Theorem ssrab 3829

Description: Subclass of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssrab	⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3070	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq2i 3779	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ 𝐵 ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
3		ssab 3821	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		dfss3 3741	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	anbi1i 610	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
6		r19.26 3212	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
7		df-ral 3066	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
8	5, 6, 7	3bitr2ri 289	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
9	2, 3, 8	3bitri 286	1 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382  ∀wal 1629   ∈ wcel 2145  {cab 2757  ∀wral 3061  {crab 3065   ⊆ wss 3723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rab 3070  df-in 3730  df-ss 3737

This theorem is referenced by:  ssrabdv  3830  omssnlim  7226  ordtypelem2  8580  ordtypelem10  8588  card2inf  8616  r0weon  9035  ramtlecl  15911  sscntz  17966  ppttop  21032  epttop  21034  cmpcov2  21414  tgcmp  21425  xkoinjcn  21711  fbssfi  21861  filssufilg  21935  uffixfr  21947  tmdgsum2  22120  symgtgp  22125  ghmcnp  22138  blcls  22531  clsocv  23268  lhop1lem  23996  ressatans  24882  axcontlem3  26067  axcontlem4  26068  ldgenpisyslem3  30568  ldgenpisys  30569  imambfm  30664  connpconn  31555  cvmlift2lem11  31633  cvmlift2lem12  31634  bj-rabtr  33258  bj-rabtrALTALT  33260  hbtlem6  38225