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Theorem nsgqusf1olem3 31121
 Description: Lemma for nsgqusf1o 31122. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgqusf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
nsgqusf1o.t 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1 = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2 = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
nsgqusf1o.f 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
nsgqusf1olem3 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝐹,,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1olem3
StepHypRef Expression
1 nsgqusf1o.f . . . . 5 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
21elrnmpt 5797 . . . 4 ( ∈ V → ( ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
32elv 3415 . . 3 ( ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
4 nsgqusf1o.s . . . . 5 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
54rabeq2i 3400 . . . 4 (𝑆 ↔ ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
6 nsgqusf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 nsgqusf1o.t . . . . . . . 8 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
8 nsgqusf1o.1 . . . . . . . 8 = (le‘(toInc‘𝑆))
9 nsgqusf1o.2 . . . . . . . 8 = (le‘(toInc‘𝑇))
10 nsgqusf1o.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
11 nsgqusf1o.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
12 nsgqusf1o.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
13 nsgqusf1o.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
146, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13nsgqusf1olem1 31119 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝑇)
15 eleq2 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))))
1615rabbidv 3392 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))})
1716eqeq2d 2769 . . . . . . . 8 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))}))
1817adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))}))
19 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵)
20 nfmpt1 5130 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2120nfrn 5793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2221nfel2 2937 . . . . . . . . . . . 12 𝑥({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2319, 22nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 𝑥((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
24 nsgsubg 18377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2513, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 subgrcl 18351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2827ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝐺 ∈ Grp)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
306subgss 18347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐵)
3130ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) → 𝐵)
3231sselda 3892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑥𝐵)
3332adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥𝐵)
34 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑎𝐵)
3534adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎𝐵)
36 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝐺) = (+g𝐺)
37 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝐺) = (invg𝐺)
386, 36, 37grpasscan1 18229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑎𝐵) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) = 𝑎)
3929, 33, 35, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) = 𝑎)
40 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → ∈ (SubGrp‘𝐺))
41 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥)
42 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑁)
436subgss 18347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝐵)
4425, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁𝐵)
4544ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑁𝐵)
46 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
476, 46eqger 18397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
4948ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
5049adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
5149, 34erth 8348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥 ↔ [𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
5225ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
536, 11, 52, 34quslsm 31114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → [𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
546, 11, 52, 32quslsm 31114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
5553, 54eqeq12d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)))
5651, 55bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥 ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)))
5756biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥)
5850, 57ersym 8311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎)
596, 37, 36, 46eqgval 18396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎 ↔ (𝑥𝐵𝑎𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)))
6059biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) ∧ 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎) → (𝑥𝐵𝑎𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁))
6160simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) ∧ 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)
6229, 45, 58, 61syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)
6342, 62sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ )
6436subgcl 18356 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ ) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) ∈ )
6540, 41, 63, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) ∈ )
6639, 65eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎)
6766adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎)
68 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
69 ovex 7183 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} 𝑁) ∈ V
7068, 69elrnmpti 5801 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ↔ ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7170biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7271adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7323, 67, 72r19.29af 3254 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → 𝑎)
74 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → 𝑎)
75 ovexd 7185 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ V)
76 sneq 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → {𝑥} = {𝑎})
7776oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → ({𝑥} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
7877eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑎 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7978adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
8068, 74, 75, 79elrnmptdv 5803 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
8173, 80impbida 800 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) → (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ↔ 𝑎))
8281rabbidva 3390 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))} = {𝑎𝐵𝑎})
8330adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵)
84 dfss7 4145 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ↔ {𝑎𝐵𝑎} = )
8583, 84sylib 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → {𝑎𝐵𝑎} = )
8685adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → {𝑎𝐵𝑎} = )
8782, 86eqtr2d 2794 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))})
8814, 18, 87rspcedvd 3544 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8988anasss 470 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁)) → ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
9013adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
917eleq2i 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑇𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
9291biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑇𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
9392adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
946, 10, 11, 90, 93nsgmgclem 31117 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
9594adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
96 eleq1 2839 . . . . . . . . 9 ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9796adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9895, 97mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ∈ (SubGrp‘𝐺))
9944adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁𝐵)
10025ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
101 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑎𝑁)
10211grplsmid 31113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
103100, 101, 102syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
10410nsgqus0 31116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝑓)
10590, 93, 104syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁𝑓)
106105adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁𝑓)
107103, 106eqeltrd 2852 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓)
10899, 107ssrabdv 3978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
109108adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → 𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
110 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
111109, 110sseqtrrd 3933 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → 𝑁)
11298, 111jca 515 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
113112r19.29an 3212 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
11489, 113impbida 800 . . . 4 (𝜑 → (( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁) ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
1155, 114syl5bb 286 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
1163, 115bitr4id 293 . 2 (𝜑 → ( ∈ ran 𝐹𝑆))
117116eqrdv 2756 1 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  {csn 4522   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ran crn 5525  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   Er wer 8296  [cec 8297  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  lecple 16630   /s cqus 16836  toInccipo 17827  Grpcgrp 18169  invgcminusg 18170  SubGrpcsubg 18340  NrmSGrpcnsg 18341   ~QG cqg 18342  LSSumclsm 18826 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-ec 8301  df-qs 8305  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-0g 16773  df-imas 16839  df-qus 16840  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-subg 18343  df-nsg 18344  df-eqg 18345  df-oppg 18541  df-lsm 18828 This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  31122
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