Theorem sumeq1d 15623

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 15612	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-iota 6448  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-seq 13925  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  15629  sumeq12rdv  15630  fsumf1o  15646  sumss  15647  fsumcllem  15655  fsumsplit1  15668  fsum1  15670  fzosump1  15675  fsump1  15679  fsum2d  15694  fsumcom2  15697  fsumshftm  15704  fsumrev2  15705  telfsumo  15725  telfsum  15727  telfsum2  15728  fsumparts  15729  fsumiun  15744  bcxmas  15758  incexclem  15759  incexc2  15761  isumsplit  15763  isum1p  15764  arisum  15783  arisum2  15784  geoser  15790  pwdif  15791  geolim  15793  geo2sum2  15797  mertenslem1  15807  mertenslem2  15808  mertens  15809  bpolydiflem  15977  efcvgfsum  16009  fprodefsum  16018  eftlub  16034  effsumlt  16036  eirrlem  16129  pwp1fsum  16318  bitsinv1  16369  bitsinvp1  16376  pcfac  16827  prmreclem4  16847  prmreclem6  16849  ovoliunlem1  25459  uniioombllem3  25542  itg11  25648  dvfsumlem1  25988  dvfsumlem4  25992  dvfsum2  25997  elplyr  26162  coeeu  26186  coeeq  26188  plyco  26202  0dgrb  26207  dvply2g  26248  dvply2gOLD  26249  vieta1lem2  26275  vieta1  26276  aaliou3lem5  26311  aaliou3lem6  26312  aaliou3lem7  26313  taylpfval  26328  pserdvlem2  26394  abelthlem6  26402  logfac  26566  advlogexp  26620  emcllem2  26963  emcllem3  26964  emcllem7  26968  harmonicbnd  26970  harmonicbnd2  26971  harmonicbnd3  26974  harmonicbnd4  26977  chtval  27076  chpval  27088  chtfl  27115  chpfl  27116  chtprm  27119  chtnprm  27120  chpp1  27121  chtdif  27124  prmorcht  27144  musum  27157  muinv  27159  logfaclbnd  27189  logfacbnd3  27190  logexprlim  27192  chtppilimlem1  27440  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  dchrisumlem3  27458  dchrisum  27459  dchrisum0fval  27472  dchrisum0ff  27474  dchrisum0flblem1  27475  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0  27487  mulog2sumlem1  27501  2vmadivsumlem  27507  log2sumbnd  27511  logdivbnd  27523  selberg3lem1  27524  pntrsumbnd  27533  pntrsumbnd2  27534  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem4  27547  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntlemf  27572  brcgr  28973  axlowdimlem16  29030  eengv  29052  finsumvtxdg2sstep  29623  eulerpartlemgs2  34537  signsvfn  34739  fsum2dsub  34764  reprval  34767  reprsuc  34772  hashrepr  34782  chpvalz  34785  chtvalz  34786  breprexplema  34787  breprexplemc  34789  breprexp  34790  breprexpnat  34791  vtsval  34794  circlemeth  34797  hgt750lemb  34813  hgt750lema  34814  tgoldbachgtda  34818  tgoldbachgt  34820  subfacval2  35381  subfaclim  35382  bccolsum  35933  sumeq12sdv  36411  knoppndvlem6  36717  mettrifi  37958  rrncmslem  38033  sticksstones6  42405  sticksstones7  42406  sticksstones8  42407  sticksstones9  42408  sticksstones10  42409  sticksstones11  42410  sticksstones12a  42411  sticksstones12  42412  sticksstones16  42416  unitscyglem2  42450  unitscyglem4  42452  fzosumm1  42505  fz1sump1  42565  sumcubes  42568  k0004val  44391  binomcxplemnn0  44590  fsumnncl  45818  fsumiunss  45821  fsumsermpt  45825  sumnnodd  45876  dvnmul  46187  dvnprodlem3  46192  itgspltprt  46223  stoweidlem17  46261  stoweidlem20  46264  stirlinglem12  46329  dirkertrigeqlem1  46342  dirkertrigeqlem3  46344  fourierdlem83  46433  fourierdlem112  46462  fourierdlem113  46463  elaa2lem  46477  etransclem32  46510  sge00  46620  sge0iunmptlemre  46659  sge0reuzb  46692  meaiuninclem  46724  carageniuncllem1  46765  hoidmvlelem3  46841  nnsum3primes4  48034  nnsum3primesprm  48036  nnsum3primesgbe  48038  nnsum4primesodd  48042  nnsum4primesoddALTV  48043  wtgoldbnnsum4prm  48048  bgoldbnnsum3prm  48050  altgsumbcALT  48599  nn0sumshdiglemA  48865  nn0sumshdiglemB  48866  nn0sumshdiglem1  48867  nn0sumshdiglem2  48868