MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunom 9743
Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wun0.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
Assertion
Ref Expression
wunom (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wun0.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
21adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
31wunr1om 9742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4 r1funlim 8792 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
54simpli 470 . . . . . . 7 Fun 𝑅1
64simpri 473 . . . . . . . 8 Lim dom 𝑅1
7 limomss 7216 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ⊆ dom 𝑅1
9 funimass4 6389 . . . . . . 7 ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
105, 8, 9mp2an 664 . . . . . 6 ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
113, 10sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
1211r19.21bi 3081 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
13 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
148, 13sseldi 3750 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15 onssr1 8857 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1𝑥))
172, 12, 16wunss 9735 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥𝑈)
1817ex 397 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥𝑈))
1918ssrdv 3758 1 (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  dom cdm 5249  cima 5252  Lim wlim 5867  Fun wfun 6025  cfv 6031  ωcom 7211  𝑅1cr1 8788  WUnicwun 9723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-r1 8790  df-rank 8791  df-wun 9725
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator