Theorem wunom 10632

Description: A weak universe contains all the finite ordinals, and hence is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wunom	⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wunom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑈 ∈ WUni)
3	1	wunr1om 10631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈)
4		r1funlim 9679	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
6	4	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ Lim dom 𝑅1
7		limomss 7813	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
9		funimass4 6896	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ ω ⊆ dom 𝑅1) → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
10	5, 8, 9	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	3, 10	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
12	11	r19.21bi 3230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
14	8, 13	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ dom 𝑅1)
15		onssr1 9744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
17	2, 12, 16	wunss 10624	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ 𝑈)
18	17	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ 𝑈))
19	18	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝜑 → ω ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  dom cdm 5622   “ cima 5625  Lim wlim 6316  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  ωcom 7808  𝑅₁cr1 9675  WUnicwun 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-r1 9677  df-rank 9678  df-wun 10614

This theorem is referenced by: (None)