Theorem wunstr 17273

Description: Closure of a structure index in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvss.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
wunstr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunstr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunstr	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunstr.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunstr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunrn 10732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wununi 10709	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 ∈ 𝑈)
5		strfvss.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6	5	strfvss 17272	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆)
8	1, 4, 7	wunss 10715	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4877  ran crn 5667  ‘cfv 6543  WUnicwun 10703  Slot cslot 17266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-wun 10705  df-slot 17267

This theorem is used by:  basndxelwund  17305  wunress  17334  wunfunc  17983  wunnat  18041  catcslotelcl  18195  catcoppccl  18199  catcfuccl  18200  estrcbasbas  18212  catcxpccl  18288  ringcbasbas  20809  ringcbasbasALTV  49118