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Theorem nsgqusf1olem3 32193
Description: Lemma for nsgqusf1o 32194. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgqusf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
nsgqusf1o.t 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1 = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2 = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
nsgqusf1o.f 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
nsgqusf1olem3 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝐹,,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1olem3
StepHypRef Expression
1 nsgqusf1o.f . . . . 5 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
21elrnmpt 5911 . . . 4 ( ∈ V → ( ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
32elv 3451 . . 3 ( ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
4 nsgqusf1o.s . . . . 5 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
54reqabi 3429 . . . 4 (𝑆 ↔ ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
6 nsgqusf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 nsgqusf1o.t . . . . . . . 8 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
8 nsgqusf1o.1 . . . . . . . 8 = (le‘(toInc‘𝑆))
9 nsgqusf1o.2 . . . . . . . 8 = (le‘(toInc‘𝑇))
10 nsgqusf1o.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
11 nsgqusf1o.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
12 nsgqusf1o.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
13 nsgqusf1o.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
146, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13nsgqusf1olem1 32191 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝑇)
15 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))))
1615rabbidv 3415 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))})
1716eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))}))
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑓 = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))}))
19 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵)
20 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2120nfrn 5907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2221nfel2 2925 . . . . . . . . . . . 12 𝑥({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
2319, 22nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑥((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
24 nsgsubg 18960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2513, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 subgrcl 18933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2827ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝐺 ∈ Grp)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
306subgss 18929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐵)
3130ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) → 𝐵)
3231sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑥𝐵)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥𝐵)
34 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑎𝐵)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎𝐵)
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝐺) = (+g𝐺)
37 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝐺) = (invg𝐺)
386, 36, 37grpasscan1 18810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑎𝐵) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) = 𝑎)
3929, 33, 35, 38syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) = 𝑎)
40 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → ∈ (SubGrp‘𝐺))
41 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥)
42 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑁)
436subgss 18929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝐵)
4425, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁𝐵)
4544ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑁𝐵)
46 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
476, 46eqger 18980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
4948ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝐵)
5149, 34erth 8697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥 ↔ [𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
5225ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
536, 11, 52, 34quslsm 32186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → [𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
546, 11, 52, 32quslsm 32186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
5553, 54eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → ([𝑎](𝐺 ~QG 𝑁) = [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)))
5651, 55bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) → (𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥 ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)))
5756biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎(𝐺 ~QG 𝑁)𝑥)
5850, 57ersym 8660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎)
596, 37, 36, 46eqgval 18979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎 ↔ (𝑥𝐵𝑎𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)))
6059biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) ∧ 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎) → (𝑥𝐵𝑎𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁))
6160simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁𝐵) ∧ 𝑥(𝐺 ~QG 𝑁)𝑎) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)
6229, 45, 58, 61syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝑁)
6342, 62sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ )
6436subgcl 18938 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎) ∈ ) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) ∈ )
6540, 41, 63, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → (𝑥(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑎)) ∈ )
6639, 65eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎)
6766adantllr 717 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) ∧ 𝑥) ∧ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁)) → 𝑎)
68 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
69 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} 𝑁) ∈ V
7068, 69elrnmpti 5915 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ↔ ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7170biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) → ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7271adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7323, 67, 72r19.29af 3251 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) → 𝑎)
74 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → 𝑎)
75 ovexd 7392 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ V)
76 sneq 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → {𝑥} = {𝑎})
7776oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → ({𝑥} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
7877eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑎 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
7978adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) ∧ 𝑥 = 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
8068, 74, 75, 79elrnmptdv 5917 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
8173, 80impbida 799 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) ∧ 𝑎𝐵) → (({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ↔ 𝑎))
8281rabbidva 3414 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))} = {𝑎𝐵𝑎})
8330adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵)
84 dfss7 4200 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ↔ {𝑎𝐵𝑎} = )
8583, 84sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → {𝑎𝐵𝑎} = )
8685adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → {𝑎𝐵𝑎} = )
8782, 86eqtr2d 2777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))})
8814, 18, 87rspcedvd 3583 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑁) → ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8988anasss 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁)) → ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
9013adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
917eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑇𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
9291biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑇𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
9392adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
946, 10, 11, 90, 93nsgmgclem 32189 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
9594adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
96 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9796adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9895, 97mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ∈ (SubGrp‘𝐺))
9944adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁𝐵)
10025ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
101 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑎𝑁)
10211grplsmid 32185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
103100, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
10410nsgqus0 32188 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝑓)
10590, 93, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁𝑓)
106105adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁𝑓)
107103, 106eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓)
10899, 107ssrabdv 4031 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
109108adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → 𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
110 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
111109, 110sseqtrrd 3985 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → 𝑁)
11298, 111jca 512 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
113112r19.29an 3155 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}) → ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁))
11489, 113impbida 799 . . . 4 (𝜑 → (( ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁) ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
1155, 114bitrid 282 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ↔ ∃𝑓𝑇 = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
1163, 115bitr4id 289 . 2 (𝜑 → ( ∈ ran 𝐹𝑆))
117116eqrdv 2734 1 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357   Er wer 8645  [cec 8646  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  lecple 17140   /s cqus 17387  toInccipo 18416  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  SubGrpcsubg 18922  NrmSGrpcnsg 18923   ~QG cqg 18924  LSSumclsm 19416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-oppg 19124  df-lsm 19418
This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  32194
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