Theorem wunstr 16253

Description: Closure of a structure index in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
wunstr.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunstr.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunstr	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunstr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunstr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunrn 9873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wununi 9850	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 ∈ 𝑈)
5		ndxarg.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6	5	strfvss 16252	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆)
8	1, 4, 7	wunss 9856	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ∪ cuni 4660  ran crn 5347  ‘cfv 6127  WUnicwun 9844  Slot cslot 16228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fv 6135  df-wun 9846  df-slot 16233

This theorem is referenced by:  wunress  16311  1strwun  16348  wunfunc  16918  wunnat  16975  catcoppccl  17117  catcfuccl  17118  estrcbasbas  17130  catcxpccl  17207  ringcbasbas  42899  ringcbasbasALTV  42923