MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncn 10580
Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wuncn (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 10531 . 2 ℂ = (R × R)
2 wuncn.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 df-nr 10466 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ni 10282 . . . . . . . . . . . 12 N = (ω ∖ {∅})
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 5wundif 10124 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
74, 6eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑N𝑈)
82, 7, 7wunxp 10134 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9 elpqn 10335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
109ssriv 3968 . . . . . . . . . . 11 Q ⊆ (N × N)
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑Q ⊆ (N × N))
122, 8, 11wunss 10122 . . . . . . . . 9 (𝜑Q𝑈)
132, 12wunpw 10117 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 Q𝑈)
14 prpssnq 10400 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥P𝑥Q)
1514pssssd 4071 . . . . . . . . . . 11 (𝑥P𝑥Q)
16 velpw 4543 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 Q𝑥Q)
1715, 16sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (𝑥P𝑥 ∈ 𝒫 Q)
1817ssriv 3968 . . . . . . . . 9 P ⊆ 𝒫 Q
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑P ⊆ 𝒫 Q)
202, 13, 19wunss 10122 . . . . . . 7 (𝜑P𝑈)
212, 20, 20wunxp 10134 . . . . . 6 (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
222, 21wunpw 10117 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23 enrer 10473 . . . . . . 7 ~R Er (P × P)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ~R Er (P × P))
2524qsss 8347 . . . . 5 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
262, 22, 25wunss 10122 . . . 4 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
273, 26eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑R𝑈)
282, 27, 27wunxp 10134 . 2 (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
291, 28eqeltrid 2914 1 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   × cxp 5546  ωcom 7569   Er wer 8275   / cqs 8277  WUnicwun 10110  Ncnpi 10254  Qcnq 10262  Pcnp 10269   ~R cer 10274  Rcnr 10275  cc 10523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-wun 10112  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-mpq 10319  df-ltpq 10320  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-rq 10327  df-ltnq 10328  df-np 10391  df-plp 10393  df-ltp 10395  df-enr 10465  df-nr 10466  df-c 10531
This theorem is referenced by:  wunndx  16492
  Copyright terms: Public domain W3C validator