MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2sdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq2sdv 15053
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2sdv.1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumeq2sdv (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv
StepHypRef Expression
1 sumeq2sdv.1 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝐶)
21ralrimivw 3150 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 𝐶)
32sumeq2d 15051 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  Σcsu 15034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-sum 15035
This theorem is referenced by:  sumsplit  15115  fsumrlim  15158  hash2iun1dif1  15171  incexclem  15183  pwm1geoserOLD  15217  bpolylem  15394  bpolyval  15395  efval  15425  rpnnen2lem12  15570  pcfac  16225  ramcl  16355  cshwshashnsame  16429  fsumcn  23475  fsum2cn  23476  lebnumlem3  23568  rrxdsfival  24017  uniioombllem6  24192  itg1climres  24318  itgeq1f  24375  itgeq2  24381  dvmptfsum  24578  elplyr  24798  plyeq0lem  24807  plyadd  24814  plymul  24815  coeeu  24822  coelem  24823  coeeq  24824  coeidlem  24834  coeid  24835  coeid2  24836  plyco  24838  plycjlem  24873  aareccl  24922  taylply2  24963  pserdvlem2  25023  pserdv  25024  abelthlem6  25031  abelthlem9  25035  logtayl  25251  leibpi  25528  basellem3  25668  dchrvmasum2if  26081  dchrvmaeq0  26088  rpvmasum2  26096  dchrisum0re  26097  brcgr  26694  axsegcon  26721  dipfval  28485  ipval  28486  fsumiunle  30571  itgeq12dv  31694  eulerpartleme  31731  eulerpartlemr  31742  eulerpartlemn  31749  reprsum  31994  reprsuc  31996  reprpmtf1o  32007  vtsval  32018  iprodgam  33087  fwddifnval  33737  knoppndvlem6  33969  knoppf  33987  rrnmval  35266  fsumshftd  36248  fsumcnf  41648  mccl  42238  dvnmul  42583  dvmptfprod  42585  dvnprodlem1  42586  dvnprodlem3  42588  dvnprod  42589  stoweidlem17  42657  stoweidlem26  42666  stoweidlem30  42670  stoweidlem32  42672  dirkertrigeq  42741  dirkeritg  42742  fourierdlem83  42829  fourierdlem103  42849  etransclem11  42885  etransclem24  42898  etransclem26  42900  etransclem27  42901  etransclem28  42902  etransclem31  42905  etransclem35  42909  etransclem46  42920  etransclem47  42921  rrndistlt  42930  ioorrnopn  42945  sge0val  43003  hoiqssbllem2  43260  nnsum3primes4  44304  nnsum4primesodd  44312  nnsum4primesoddALTV  44313  nnsum4primesevenALTV  44317  nn0sumshdiglemB  45032  nn0sumshdiglem1  45033  aacllem  45327
  Copyright terms: Public domain W3C validator