Theorem ssrab 3999

Description: Subclass of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 16-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssrab	⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3417	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq2i 3942	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ 𝐵 ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
3		ssab 3991	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		dfss3 3902	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
6		r19.26 3126	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
7		df-ral 3081	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
8	5, 6, 7	3bitr2ri 303	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))
9	2, 3, 8	3bitri 300	1 ⊢ (𝐵 ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rab 3417  df-ss 3901

This theorem is used by:  ssrabdv  4001  omssnlim  7919  ordtypelem2  9543  ordtypelem10  9551  card2inf  9579  r0weon  10121  ramtlecl  17210  sscntz  19573  ppttop  23358  epttop  23360  cmpcov2  23741  tgcmp  23752  xkoinjcn  24039  fbssfi  24189  filssufilg  24263  uffixfr  24275  tmdgsum2  24448  symgtgp  24458  ghmcnp  24467  blcls  24858  clsocv  25604  lhop1lem  26366  ressatans  27295  axcontlem3  29577  axcontlem4  29578  lfuhgr  29759  ldgenpisyslem3  34881  ldgenpisys  34882  imambfm  34977  fineqvnttrclse  35905  connpconn  36180  cvmlift2lem11  36258  cvmlift2lem12  36259  bj-rabtr  38034  hbtlem6  44334  usgrexmpl1lem  49334  usgrexmpl2lem  49339