Theorem sumeq2sdv 15061

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimivw 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15059	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  sumsplit  15123  fsumrlim  15166  hash2iun1dif1  15179  incexclem  15191  pwm1geoserOLD  15225  bpolylem  15402  bpolyval  15403  efval  15433  rpnnen2lem12  15578  pcfac  16235  ramcl  16365  cshwshashnsame  16437  fsumcn  23478  fsum2cn  23479  lebnumlem3  23567  rrxdsfival  24016  uniioombllem6  24189  itg1climres  24315  itgeq1f  24372  itgeq2  24378  dvmptfsum  24572  elplyr  24791  plyeq0lem  24800  plyadd  24807  plymul  24808  coeeu  24815  coelem  24816  coeeq  24817  coeidlem  24827  coeid  24828  coeid2  24829  plyco  24831  plycjlem  24866  aareccl  24915  taylply2  24956  pserdvlem2  25016  pserdv  25017  abelthlem6  25024  abelthlem9  25028  logtayl  25243  leibpi  25520  basellem3  25660  dchrvmasum2if  26073  dchrvmaeq0  26080  rpvmasum2  26088  dchrisum0re  26089  brcgr  26686  axsegcon  26713  dipfval  28479  ipval  28480  fsumiunle  30545  itgeq12dv  31584  eulerpartleme  31621  eulerpartlemr  31632  eulerpartlemn  31639  reprsum  31884  reprsuc  31886  reprpmtf1o  31897  vtsval  31908  iprodgam  32974  fwddifnval  33624  knoppndvlem6  33856  knoppf  33874  rrnmval  35121  fsumshftd  36103  fsumcnf  41298  mccl  41899  dvnmul  42248  dvmptfprod  42250  dvnprodlem1  42251  dvnprodlem3  42253  dvnprod  42254  stoweidlem17  42322  stoweidlem26  42331  stoweidlem30  42335  stoweidlem32  42337  dirkertrigeq  42406  dirkeritg  42407  fourierdlem83  42494  fourierdlem103  42514  etransclem11  42550  etransclem24  42563  etransclem26  42565  etransclem27  42566  etransclem28  42567  etransclem31  42570  etransclem35  42574  etransclem46  42585  etransclem47  42586  rrndistlt  42595  ioorrnopn  42610  sge0val  42668  hoiqssbllem2  42925  nnsum3primes4  43973  nnsum4primesodd  43981  nnsum4primesoddALTV  43982  nnsum4primesevenALTV  43986  nn0sumshdiglemB  44700  nn0sumshdiglem1  44701  aacllem  44922