Theorem sumeq1d 15050

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 15037	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-iota 6283  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-seq 13365  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  15055  sumeq12rdv  15056  fsumf1o  15072  sumss  15073  fsumcllem  15081  fsum1  15094  fzosump1  15099  fsump1  15103  fsum2d  15118  fsumcom2  15121  fsumshftm  15128  fsumrev2  15129  telfsumo  15149  telfsum  15151  telfsum2  15152  fsumparts  15153  fsumiun  15168  bcxmas  15182  incexclem  15183  incexc2  15185  isumsplit  15187  isum1p  15188  arisum  15207  arisum2  15208  geoser  15214  pwdif  15215  geolim  15218  geo2sum2  15222  mertenslem1  15232  mertenslem2  15233  mertens  15234  bpolydiflem  15400  efcvgfsum  15431  fprodefsum  15440  eftlub  15454  effsumlt  15456  eirrlem  15549  pwp1fsum  15732  bitsinv1  15781  bitsinvp1  15788  pcfac  16225  prmreclem4  16245  prmreclem6  16247  ovoliunlem1  24106  uniioombllem3  24189  itg11  24295  dvfsumlem1  24629  dvfsumlem4  24632  dvfsum2  24637  elplyr  24798  coeeu  24822  coeeq  24824  plyco  24838  0dgrb  24843  dvply2g  24881  vieta1lem2  24907  vieta1  24908  aaliou3lem5  24943  aaliou3lem6  24944  aaliou3lem7  24945  taylpfval  24960  pserdvlem2  25023  abelthlem6  25031  logfac  25192  advlogexp  25246  emcllem2  25582  emcllem3  25583  emcllem7  25587  harmonicbnd  25589  harmonicbnd2  25590  harmonicbnd3  25593  harmonicbnd4  25596  chtval  25695  chpval  25707  chtfl  25734  chpfl  25735  chtprm  25738  chtnprm  25739  chpp1  25740  chtdif  25743  prmorcht  25763  musum  25776  muinv  25778  logfaclbnd  25806  logfacbnd3  25807  logexprlim  25809  chtppilimlem1  26057  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrisumlem1  26073  dchrisumlem2  26074  dchrisumlem3  26075  dchrisum  26076  dchrisum0fval  26089  dchrisum0ff  26091  dchrisum0flblem1  26092  dchrisum0lem2  26102  dchrisum0  26104  mulog2sumlem1  26118  2vmadivsumlem  26124  log2sumbnd  26128  logdivbnd  26140  selberg3lem1  26141  pntrsumbnd  26150  pntrsumbnd2  26151  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem4  26164  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntlemf  26189  brcgr  26694  axlowdimlem16  26751  eengv  26773  finsumvtxdg2sstep  27339  eulerpartlemgs2  31748  signsvfn  31962  fsum2dsub  31988  reprval  31991  reprsuc  31996  hashrepr  32006  chpvalz  32009  chtvalz  32010  breprexplema  32011  breprexplemc  32013  breprexp  32014  breprexpnat  32015  vtsval  32018  circlemeth  32021  hgt750lemb  32037  hgt750lema  32038  tgoldbachgtda  32042  tgoldbachgt  32044  subfacval2  32547  subfaclim  32548  bccolsum  33084  knoppndvlem6  33969  mettrifi  35195  rrncmslem  35270  fzosumm1  39421  k0004val  40853  binomcxplemnn0  41053  fsumnncl  42213  fsumsplit1  42214  fsumiunss  42217  fsumsermpt  42221  sumnnodd  42272  dvnmul  42585  dvnprodlem3  42590  itgspltprt  42621  stoweidlem17  42659  stoweidlem20  42662  stirlinglem12  42727  dirkertrigeqlem1  42740  dirkertrigeqlem3  42742  fourierdlem83  42831  fourierdlem112  42860  fourierdlem113  42861  elaa2lem  42875  etransclem32  42908  sge00  43015  sge0iunmptlemre  43054  sge0reuzb  43087  meaiuninclem  43119  carageniuncllem1  43160  hoidmvlelem3  43236  nnsum3primes4  44306  nnsum3primesprm  44308  nnsum3primesgbe  44310  nnsum4primesodd  44314  nnsum4primesoddALTV  44315  wtgoldbnnsum4prm  44320  bgoldbnnsum3prm  44322  altgsumbcALT  44755  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034  nn0sumshdiglem1  45035  nn0sumshdiglem2  45036