Theorem sumeq2sdv 15654

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimivw 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15652	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  Σcsu 15636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-sum 15637

This theorem is referenced by:  sumsplit  15718  fsumrlim  15761  hash2iun1dif1  15774  incexclem  15786  bpolylem  15996  bpolyval  15997  efval  16027  rpnnen2lem12  16172  pcfac  16836  ramcl  16966  cshwshashnsame  17041  fsumcn  24608  fsum2cn  24609  lebnumlem3  24709  rrxdsfival  25161  uniioombllem6  25337  itg1climres  25464  itgeq1f  25521  itgeq2  25527  dvmptfsum  25727  elplyr  25950  plyeq0lem  25959  plyadd  25966  plymul  25967  coeeu  25974  coelem  25975  coeeq  25976  coeidlem  25986  coeid  25987  coeid2  25988  plyco  25990  plycjlem  26026  aareccl  26075  taylply2  26116  pserdvlem2  26176  pserdv  26177  abelthlem6  26184  abelthlem9  26188  logtayl  26404  leibpi  26683  basellem3  26823  dchrvmasum2if  27236  dchrvmaeq0  27243  rpvmasum2  27251  dchrisum0re  27252  brcgr  28425  axsegcon  28452  dipfval  30222  ipval  30223  fsumiunle  32302  itgeq12dv  33623  eulerpartleme  33660  eulerpartlemr  33671  eulerpartlemn  33678  reprsum  33923  reprsuc  33925  reprpmtf1o  33936  vtsval  33947  iprodgam  35016  fwddifnval  35439  knoppndvlem6  35696  knoppf  35714  rrnmval  36999  fsumshftd  38125  fsumcnf  44007  mccl  44612  dvnmul  44957  dvmptfprod  44959  dvnprodlem1  44960  dvnprodlem3  44962  dvnprod  44963  stoweidlem17  45031  stoweidlem26  45040  stoweidlem30  45044  stoweidlem32  45046  dirkertrigeq  45115  dirkeritg  45116  fourierdlem83  45203  fourierdlem103  45223  etransclem11  45259  etransclem24  45272  etransclem26  45274  etransclem27  45275  etransclem28  45276  etransclem31  45279  etransclem35  45283  etransclem46  45294  etransclem47  45295  rrndistlt  45304  ioorrnopn  45319  sge0val  45380  hoiqssbllem2  45637  nnsum3primes4  46754  nnsum4primesodd  46762  nnsum4primesoddALTV  46763  nnsum4primesevenALTV  46767  nn0sumshdiglemB  47393  nn0sumshdiglem1  47394  aacllem  47935