MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncn 10584
Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wuncn (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 10535 . 2 ℂ = (R × R)
2 wuncn.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 df-nr 10470 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ni 10286 . . . . . . . . . . . 12 N = (ω ∖ {∅})
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 5wundif 10128 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
74, 6eqeltrid 2921 . . . . . . . . . . 11 (𝜑N𝑈)
82, 7, 7wunxp 10138 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9 elpqn 10339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
109ssriv 3974 . . . . . . . . . . 11 Q ⊆ (N × N)
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑Q ⊆ (N × N))
122, 8, 11wunss 10126 . . . . . . . . 9 (𝜑Q𝑈)
132, 12wunpw 10121 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 Q𝑈)
14 prpssnq 10404 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥P𝑥Q)
1514pssssd 4077 . . . . . . . . . . 11 (𝑥P𝑥Q)
16 velpw 4549 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 Q𝑥Q)
1715, 16sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (𝑥P𝑥 ∈ 𝒫 Q)
1817ssriv 3974 . . . . . . . . 9 P ⊆ 𝒫 Q
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑P ⊆ 𝒫 Q)
202, 13, 19wunss 10126 . . . . . . 7 (𝜑P𝑈)
212, 20, 20wunxp 10138 . . . . . 6 (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
222, 21wunpw 10121 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23 enrer 10477 . . . . . . 7 ~R Er (P × P)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ~R Er (P × P))
2524qsss 8351 . . . . 5 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
262, 22, 25wunss 10126 . . . 4 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
273, 26eqeltrid 2921 . . 3 (𝜑R𝑈)
282, 27, 27wunxp 10138 . 2 (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
291, 28eqeltrid 2921 1 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  cdif 3936  wss 3939  c0 4294  𝒫 cpw 4541  {csn 4563   × cxp 5551  ωcom 7571   Er wer 8279   / cqs 8281  WUnicwun 10114  Ncnpi 10258  Qcnq 10266  Pcnp 10273   ~R cer 10278  Rcnr 10279  cc 10527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-ec 8284  df-qs 8288  df-wun 10116  df-ni 10286  df-pli 10287  df-mi 10288  df-lti 10289  df-plpq 10322  df-mpq 10323  df-ltpq 10324  df-enq 10325  df-nq 10326  df-erq 10327  df-plq 10328  df-mq 10329  df-1nq 10330  df-rq 10331  df-ltnq 10332  df-np 10395  df-plp 10397  df-ltp 10399  df-enr 10469  df-nr 10470  df-c 10535
This theorem is referenced by:  wunndx  16496
  Copyright terms: Public domain W3C validator