Theorem wunstr 17127

Description: Closure of a structure index in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfvss.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
wunstr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunstr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunstr	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunstr.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunstr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunrn 10652	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wununi 10629	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 ∈ 𝑈)
5		strfvss.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6	5	strfvss 17126	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆)
8	1, 4, 7	wunss 10635	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ran crn 5633  ‘cfv 6500  WUnicwun 10623  Slot cslot 17120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-wun 10625  df-slot 17121

This theorem is referenced by:  basndxelwund  17159  wunress  17188  wunfunc  17837  wunnat  17895  catcslotelcl  18049  catcoppccl  18053  catcfuccl  18054  estrcbasbas  18066  catcxpccl  18142  ringcbasbas  20618  ringcbasbasALTV  48666