Theorem sumeq12sdv 37006

Description: Equality deduction for sum. General version of sumeq2sdv 15870. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeq12sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
sumeq12sdv.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
sumeq12sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)

Distinct variable group:   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumeq12sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq12sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	sumeq1d 15867	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3		sumeq12sdv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
4	3	sumeq2sdv 15870	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)
5	2, 4	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-iota 6494  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-seq 14145  df-sum 15854

This theorem is used by: (None)