Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem4 45490
Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves one-side of the double inclusion for the proof that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem4.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smflimlem4.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smflimlem4.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem4.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smflimlem4.5 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem4.6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
smflimlem4.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem4.8 𝑃 = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
smflimlem4.9 𝐻 = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜)))
smflimlem4.10 𝐼 = ∩ π‘˜ ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜)
smflimlem4.11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ran 𝑃) β†’ (πΆβ€˜π‘Ÿ) ∈ π‘Ÿ)
Assertion
Ref Expression
smflimlem4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∩ 𝐼) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴})
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘š,𝑠   π‘₯,𝐴,π‘˜,π‘š   𝐢,π‘˜,π‘š,𝑠   𝐢,π‘Ÿ,π‘˜   𝐷,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   𝐷,π‘Ÿ,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘š,𝑛,π‘₯   𝐹,𝑠   π‘š,𝐺   π‘˜,𝐻,π‘š,𝑛   π‘˜,𝐼,π‘š,π‘₯   𝐼,π‘Ÿ   π‘š,𝑀   𝑃,π‘˜,π‘š,𝑠   𝑃,π‘Ÿ   𝑆,π‘˜,π‘š,𝑠   π‘˜,𝑍,π‘š,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠)   𝐴(𝑛,π‘Ÿ)   𝐢(π‘₯,𝑛)   𝐷(𝑠)   𝑃(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑠,π‘Ÿ)   𝐼(𝑛,𝑠)   𝑀(π‘₯,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ÿ)   𝑍(𝑠,π‘Ÿ)

Proof of Theorem smflimlem4
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑧 𝑦 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4229 . . 3 (𝐷 ∩ 𝐼) βŠ† 𝐷
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∩ 𝐼) βŠ† 𝐷)
32sselda 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
4 smflimlem4.6 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
6 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
7 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘šπΉ
8 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧𝐹
9 smflimlem4.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
10 smflimlem4.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
12 smflimlem4.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
1312ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘š)
1511, 13, 14smff 45448 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
1615adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
17 smflimlem4.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
18 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
1918mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
2019eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ))
2120cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
2217, 21eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑧 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
23 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
246, 7, 8, 9, 16, 22, 23fnlimfvre 44390 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
2524elexd 3495 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ V)
265, 25fvmpt2d 7012 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
2726, 24eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
283, 27syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
30 smflimlem4.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32 rpre 12982 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3431, 33readdcld 11243 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ)
3534adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ)
36 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘š((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
37 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
38 rpgtrecnn 44090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2))
4039adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2))
4110ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4213adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4342ad5ant15 758 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4430adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4544ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
46 smflimlem4.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
47 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜π‘
48 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝑍
49 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗{𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}
50 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜{𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}
5118breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜)) ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜))))
5251cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜))}
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜))})
54 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (1 / π‘˜) = (1 / 𝑗))
5554oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 + (1 / π‘˜)) = (𝐴 + (1 / 𝑗)))
5655breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜)) ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))))
5756rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))})
5853, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))})
5958eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ({π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)) ↔ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
6059rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
6147, 48, 49, 50, 60cbvmpo2 43786 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) = (π‘š ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
6246, 61eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (π‘š ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
63 smflimlem4.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜)))
64 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜))
65 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘—))
66 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘šπ‘ƒπ‘˜) = (π‘šπ‘ƒπ‘—))
6766fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜)) = (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘—)))
6847, 48, 64, 65, 67cbvmpo2 43786 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜))) = (π‘š ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘—)))
6963, 68eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (π‘š ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘—)))
70 smflimlem4.10 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ∩ π‘˜ ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜)
71 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ = 𝑗 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ = 𝑗)
7271oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘˜ = 𝑗 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (π‘šπ»π‘˜) = (π‘šπ»π‘—))
7372iineq2dv 5023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ = 𝑗 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜) = ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘—))
7473iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜) = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘—))
7574cbviinv 5045 . . . . . . . . . . . 12 ∩ π‘˜ ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜) = ∩ 𝑗 ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘—)
7670, 75eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝐼 = ∩ 𝑗 ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘—)
77 smflimlem4.11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ran 𝑃) β†’ (πΆβ€˜π‘Ÿ) ∈ π‘Ÿ)
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ π‘Ÿ ∈ ran 𝑃) β†’ (πΆβ€˜π‘Ÿ) ∈ π‘Ÿ)
7978ad5ant15 758 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) ∧ π‘Ÿ ∈ ran 𝑃) β†’ (πΆβ€˜π‘Ÿ) ∈ π‘Ÿ)
80 simp-4r 783 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼))
81 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
8237ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
83 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2))
849, 41, 43, 22, 45, 62, 69, 76, 79, 80, 81, 82, 83smflimlem3 45489 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
8584rexlimdva2 3158 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))))
8640, 85mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
87 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
88 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖𝐹
89 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝐹
90 smflimlem4.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
92 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
9392anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
94 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘–))
9594dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘–))
9694, 95feq12d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„ ↔ (πΉβ€˜π‘–):dom (πΉβ€˜π‘–)βŸΆβ„))
9793, 96imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–):dom (πΉβ€˜π‘–)βŸΆβ„)))
9897, 15chvarvv 2003 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–):dom (πΉβ€˜π‘–)βŸΆβ„)
9998ad4ant14 751 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–):dom (πΉβ€˜π‘–)βŸΆβ„)
100 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘™))
101100dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = 𝑙 β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘™))
102101cbviinv 5045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™))
104103iuneq2i 5019 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™)
105 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘š β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘š))
106105iineq1d 43779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘™))
107 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘–))
108107dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑖 β†’ dom (πΉβ€˜π‘™) = dom (πΉβ€˜π‘–))
109108cbviinv 5045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–)
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–))
111106, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–))
112111cbviunv 5044 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™) = βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–)
113104, 112eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–)
114113rabeqi 3446 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } = {π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
115 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘š))
116115fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
117116cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
118117eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))
119118eleq1i 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ )
120119rabbii 3439 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } = {π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–) ∣ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
12117, 114, 1203eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–) ∣ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
122118fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . 12 ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = ( ⇝ β€˜(𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)))
123122mpteq2i 5254 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))))
1244, 123eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))))
1253adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
12637adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
12787, 88, 89, 91, 9, 99, 121, 124, 125, 126fnlimabslt 44395 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)))
12829adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
129 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
130128, 129resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
131130adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
132130recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
133132abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
134133adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
13532rehalfcld 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
136135ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
137131leabsd 15361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))))
13828recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
140 recn 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
141140adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
142139, 141abssubd 15400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
143142adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
144 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))
145143, 144eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))
146145adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))
147131, 134, 136, 137, 146lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) < (𝑦 / 2))
14829adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
149 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
150148, 149, 136ltsubadd2d 11812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) < (𝑦 / 2) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
151147, 150mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))
152151ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
153152ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
154153ralimdva 3168 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
155154ex 414 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))))
15636, 155reximdai 3259 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
157127, 156mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))
158115dmeqd 5906 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘š β†’ dom (πΉβ€˜π‘–) = dom (πΉβ€˜π‘š))
159158eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ↔ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)))
160116breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
161159, 160anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘š β†’ ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))))
162116oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) = (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))
163162breq2d 5161 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘š β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
16436, 9, 86, 157, 161, 163rexanuz3 43785 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
165 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))) ↔ ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
166 3ancomb 1100 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
167165, 166bitr3i 277 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
168167rexbii 3095 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
169164, 168sylib 217 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
17029ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
171153adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
172 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
173171, 172ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
174173ad4ant134 1175 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
175 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
176175, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
177174, 176readdcld 11243 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
178177adantl3r 749 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1791783ad2antr1 1189 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
180 rehalfcl 12438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
18133, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
18231, 181jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ))
183 readdcl 11193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
185184, 181readdcld 11243 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
186185ad5ant13 756 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
187 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))
188174adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
189184ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
190176adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
191 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))
192188, 189, 190, 191ltadd1dd 11825 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
193192adantl3r 749 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
1941933adantr2 1171 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
195170, 179, 186, 187, 194lttrd 11375 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
19631recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
197181recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
198196, 197, 197addassd 11236 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
19932recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
200 2halves 12440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
202201oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝐴 + 𝑦))
203202adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝐴 + 𝑦))
204198, 203eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + 𝑦))
205204ad5ant13 756 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + 𝑦))
206195, 205breqtrd 5175 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (𝐴 + 𝑦))
207206rexlimdva2 3158 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (𝐴 + 𝑦)))
208169, 207mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (𝐴 + 𝑦))
20929, 35, 208ltled 11362 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (𝐴 + 𝑦))
210209ralrimiva 3147 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (𝐴 + 𝑦))
211 alrple 13185 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (𝐴 + 𝑦)))
21228, 44, 211syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (𝐴 + 𝑦)))
213210, 212mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
2142, 213ssrabdv 4072 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∩ 𝐼) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ ciun 4998  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  abscabs 15181   ⇝ cli 15428  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by:  smflimlem5  45491
  Copyright terms: Public domain W3C validator