Theorem wunmap 10575

Description: A weak universe is closed under mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunmap	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		wunop.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunpm 10574	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)
5		mapsspm 8727	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	1, 4, 6	wunss 10561	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3897  (class class class)co 7329   ↑_m cmap 8678   ↑_pm cpm 8679  WUnicwun 10549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-map 8680  df-pm 8681  df-wun 10551

This theorem is referenced by:  wunf  10576  tskmap  10637  wunfunc  17703  wunfuncOLD  17704  wunnat  17761  wunnatOLD  17762  catcfuccl  17923  catcfucclOLD  17924