Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem4 45425
Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves one-side of the double inclusion for the proof that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem4.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimlem4.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem4.3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem4.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimlem4.5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem4.6 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
smflimlem4.7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem4.8 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem4.9 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem4.10 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem4.11 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem4 (𝜑 → (𝐷𝐼) ⊆ {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑠   𝑥,𝐴,𝑘,𝑚   𝐶,𝑘,𝑚,𝑠   𝐶,𝑟,𝑘   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐷,𝑟,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝐹,𝑠   𝑚,𝐺   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛   𝑘,𝐼,𝑚,𝑥   𝐼,𝑟   𝑚,𝑀   𝑃,𝑘,𝑚,𝑠   𝑃,𝑟   𝑆,𝑘,𝑚,𝑠   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐴(𝑛,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑠)   𝑃(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑠,𝑟)   𝐼(𝑛,𝑠)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem4
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑧 𝑦 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4227 . . 3 (𝐷𝐼) ⊆ 𝐷
21a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐼) ⊆ 𝐷)
32sselda 3981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) → 𝑥𝐷)
4 smflimlem4.6 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
6 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑚(𝜑𝑥𝐷)
7 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐹
8 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝐹
9 smflimlem4.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
10 smflimlem4.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
12 smflimlem4.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1312ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
1511, 13, 14smff 45383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
1615adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
17 smflimlem4.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
18 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
1918mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
2019eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
2120cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
2217, 21eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑧 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
23 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
246, 7, 8, 9, 16, 22, 23fnlimfvre 44325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
2524elexd 3495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ V)
265, 25fvmpt2d 7007 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) = ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
2726, 24eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
283, 27syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
30 smflimlem4.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
32 rpre 12978 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
3431, 33readdcld 11239 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ)
3534adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ)
36 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑚((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
37 rphalfcl 12997 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
38 rpgtrecnn 44025 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2))
4039adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2))
4110ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4213adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4342ad5ant15 758 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4430adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4544ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 smflimlem4.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
47 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑍
48 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑍
49 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗{𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
50 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘{𝑠𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
5118breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)) ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑘))))
5251cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})
54 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑗 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑗))
5554oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 + (1 / 𝑘)) = (𝐴 + (1 / 𝑗)))
5655breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑘)) ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑗))))
5756rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑗))})
5853, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑗))})
5958eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ({𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚)) ↔ {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))))
6059rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
6147, 48, 49, 50, 60cbvmpo2 43719 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}) = (𝑚𝑍, 𝑗 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
6246, 61eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑗 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑧) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
63 smflimlem4.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
64 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝐶‘(𝑚𝑃𝑘))
65 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝐶‘(𝑚𝑃𝑗))
66 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝑚𝑃𝑘) = (𝑚𝑃𝑗))
6766fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑗)))
6847, 48, 64, 65, 67cbvmpo2 43719 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘))) = (𝑚𝑍, 𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑗)))
6963, 68eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑗)))
70 smflimlem4.10 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
71 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 = 𝑗𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 = 𝑗)
7271oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 = 𝑗𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝑚𝐻𝑗))
7372iineq2dv 5021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = 𝑗𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑗))
7473iuneq2dv 5020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑗))
7574cbviinv 5043 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) = 𝑗 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑗)
7670, 75eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝐼 = 𝑗 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑗)
77 smflimlem4.11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
7978ad5ant15 758 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
80 simp-4r 783 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼))
81 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8237ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
83 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) → (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2))
849, 41, 43, 22, 45, 62, 69, 76, 79, 80, 81, 82, 83smflimlem3 45424 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2)) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(𝑥 ∈ dom (𝐹𝑖) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
8584rexlimdva2 3158 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝑦 / 2) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(𝑥 ∈ dom (𝐹𝑖) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))))
8640, 85mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(𝑥 ∈ dom (𝐹𝑖) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
87 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑖((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
88 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑖𝐹
89 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐹
90 smflimlem4.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
92 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑖 → (𝑚𝑍𝑖𝑍))
9392anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑖 → ((𝜑𝑚𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
94 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑖 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑖))
9594dmeqd 5903 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑖 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑖))
9694, 95feq12d 6702 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑖 → ((𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ ↔ (𝐹𝑖):dom (𝐹𝑖)⟶ℝ))
9793, 96imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑖 → (((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹𝑖):dom (𝐹𝑖)⟶ℝ)))
9897, 15chvarvv 2003 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹𝑖):dom (𝐹𝑖)⟶ℝ)
9998ad4ant14 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐹𝑖):dom (𝐹𝑖)⟶ℝ)
100 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑙 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑙))
101100dmeqd 5903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑙 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑙))
102101cbviinv 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑙 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑙)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑙 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑙))
104103iuneq2i 5017 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑛𝑍 𝑙 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑙)
105 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑚))
106105iineq1d 43712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 𝑙 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑙) = 𝑙 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑙))
107 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑖 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑖))
108107dmeqd 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑖 → dom (𝐹𝑙) = dom (𝐹𝑖))
109108cbviinv 5043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑙 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑙) = 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖)
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 𝑙 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑙) = 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖))
111106, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 𝑙 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑙) = 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖))
112111cbviunv 5042 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑍 𝑙 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑙) = 𝑚𝑍 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖)
113104, 112eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚𝑍 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖)
114113rabeqi 3446 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑥 𝑚𝑍 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
115 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑚 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑚))
116115fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑚 → ((𝐹𝑖)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
117116cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑍 ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
118117eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑖𝑍 ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥))
119118eleq1i 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑖𝑍 ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
120119rabbii 3439 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 𝑚𝑍 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑥 𝑚𝑍 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖) ∣ (𝑖𝑍 ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
12117, 114, 1203eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑥 𝑚𝑍 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)dom (𝐹𝑖) ∣ (𝑖𝑍 ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
122118fveq2i 6891 . . . . . . . . . . . 12 ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑖𝑍 ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥)))
123122mpteq2i 5252 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑖𝑍 ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥))))
1244, 123eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑖𝑍 ↦ ((𝐹𝑖)‘𝑥))))
1253adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥𝐷)
12637adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
12787, 88, 89, 91, 9, 99, 121, 124, 125, 126fnlimabslt 44330 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2)))
12829adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
129 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ)
130128, 129resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ∈ ℝ)
131130adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ∈ ℝ)
132130recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ∈ ℂ)
133132abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥))) ∈ ℝ)
134133adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥))) ∈ ℝ)
13532rehalfcld 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
136135ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
137131leabsd 15357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥)) ≤ (abs‘((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥))))
13828recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
140 recn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
141140adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
142139, 141abssubd 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥))) = (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
143142adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥))) = (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
144 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))
145143, 144eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))
146145adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥))) < (𝑦 / 2))
147131, 134, 136, 137, 146lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥)) < (𝑦 / 2))
14829adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
149 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → ((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ)
150148, 149, 136ltsubadd2d 11808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (((𝐺𝑥) − ((𝐹𝑖)‘𝑥)) < (𝑦 / 2) ↔ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2))))
151147, 150mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2))) → (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2)))
152151ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2))))
153152ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑚)) → ((((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2)) → (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2))))
154153ralimdva 3168 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2))))
155154ex 414 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑚𝑍 → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2)))))
15636, 155reximdai 3259 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹𝑖)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑖)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑦 / 2)) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2))))
157127, 156mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑚𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑚)(𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2)))
158115dmeqd 5903 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑚 → dom (𝐹𝑖) = dom (𝐹𝑚))
159158eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑖) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)))
160116breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (((𝐹𝑖)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
161159, 160anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → ((𝑥 ∈ dom (𝐹𝑖) ∧ ((𝐹𝑖)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))))
162116oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) = (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)))
163162breq2d 5159 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → ((𝐺𝑥) < (((𝐹𝑖)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ↔ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2))))
16436, 9, 86, 157, 161, 163rexanuz3 43718 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑚𝑍 ((𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2))))
165 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2))) ↔ ((𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2))))
166 3ancomb 1100 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2))) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
167165, 166bitr3i 277 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2))) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
168167rexbii 3095 . . . . . . 7 (∃𝑚𝑍 ((𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2))) ↔ ∃𝑚𝑍 (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
169164, 168sylib 217 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑚𝑍 (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
17029ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
171153adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
172 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
173171, 172ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
174173ad4ant134 1175 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
175 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
176175, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
177174, 176readdcld 11239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
178177adantl3r 749 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1791783ad2antr1 1189 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
180 rehalfcl 12434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
18133, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
18231, 181jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ))
183 readdcl 11189 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
185184, 181readdcld 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
186185ad5ant13 756 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
187 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)))
188174adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
189184ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
190176adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
191 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))
192188, 189, 190, 191ltadd1dd 11821 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
193192adantl3r 749 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
1941933adantr2 1171 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
195170, 179, 186, 187, 194lttrd 11371 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (𝐺𝑥) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
19631recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
197181recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
198196, 197, 197addassd 11232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
19932recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
200 2halves 12436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
202201oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝐴 + 𝑦))
203202adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝐴 + 𝑦))
204198, 203eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + 𝑦))
205204ad5ant13 756 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + 𝑦))
206195, 205breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) → (𝐺𝑥) < (𝐴 + 𝑦))
207206rexlimdva2 3158 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑚𝑍 (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ (𝐺𝑥) < (((𝐹𝑚)‘𝑥) + (𝑦 / 2)) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) → (𝐺𝑥) < (𝐴 + 𝑦)))
208169, 207mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑥) < (𝐴 + 𝑦))
20929, 35, 208ltled 11358 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐴 + 𝑦))
210209ralrimiva 3147 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝐺𝑥) ≤ (𝐴 + 𝑦))
211 alrple 13181 . . . 4 (((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝐺𝑥) ≤ (𝐴 + 𝑦)))
21228, 44, 211syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) → ((𝐺𝑥) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝐺𝑥) ≤ (𝐴 + 𝑦)))
213210, 212mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐷𝐼)) → (𝐺𝑥) ≤ 𝐴)
2142, 213ssrabdv 4070 1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ⊆ {𝑥𝐷 ∣ (𝐺𝑥) ≤ 𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  cin 3946  wss 3947   ciun 4996   ciin 4997   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  cc 11104  cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  2c2 12263  cz 12554  cuz 12818  +crp 12970  abscabs 15177  cli 15424  SAlgcsalg 44959  SMblFncsmblfn 45346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-smblfn 45347
This theorem is referenced by:  smflimlem5  45426
  Copyright terms: Public domain W3C validator