MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunom 10655
Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wun0.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
Assertion
Ref Expression
wunom (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wun0.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
31wunr1om 10654 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4 r1funlim 9701 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
54simpli 484 . . . . . . 7 Fun 𝑅1
64simpri 486 . . . . . . . 8 Lim dom 𝑅1
7 limomss 7806 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ⊆ dom 𝑅1
9 funimass4 6907 . . . . . . 7 ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
105, 8, 9mp2an 690 . . . . . 6 ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
113, 10sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
1211r19.21bi 3234 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
13 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
148, 13sselid 3942 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15 onssr1 9766 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
172, 12, 16wunss 10647 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥𝑈)
1817ex 413 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥𝑈))
1918ssrdv 3950 1 (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3064  wss 3910  dom cdm 5633  cima 5636  Lim wlim 6318  Fun wfun 6490  cfv 6496  ωcom 7801  𝑅1cr1 9697  WUnicwun 10635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-r1 9699  df-rank 9700  df-wun 10637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator