MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncn 10244
Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wuncn (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 10195 . 2 ℂ = (R × R)
2 wuncn.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 df-nr 10131 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ni 9947 . . . . . . . . . . . 12 N = (ω ∖ {∅})
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 5wundif 9789 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
74, 6syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑N𝑈)
82, 7, 7wunxp 9799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9 elpqn 10000 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
109ssriv 3765 . . . . . . . . . . 11 Q ⊆ (N × N)
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑Q ⊆ (N × N))
122, 8, 11wunss 9787 . . . . . . . . 9 (𝜑Q𝑈)
132, 12wunpw 9782 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 Q𝑈)
14 prpssnq 10065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥P𝑥Q)
1514pssssd 3865 . . . . . . . . . . 11 (𝑥P𝑥Q)
16 selpw 4322 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 Q𝑥Q)
1715, 16sylibr 225 . . . . . . . . . 10 (𝑥P𝑥 ∈ 𝒫 Q)
1817ssriv 3765 . . . . . . . . 9 P ⊆ 𝒫 Q
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑P ⊆ 𝒫 Q)
202, 13, 19wunss 9787 . . . . . . 7 (𝜑P𝑈)
212, 20, 20wunxp 9799 . . . . . 6 (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
222, 21wunpw 9782 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23 enrer 10139 . . . . . . 7 ~R Er (P × P)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ~R Er (P × P))
2524qsss 8011 . . . . 5 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
262, 22, 25wunss 9787 . . . 4 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
273, 26syl5eqel 2848 . . 3 (𝜑R𝑈)
282, 27, 27wunxp 9799 . 2 (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
291, 28syl5eqel 2848 1 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155  cdif 3729  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   × cxp 5275  ωcom 7263   Er wer 7944   / cqs 7946  WUnicwun 9775  Ncnpi 9919  Qcnq 9927  Pcnp 9934   ~R cer 9939  Rcnr 9940  cc 10187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-wun 9777  df-ni 9947  df-pli 9948  df-mi 9949  df-lti 9950  df-plpq 9983  df-mpq 9984  df-ltpq 9985  df-enq 9986  df-nq 9987  df-erq 9988  df-plq 9989  df-mq 9990  df-1nq 9991  df-rq 9992  df-ltnq 9993  df-np 10056  df-plp 10058  df-ltp 10060  df-enr 10130  df-nr 10131  df-c 10195
This theorem is referenced by:  wunndx  16151
  Copyright terms: Public domain W3C validator