Theorem sumeq2sdv 14915

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimivw 3127	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 14913	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507  Σcsu 14897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-seq 13179  df-sum 14898

This theorem is referenced by:  sumsplit  14977  fsumrlim  15020  hash2iun1dif1  15033  incexclem  15045  pwm1geoserOLD  15079  bpolylem  15256  bpolyval  15257  efval  15287  rpnnen2lem12  15432  pcfac  16085  ramcl  16215  cshwshashnsame  16287  fsumcn  23175  fsum2cn  23176  lebnumlem3  23264  rrxdsfival  23713  uniioombllem6  23886  itg1climres  24012  itgeq1f  24069  itgeq2  24075  dvmptfsum  24269  elplyr  24488  plyeq0lem  24497  plyadd  24504  plymul  24505  coeeu  24512  coelem  24513  coeeq  24514  coeidlem  24524  coeid  24525  coeid2  24526  plyco  24528  plycjlem  24563  aareccl  24612  taylply2  24653  pserdvlem2  24713  pserdv  24714  abelthlem6  24721  abelthlem9  24725  logtayl  24938  leibpi  25216  basellem3  25356  dchrvmasum2if  25769  dchrvmaeq0  25776  rpvmasum2  25784  dchrisum0re  25785  brcgr  26383  axsegcon  26410  dipfval  28250  ipval  28251  fsumiunle  30292  itgeq12dv  31229  eulerpartleme  31266  eulerpartlemr  31277  eulerpartlemn  31284  reprsum  31532  reprsuc  31534  reprpmtf1o  31545  vtsval  31556  iprodgam  32494  fwddifnval  33145  knoppndvlem6  33376  knoppf  33394  rrnmval  34548  fsumshftd  35533  fsumcnf  40697  mccl  41310  dvnmul  41658  dvmptfprod  41660  dvnprodlem1  41661  dvnprodlem3  41663  dvnprod  41664  stoweidlem17  41733  stoweidlem26  41742  stoweidlem30  41746  stoweidlem32  41748  dirkertrigeq  41817  dirkeritg  41818  fourierdlem83  41905  fourierdlem103  41925  etransclem11  41961  etransclem24  41974  etransclem26  41976  etransclem27  41977  etransclem28  41978  etransclem31  41981  etransclem35  41985  etransclem46  41996  etransclem47  41997  rrndistlt  42006  ioorrnopn  42021  sge0val  42079  hoiqssbllem2  42336  nnsum3primes4  43321  nnsum4primesodd  43329  nnsum4primesoddALTV  43330  nnsum4primesevenALTV  43334  nn0sumshdiglemB  44048  nn0sumshdiglem1  44049  aacllem  44269