Theorem sumeq2sdv 15344

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimivw 3108	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15342	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  Σcsu 15325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  sumsplit  15408  fsumrlim  15451  hash2iun1dif1  15464  incexclem  15476  bpolylem  15686  bpolyval  15687  efval  15717  rpnnen2lem12  15862  pcfac  16528  ramcl  16658  cshwshashnsame  16733  fsumcn  23939  fsum2cn  23940  lebnumlem3  24032  rrxdsfival  24482  uniioombllem6  24657  itg1climres  24784  itgeq1f  24841  itgeq2  24847  dvmptfsum  25044  elplyr  25267  plyeq0lem  25276  plyadd  25283  plymul  25284  coeeu  25291  coelem  25292  coeeq  25293  coeidlem  25303  coeid  25304  coeid2  25305  plyco  25307  plycjlem  25342  aareccl  25391  taylply2  25432  pserdvlem2  25492  pserdv  25493  abelthlem6  25500  abelthlem9  25504  logtayl  25720  leibpi  25997  basellem3  26137  dchrvmasum2if  26550  dchrvmaeq0  26557  rpvmasum2  26565  dchrisum0re  26566  brcgr  27171  axsegcon  27198  dipfval  28965  ipval  28966  fsumiunle  31045  itgeq12dv  32193  eulerpartleme  32230  eulerpartlemr  32241  eulerpartlemn  32248  reprsum  32493  reprsuc  32495  reprpmtf1o  32506  vtsval  32517  iprodgam  33614  fwddifnval  34392  knoppndvlem6  34624  knoppf  34642  rrnmval  35913  fsumshftd  36893  fsumcnf  42453  mccl  43029  dvnmul  43374  dvmptfprod  43376  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem3  43379  dvnprod  43380  stoweidlem17  43448  stoweidlem26  43457  stoweidlem30  43461  stoweidlem32  43463  dirkertrigeq  43532  dirkeritg  43533  fourierdlem83  43620  fourierdlem103  43640  etransclem11  43676  etransclem24  43689  etransclem26  43691  etransclem27  43692  etransclem28  43693  etransclem31  43696  etransclem35  43700  etransclem46  43711  etransclem47  43712  rrndistlt  43721  ioorrnopn  43736  sge0val  43794  hoiqssbllem2  44051  nnsum3primes4  45128  nnsum4primesodd  45136  nnsum4primesoddALTV  45137  nnsum4primesevenALTV  45141  nn0sumshdiglemB  45854  nn0sumshdiglem1  45855  aacllem  46391