Theorem wunom 10704

Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wunom	⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
3	1	wunr1om 10703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4		r1funlim 9737	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpli 488	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
6	4	simpri 490	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
7		limomss 7866	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
9		funimass4 6945	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
10	5, 8, 9	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	3, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
12	11	r19.21bi 3255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
13		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
14	8, 13	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15		onssr1 9802	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
17	2, 12, 16	wunss 10696	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ 𝑈)
18	17	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ 𝑈))
19	18	ssrdv 3942	1 ⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904  dom cdm 5661   “ cima 5664  Lim wlim 6361  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  ωcom 7861  𝑅₁cr1 9733  WUnicwun 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-r1 9735  df-rank 9736  df-wun 10686

This theorem is referenced by: (None)