmid 33433 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
103100, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
10410nsgqus0 33439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝑓)
10590, 93, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁𝑓)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁𝑓)
107103, 106eqeltrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓)
10899, 107ssrabdv 4073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
109108adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → 𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
110 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
111109, 110sseqtrrd 4020 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → 𝑁)
11298, 111jca 511 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
113112r19.29an 3157 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
11489, 113impbida 800 . . . 4 (𝜑 → (( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁) ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
1155, 114bitrid 283 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
1163, 115bitr4id 290 . 2 (𝜑 → ( ∈ ran 𝐹𝑆))
117116eqrdv 2734 1 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ran crn 5685  cfv 6560  (class class class)co 7432   Er wer 8743  [cec 8744  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  lecple 17305   /s cqus 17551  toInccipo 18573  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  SubGrpcsubg 19139  NrmSGrpcnsg 19140   ~QG cqg 19141  LSSumclsm 19653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-oppg 19365  df-lsm 19655
This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  33445
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