Theorem sumeq1d 15673

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sumeq1 15662	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-xp 5647  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-iota 6467  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-seq 13974  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  15679  sumeq12rdv  15680  fsumf1o  15696  sumss  15697  fsumcllem  15705  fsumsplit1  15718  fsum1  15720  fzosump1  15725  fsump1  15729  fsum2d  15744  fsumcom2  15747  fsumshftm  15754  fsumrev2  15755  telfsumo  15775  telfsum  15777  telfsum2  15778  fsumparts  15779  fsumiun  15794  bcxmas  15808  incexclem  15809  incexc2  15811  isumsplit  15813  isum1p  15814  arisum  15833  arisum2  15834  geoser  15840  pwdif  15841  geolim  15843  geo2sum2  15847  mertenslem1  15857  mertenslem2  15858  mertens  15859  bpolydiflem  16027  efcvgfsum  16059  fprodefsum  16068  eftlub  16084  effsumlt  16086  eirrlem  16179  pwp1fsum  16368  bitsinv1  16419  bitsinvp1  16426  pcfac  16877  prmreclem4  16897  prmreclem6  16899  ovoliunlem1  25410  uniioombllem3  25493  itg11  25599  dvfsumlem1  25939  dvfsumlem4  25943  dvfsum2  25948  elplyr  26113  coeeu  26137  coeeq  26139  plyco  26153  0dgrb  26158  dvply2g  26199  dvply2gOLD  26200  vieta1lem2  26226  vieta1  26227  aaliou3lem5  26262  aaliou3lem6  26263  aaliou3lem7  26264  taylpfval  26279  pserdvlem2  26345  abelthlem6  26353  logfac  26517  advlogexp  26571  emcllem2  26914  emcllem3  26915  emcllem7  26919  harmonicbnd  26921  harmonicbnd2  26922  harmonicbnd3  26925  harmonicbnd4  26928  chtval  27027  chpval  27039  chtfl  27066  chpfl  27067  chtprm  27070  chtnprm  27071  chpp1  27072  chtdif  27075  prmorcht  27095  musum  27108  muinv  27110  logfaclbnd  27140  logfacbnd3  27141  logexprlim  27143  chtppilimlem1  27391  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrisumlem1  27407  dchrisumlem2  27408  dchrisumlem3  27409  dchrisum  27410  dchrisum0fval  27423  dchrisum0ff  27425  dchrisum0flblem1  27426  dchrisum0lem2  27436  dchrisum0  27438  mulog2sumlem1  27452  2vmadivsumlem  27458  log2sumbnd  27462  logdivbnd  27474  selberg3lem1  27475  pntrsumbnd  27484  pntrsumbnd2  27485  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem4  27498  pntpbnd1  27504  pntpbnd2  27505  pntlemf  27523  brcgr  28834  axlowdimlem16  28891  eengv  28913  finsumvtxdg2sstep  29484  eulerpartlemgs2  34378  signsvfn  34580  fsum2dsub  34605  reprval  34608  reprsuc  34613  hashrepr  34623  chpvalz  34626  chtvalz  34627  breprexplema  34628  breprexplemc  34630  breprexp  34631  breprexpnat  34632  vtsval  34635  circlemeth  34638  hgt750lemb  34654  hgt750lema  34655  tgoldbachgtda  34659  tgoldbachgt  34661  subfacval2  35181  subfaclim  35182  bccolsum  35733  sumeq12sdv  36212  knoppndvlem6  36512  mettrifi  37758  rrncmslem  37833  sticksstones6  42146  sticksstones7  42147  sticksstones8  42148  sticksstones9  42149  sticksstones10  42150  sticksstones11  42151  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  sticksstones16  42157  unitscyglem2  42191  unitscyglem4  42193  fzosumm1  42245  fz1sump1  42305  sumcubes  42308  k0004val  44146  binomcxplemnn0  44345  fsumnncl  45577  fsumiunss  45580  fsumsermpt  45584  sumnnodd  45635  dvnmul  45948  dvnprodlem3  45953  itgspltprt  45984  stoweidlem17  46022  stoweidlem20  46025  stirlinglem12  46090  dirkertrigeqlem1  46103  dirkertrigeqlem3  46105  fourierdlem83  46194  fourierdlem112  46223  fourierdlem113  46224  elaa2lem  46238  etransclem32  46271  sge00  46381  sge0iunmptlemre  46420  sge0reuzb  46453  meaiuninclem  46485  carageniuncllem1  46526  hoidmvlelem3  46602  nnsum3primes4  47793  nnsum3primesprm  47795  nnsum3primesgbe  47797  nnsum4primesodd  47801  nnsum4primesoddALTV  47802  wtgoldbnnsum4prm  47807  bgoldbnnsum3prm  47809  altgsumbcALT  48345  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613  nn0sumshdiglem1  48614  nn0sumshdiglem2  48615