Theorem wunom 10732

Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wunom	⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
3	1	wunr1om 10731	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4		r1funlim 9751	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpli 489	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
6	4	simpri 491	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
7		limomss 7870	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
9		funimass4 6946	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
10	5, 8, 9	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	3, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
12	11	r19.21bi 3256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
14	8, 13	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15		onssr1 9816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
17	2, 12, 16	wunss 10724	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ 𝑈)
18	17	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ 𝑈))
19	18	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  dom cdm 5659   “ cima 5662  Lim wlim 6362  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  ωcom 7865  𝑅₁cr1 9747  WUnicwun 10712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-r1 9749  df-rank 9750  df-wun 10714

This theorem is used by: (None)