Theorem sumeq2sdv 15655

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimivw 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15653	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  Σcsu 15637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-sum 15638

This theorem is referenced by:  sumsplit  15719  fsumrlim  15762  hash2iun1dif1  15775  incexclem  15787  bpolylem  15997  bpolyval  15998  efval  16028  rpnnen2lem12  16173  pcfac  16837  ramcl  16967  cshwshashnsame  17042  fsumcn  24609  fsum2cn  24610  lebnumlem3  24710  rrxdsfival  25162  uniioombllem6  25338  itg1climres  25465  itgeq1f  25522  itgeq2  25528  dvmptfsum  25728  elplyr  25951  plyeq0lem  25960  plyadd  25967  plymul  25968  coeeu  25975  coelem  25976  coeeq  25977  coeidlem  25987  coeid  25988  coeid2  25989  plyco  25991  plycjlem  26027  aareccl  26076  taylply2  26117  pserdvlem2  26177  pserdv  26178  abelthlem6  26185  abelthlem9  26189  logtayl  26405  leibpi  26684  basellem3  26824  dchrvmasum2if  27237  dchrvmaeq0  27244  rpvmasum2  27252  dchrisum0re  27253  brcgr  28426  axsegcon  28453  dipfval  30223  ipval  30224  fsumiunle  32303  itgeq12dv  33624  eulerpartleme  33661  eulerpartlemr  33672  eulerpartlemn  33679  reprsum  33924  reprsuc  33926  reprpmtf1o  33937  vtsval  33948  iprodgam  35017  fwddifnval  35440  knoppndvlem6  35697  knoppf  35715  rrnmval  37000  fsumshftd  38126  fsumcnf  44008  mccl  44613  dvnmul  44958  dvmptfprod  44960  dvnprodlem1  44961  dvnprodlem3  44963  dvnprod  44964  stoweidlem17  45032  stoweidlem26  45041  stoweidlem30  45045  stoweidlem32  45047  dirkertrigeq  45116  dirkeritg  45117  fourierdlem83  45204  fourierdlem103  45224  etransclem11  45260  etransclem24  45273  etransclem26  45275  etransclem27  45276  etransclem28  45277  etransclem31  45280  etransclem35  45284  etransclem46  45295  etransclem47  45296  rrndistlt  45305  ioorrnopn  45320  sge0val  45381  hoiqssbllem2  45638  nnsum3primes4  46755  nnsum4primesodd  46763  nnsum4primesoddALTV  46764  nnsum4primesevenALTV  46768  nn0sumshdiglemB  47394  nn0sumshdiglem1  47395  aacllem  47936