Theorem wunom 10649

Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wunom	⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
3	1	wunr1om 10648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4		r1funlim 9695	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
6	4	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
7		limomss 7827	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
9		funimass4 6907	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
10	5, 8, 9	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	3, 10	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
12	11	r19.21bi 3227	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
14	8, 13	sselid 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15		onssr1 9760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
17	2, 12, 16	wunss 10641	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ 𝑈)
18	17	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ 𝑈))
19	18	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  dom cdm 5631   “ cima 5634  Lim wlim 6321  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  ωcom 7822  𝑅₁cr1 9691  WUnicwun 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-r1 9693  df-rank 9694  df-wun 10631

This theorem is referenced by: (None)