Theorem sumeq2sdv 15416

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimivw 3104	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15414	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sumsplit  15480  fsumrlim  15523  hash2iun1dif1  15536  incexclem  15548  bpolylem  15758  bpolyval  15759  efval  15789  rpnnen2lem12  15934  pcfac  16600  ramcl  16730  cshwshashnsame  16805  fsumcn  24033  fsum2cn  24034  lebnumlem3  24126  rrxdsfival  24577  uniioombllem6  24752  itg1climres  24879  itgeq1f  24936  itgeq2  24942  dvmptfsum  25139  elplyr  25362  plyeq0lem  25371  plyadd  25378  plymul  25379  coeeu  25386  coelem  25387  coeeq  25388  coeidlem  25398  coeid  25399  coeid2  25400  plyco  25402  plycjlem  25437  aareccl  25486  taylply2  25527  pserdvlem2  25587  pserdv  25588  abelthlem6  25595  abelthlem9  25599  logtayl  25815  leibpi  26092  basellem3  26232  dchrvmasum2if  26645  dchrvmaeq0  26652  rpvmasum2  26660  dchrisum0re  26661  brcgr  27268  axsegcon  27295  dipfval  29064  ipval  29065  fsumiunle  31143  itgeq12dv  32293  eulerpartleme  32330  eulerpartlemr  32341  eulerpartlemn  32348  reprsum  32593  reprsuc  32595  reprpmtf1o  32606  vtsval  32617  iprodgam  33708  fwddifnval  34465  knoppndvlem6  34697  knoppf  34715  rrnmval  35986  fsumshftd  36966  fsumcnf  42564  mccl  43139  dvnmul  43484  dvmptfprod  43486  dvnprodlem1  43487  dvnprodlem3  43489  dvnprod  43490  stoweidlem17  43558  stoweidlem26  43567  stoweidlem30  43571  stoweidlem32  43573  dirkertrigeq  43642  dirkeritg  43643  fourierdlem83  43730  fourierdlem103  43750  etransclem11  43786  etransclem24  43799  etransclem26  43801  etransclem27  43802  etransclem28  43803  etransclem31  43806  etransclem35  43810  etransclem46  43821  etransclem47  43822  rrndistlt  43831  ioorrnopn  43846  sge0val  43904  hoiqssbllem2  44161  nnsum3primes4  45240  nnsum4primesodd  45248  nnsum4primesoddALTV  45249  nnsum4primesevenALTV  45253  nn0sumshdiglemB  45966  nn0sumshdiglem1  45967  aacllem  46505