Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem4 45788
Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves one-side of the double inclusion for the proof that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem4.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smflimlem4.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smflimlem4.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem4.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smflimlem4.5 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem4.6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
smflimlem4.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem4.8 𝑃 = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
smflimlem4.9 𝐻 = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜)))
smflimlem4.10 𝐼 = ∩ π‘˜ ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜)
smflimlem4.11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ran 𝑃) β†’ (πΆβ€˜π‘Ÿ) ∈ π‘Ÿ)
Assertion
Ref Expression
smflimlem4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∩ 𝐼) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴})
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘š,𝑠   π‘₯,𝐴,π‘˜,π‘š   𝐢,π‘˜,π‘š,𝑠   𝐢,π‘Ÿ,π‘˜   𝐷,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   𝐷,π‘Ÿ,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘š,𝑛,π‘₯   𝐹,𝑠   π‘š,𝐺   π‘˜,𝐻,π‘š,𝑛   π‘˜,𝐼,π‘š,π‘₯   𝐼,π‘Ÿ   π‘š,𝑀   𝑃,π‘˜,π‘š,𝑠   𝑃,π‘Ÿ   𝑆,π‘˜,π‘š,𝑠   π‘˜,𝑍,π‘š,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠)   𝐴(𝑛,π‘Ÿ)   𝐢(π‘₯,𝑛)   𝐷(𝑠)   𝑃(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑠,π‘Ÿ)   𝐼(𝑛,𝑠)   𝑀(π‘₯,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ÿ)   𝑍(𝑠,π‘Ÿ)

Proof of Theorem smflimlem4
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑧 𝑦 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4227 . . 3 (𝐷 ∩ 𝐼) βŠ† 𝐷
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∩ 𝐼) βŠ† 𝐷)
32sselda 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
4 smflimlem4.6 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
6 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
7 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘šπΉ
8 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧𝐹
9 smflimlem4.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
10 smflimlem4.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
1110adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
12 smflimlem4.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
1312ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
14 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘š)
1511, 13, 14smff 45746 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
1615adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
17 smflimlem4.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
18 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§))
1918mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)))
2019eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ))
2120cbvrabv 3440 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
2217, 21eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑧 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
23 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
246, 7, 8, 9, 16, 22, 23fnlimfvre 44688 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
2524elexd 3493 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ V)
265, 25fvmpt2d 7010 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
2726, 24eqeltrd 2831 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
283, 27syldan 589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
30 smflimlem4.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3130adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32 rpre 12986 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3431, 33readdcld 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ)
3534adantlr 711 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ)
36 nfv 1915 . . . . . . . 8 β„²π‘š((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
37 rphalfcl 13005 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
38 rpgtrecnn 44388 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2))
4039adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2))
4110ad4antr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4213adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4342ad5ant15 755 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
4430adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4544ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
46 smflimlem4.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
47 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜π‘
48 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝑍
49 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗{𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}
50 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜{𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}
5118breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜)) ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜))))
5251cbvrabv 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜))}
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜))})
54 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (1 / π‘˜) = (1 / 𝑗))
5554oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 + (1 / π‘˜)) = (𝐴 + (1 / 𝑗)))
5655breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜)) ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))))
5756rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))})
5853, 57eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))})
5958eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ({π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)) ↔ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
6059rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
6147, 48, 49, 50, 60cbvmpo2 44087 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (1 / π‘˜))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))}) = (π‘š ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
6246, 61eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (π‘š ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑧 ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘§) < (𝐴 + (1 / 𝑗))} = (𝑠 ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))})
63 smflimlem4.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜)))
64 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜))
65 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘—))
66 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘šπ‘ƒπ‘˜) = (π‘šπ‘ƒπ‘—))
6766fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜)) = (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘—)))
6847, 48, 64, 65, 67cbvmpo2 44087 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝑍, π‘˜ ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘˜))) = (π‘š ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘—)))
6963, 68eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (π‘š ∈ 𝑍, 𝑗 ∈ β„• ↦ (πΆβ€˜(π‘šπ‘ƒπ‘—)))
70 smflimlem4.10 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ∩ π‘˜ ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜)
71 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ = 𝑗 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ = 𝑗)
7271oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘˜ = 𝑗 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (π‘šπ»π‘˜) = (π‘šπ»π‘—))
7372iineq2dv 5021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ = 𝑗 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜) = ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘—))
7473iuneq2dv 5020 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜) = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘—))
7574cbviinv 5043 . . . . . . . . . . . 12 ∩ π‘˜ ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘˜) = ∩ 𝑗 ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘—)
7670, 75eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 𝐼 = ∩ 𝑗 ∈ β„• βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π‘šπ»π‘—)
77 smflimlem4.11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ran 𝑃) β†’ (πΆβ€˜π‘Ÿ) ∈ π‘Ÿ)
7877adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ π‘Ÿ ∈ ran 𝑃) β†’ (πΆβ€˜π‘Ÿ) ∈ π‘Ÿ)
7978ad5ant15 755 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) ∧ π‘Ÿ ∈ ran 𝑃) β†’ (πΆβ€˜π‘Ÿ) ∈ π‘Ÿ)
80 simp-4r 780 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼))
81 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
8237ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
83 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2))
849, 41, 43, 22, 45, 62, 69, 76, 79, 80, 81, 82, 83smflimlem3 45787 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
8584rexlimdva2 3155 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / π‘˜) < (𝑦 / 2) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))))
8640, 85mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
87 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
88 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖𝐹
89 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝐹
90 smflimlem4.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9190ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
92 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
9392anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
94 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘–))
9594dmeqd 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑖 β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘–))
9694, 95feq12d 6704 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„ ↔ (πΉβ€˜π‘–):dom (πΉβ€˜π‘–)βŸΆβ„))
9793, 96imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–):dom (πΉβ€˜π‘–)βŸΆβ„)))
9897, 15chvarvv 2000 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–):dom (πΉβ€˜π‘–)βŸΆβ„)
9998ad4ant14 748 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘–):dom (πΉβ€˜π‘–)βŸΆβ„)
100 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘™))
101100dmeqd 5904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = 𝑙 β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘™))
102101cbviinv 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™))
104103iuneq2i 5017 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™)
105 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘š β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘š))
106105iineq1d 44080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘™))
107 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘–))
108107dmeqd 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑖 β†’ dom (πΉβ€˜π‘™) = dom (πΉβ€˜π‘–))
109108cbviinv 5043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–)
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–))
111106, 110eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™) = ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–))
112111cbviunv 5042 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘™) = βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–)
113104, 112eqtri 2758 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–)
114113rabeqi 3443 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } = {π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
115 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘š))
116115fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
117116cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
118117eqcomi 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))
119118eleq1i 2822 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ )
120119rabbii 3436 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } = {π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–) ∣ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
12117, 114, 1203eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ 𝑍 ∩ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)dom (πΉβ€˜π‘–) ∣ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
122118fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . 12 ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = ( ⇝ β€˜(𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)))
123122mpteq2i 5252 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))))
1244, 123eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))))
1253adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
12637adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
12787, 88, 89, 91, 9, 99, 121, 124, 125, 126fnlimabslt 44693 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)))
12829adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
129 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
130128, 129resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
131130adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
132130recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
133132abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
134133adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
13532rehalfcld 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
136135ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
137131leabsd 15365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))))
13828recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
139138adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
140 recn 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
141140adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
142139, 141abssubd 15404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
143142adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
144 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))
145143, 144eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))
146145adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))
147131, 134, 136, 137, 146lelttrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) < (𝑦 / 2))
14829adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
149 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
150148, 149, 136ltsubadd2d 11816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯)) < (𝑦 / 2) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
151147, 150mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))
152151ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
153152ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
154153ralimdva 3165 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
155154ex 411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘š ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))))
15636, 155reximdai 3256 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) < (𝑦 / 2)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
157127, 156mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))
158115dmeqd 5904 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘š β†’ dom (πΉβ€˜π‘–) = dom (πΉβ€˜π‘š))
159158eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ↔ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)))
160116breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
161159, 160anbi12d 629 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘š β†’ ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘–) ∧ ((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))))
162116oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) = (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))
163162breq2d 5159 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘š β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘–)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
16436, 9, 86, 157, 161, 163rexanuz3 44086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
165 df-3an 1087 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))) ↔ ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))))
166 3ancomb 1097 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
167165, 166bitr3i 276 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))) ↔ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
168167rexbii 3092 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
169164, 168sylib 217 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))))
17029ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
171153adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
172 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
173171, 172ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
174173ad4ant134 1172 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
175 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
176175, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
177174, 176readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
178177adantl3r 746 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1791783ad2antr1 1186 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
180 rehalfcl 12442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
18133, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
18231, 181jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ))
183 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
185184, 181readdcld 11247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
186185ad5ant13 753 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
187 simpr2 1193 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)))
188174adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
189184ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (𝐴 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
190176adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
191 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))
192188, 189, 190, 191ltadd1dd 11829 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
193192adantl3r 746 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
1941933adantr2 1168 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
195170, 179, 186, 187, 194lttrd 11379 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
19631recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
197181recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
198196, 197, 197addassd 11240 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
19932recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
200 2halves 12444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
202201oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝐴 + 𝑦))
203202adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝐴 + 𝑦))
204198, 203eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + 𝑦))
205204ad5ant13 753 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ ((𝐴 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝐴 + 𝑦))
206195, 205breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (𝐴 + 𝑦))
207206rexlimdva2 3155 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) < (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) + (𝑦 / 2)) ∧ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) < (𝐴 + (𝑦 / 2))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (𝐴 + 𝑦)))
208169, 207mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) < (𝐴 + 𝑦))
20929, 35, 208ltled 11366 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (𝐴 + 𝑦))
210209ralrimiva 3144 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (𝐴 + 𝑦))
211 alrple 13189 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (𝐴 + 𝑦)))
21228, 44, 211syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (𝐴 + 𝑦)))
213210, 212mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ 𝐼)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴)
2142, 213ssrabdv 4070 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∩ 𝐼) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆͺ ciun 4996  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  abscabs 15185   ⇝ cli 15432  SAlgcsalg 45322  SMblFncsmblfn 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-smblfn 45710
This theorem is referenced by:  smflimlem5  45789
  Copyright terms: Public domain W3C validator