Theorem wunstr 17249

Description: Closure of a structure index in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvss.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
wunstr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunstr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunstr	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunstr.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunstr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunrn 10715	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wununi 10692	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 ∈ 𝑈)
5		strfvss.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6	5	strfvss 17248	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆)
8	1, 4, 7	wunss 10698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4873  ran crn 5664  ‘cfv 6538  WUnicwun 10686  Slot cslot 17242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-wun 10688  df-slot 17243

This theorem is referenced by:  basndxelwund  17281  wunress  17310  wunfunc  17959  wunnat  18017  catcslotelcl  18171  catcoppccl  18175  catcfuccl  18176  estrcbasbas  18188  catcxpccl  18264  ringcbasbas  20759  ringcbasbasALTV  49060