Theorem wunmap 10640

Description: A weak universe is closed under mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunmap	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		wunop.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunpm 10639	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)
5		mapsspm 8817	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	1, 4, 6	wunss 10626	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑m 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766   ↑_pm cpm 8767  WUnicwun 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8768  df-pm 8769  df-wun 10616

This theorem is referenced by:  wunf  10641  tskmap  10702  wunfunc  17859  wunnat  17917  catcfuccl  18076