MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunom 10664
Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wun0.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
Assertion
Ref Expression
wunom (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wun0.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
21adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
31wunr1om 10663 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4 r1funlim 9710 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
54simpli 485 . . . . . . 7 Fun 𝑅1
64simpri 487 . . . . . . . 8 Lim dom 𝑅1
7 limomss 7811 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ⊆ dom 𝑅1
9 funimass4 6911 . . . . . . 7 ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
105, 8, 9mp2an 691 . . . . . 6 ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
113, 10sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
1211r19.21bi 3233 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
13 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
148, 13sselid 3946 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15 onssr1 9775 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
172, 12, 16wunss 10656 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥𝑈)
1817ex 414 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥𝑈))
1918ssrdv 3954 1 (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wral 3061  wss 3914  dom cdm 5637  cima 5640  Lim wlim 6322  Fun wfun 6494  cfv 6500  ωcom 7806  𝑅1cr1 9706  WUnicwun 10644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-r1 9708  df-rank 9709  df-wun 10646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator