Theorem sumeq2sdv 15650

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimivw 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15648	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  Σcsu 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  sumsplit  15714  fsumrlim  15757  hash2iun1dif1  15770  incexclem  15782  bpolylem  15992  bpolyval  15993  efval  16023  rpnnen2lem12  16168  pcfac  16832  ramcl  16962  cshwshashnsame  17037  fsumcn  24386  fsum2cn  24387  lebnumlem3  24479  rrxdsfival  24930  uniioombllem6  25105  itg1climres  25232  itgeq1f  25289  itgeq2  25295  dvmptfsum  25492  elplyr  25715  plyeq0lem  25724  plyadd  25731  plymul  25732  coeeu  25739  coelem  25740  coeeq  25741  coeidlem  25751  coeid  25752  coeid2  25753  plyco  25755  plycjlem  25790  aareccl  25839  taylply2  25880  pserdvlem2  25940  pserdv  25941  abelthlem6  25948  abelthlem9  25952  logtayl  26168  leibpi  26447  basellem3  26587  dchrvmasum2if  27000  dchrvmaeq0  27007  rpvmasum2  27015  dchrisum0re  27016  brcgr  28158  axsegcon  28185  dipfval  29955  ipval  29956  fsumiunle  32035  itgeq12dv  33325  eulerpartleme  33362  eulerpartlemr  33373  eulerpartlemn  33380  reprsum  33625  reprsuc  33627  reprpmtf1o  33638  vtsval  33649  iprodgam  34712  fwddifnval  35135  knoppndvlem6  35393  knoppf  35411  rrnmval  36696  fsumshftd  37822  fsumcnf  43705  mccl  44314  dvnmul  44659  dvmptfprod  44661  dvnprodlem1  44662  dvnprodlem3  44664  dvnprod  44665  stoweidlem17  44733  stoweidlem26  44742  stoweidlem30  44746  stoweidlem32  44748  dirkertrigeq  44817  dirkeritg  44818  fourierdlem83  44905  fourierdlem103  44925  etransclem11  44961  etransclem24  44974  etransclem26  44976  etransclem27  44977  etransclem28  44978  etransclem31  44981  etransclem35  44985  etransclem46  44996  etransclem47  44997  rrndistlt  45006  ioorrnopn  45021  sge0val  45082  hoiqssbllem2  45339  nnsum3primes4  46456  nnsum4primesodd  46464  nnsum4primesoddALTV  46465  nnsum4primesevenALTV  46469  nn0sumshdiglemB  47306  nn0sumshdiglem1  47307  aacllem  47848