Theorem wunmap 10482

Description: A weak universe is closed under mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunmap	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		wunop.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunpm 10481	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)
5		mapsspm 8664	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	1, 4, 6	wunss 10468	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615   ↑_pm cpm 8616  WUnicwun 10456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617  df-pm 8618  df-wun 10458

This theorem is referenced by:  wunf  10483  tskmap  10544  wunfunc  17614  wunfuncOLD  17615  wunnat  17672  wunnatOLD  17673  catcfuccl  17834  catcfucclOLD  17835