Theorem wuncn 11084

Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncn.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuncn	⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 11035	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		wuncn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3		df-nr 10970	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
4		df-ni 10786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
5		wuncn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6	2, 5	wundif 10628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
7	4, 6	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → N ∈ 𝑈)
8	2, 7, 7	wunxp 10638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9		elpqn 10839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
10	9	ssriv 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Q ⊆ (N × N)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Q ⊆ (N × N))
12	2, 8, 11	wunss 10626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Q ∈ 𝑈)
13	2, 12	wunpw 10621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 Q ∈ 𝑈)
14		prpssnq 10904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ⊊ Q)
15	14	pssssd 4031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ⊆ Q)
16		velpw 4534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 Q ↔ 𝑥 ⊆ Q)
17	15, 16	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ∈ 𝒫 Q)
18	17	ssriv 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → P ⊆ 𝒫 Q)
20	2, 13, 19	wunss 10626	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → P ∈ 𝑈)
21	2, 20, 20	wunxp 10638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
22	2, 21	wunpw 10621	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23		enrer 10977	. . . . . . 7 ⊢ ~R Er (P × P)
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ~R Er (P × P))
25	24	qsss 8712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
26	2, 22, 25	wunss 10626	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
27	3, 26	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → R ∈ 𝑈)
28	2, 27, 27	wunxp 10638	. 2 ⊢ (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
29	1, 28	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {csn 4555   × cxp 5616  ωcom 7806   Er wer 8630   / cqs 8632  WUnicwun 10614  Ncnpi 10758  Qcnq 10766  Pcnp 10773   ~_R cer 10778  Rcnr 10779  ℂcc 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-wun 10616  df-ni 10786  df-pli 10787  df-mi 10788  df-lti 10789  df-plpq 10822  df-mpq 10823  df-ltpq 10824  df-enq 10825  df-nq 10826  df-erq 10827  df-plq 10828  df-mq 10829  df-1nq 10830  df-rq 10831  df-ltnq 10832  df-np 10895  df-plp 10897  df-ltp 10899  df-enr 10969  df-nr 10970  df-c 11035

This theorem is referenced by:  wunndx  17156