Theorem wuncn 11184

Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncn.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuncn	⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 11135	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		wuncn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3		df-nr 11070	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
4		df-ni 10886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
5		wuncn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6	2, 5	wundif 10728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
7	4, 6	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → N ∈ 𝑈)
8	2, 7, 7	wunxp 10738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9		elpqn 10939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
10	9	ssriv 3962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Q ⊆ (N × N)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Q ⊆ (N × N))
12	2, 8, 11	wunss 10726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Q ∈ 𝑈)
13	2, 12	wunpw 10721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 Q ∈ 𝑈)
14		prpssnq 11004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ⊊ Q)
15	14	pssssd 4075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ⊆ Q)
16		velpw 4580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 Q ↔ 𝑥 ⊆ Q)
17	15, 16	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ∈ 𝒫 Q)
18	17	ssriv 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → P ⊆ 𝒫 Q)
20	2, 13, 19	wunss 10726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → P ∈ 𝑈)
21	2, 20, 20	wunxp 10738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
22	2, 21	wunpw 10721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23		enrer 11077	. . . . . . 7 ⊢ ~R Er (P × P)
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ~R Er (P × P))
25	24	qsss 8792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
26	2, 22, 25	wunss 10726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
27	3, 26	eqeltrid 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → R ∈ 𝑈)
28	2, 27, 27	wunxp 10738	. 2 ⊢ (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
29	1, 28	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  {csn 4601   × cxp 5652  ωcom 7861   Er wer 8716   / cqs 8718  WUnicwun 10714  Ncnpi 10858  Qcnq 10866  Pcnp 10873   ~_R cer 10878  Rcnr 10879  ℂcc 11127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-wun 10716  df-ni 10886  df-pli 10887  df-mi 10888  df-lti 10889  df-plpq 10922  df-mpq 10923  df-ltpq 10924  df-enq 10925  df-nq 10926  df-erq 10927  df-plq 10928  df-mq 10929  df-1nq 10930  df-rq 10931  df-ltnq 10932  df-np 10995  df-plp 10997  df-ltp 10999  df-enr 11069  df-nr 11070  df-c 11135

This theorem is referenced by:  wunndx  17214