Theorem wunom 10643

Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wunom	⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
3	1	wunr1om 10642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4		r1funlim 9690	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
6	4	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
7		limomss 7822	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
9		funimass4 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
10	5, 8, 9	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	3, 10	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
12	11	r19.21bi 3230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
14	8, 13	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15		onssr1 9755	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
17	2, 12, 16	wunss 10635	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ 𝑈)
18	17	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ 𝑈))
19	18	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  dom cdm 5631   “ cima 5634  Lim wlim 6325  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  ωcom 7817  𝑅₁cr1 9686  WUnicwun 10623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-r1 9688  df-rank 9689  df-wun 10625

This theorem is referenced by: (None)