Theorem sumeq12sdv 36790

Description: Equality deduction for sum. General version of sumeq2sdv 15782. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeq12sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sumeq12sdv.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sumeq12sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)

Distinct variable group:   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumeq12sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq12sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sumeq1d 15779	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3		sumeq12sdv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sumeq2sdv 15782	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)
5	2, 4	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  Σcsu 15765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-iota 6496  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-seq 14060  df-sum 15766

This theorem is used by: (None)