Theorem wunstr 17235

Description: Closure of a structure index in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvss.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
wunstr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunstr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunstr	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunstr.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunstr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunrn 10798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wununi 10775	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 ∈ 𝑈)
5		strfvss.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6	5	strfvss 17234	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆)
8	1, 4, 7	wunss 10781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  ran crn 5701  ‘cfv 6573  WUnicwun 10769  Slot cslot 17228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-wun 10771  df-slot 17229

This theorem is referenced by:  basndxelwund  17270  1strwunOLD  17279  wunress  17309  wunressOLD  17310  wunfunc  17965  wunfuncOLD  17966  wunnat  18024  wunnatOLD  18025  catcslotelcl  18180  catcoppccl  18184  catcoppcclOLD  18185  catcfuccl  18186  catcfucclOLD  18187  estrcbasbas  18199  catcxpccl  18276  catcxpcclOLD  18277  ringcbasbas  20695  ringcbasbasALTV  48035