MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncn 11164
Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wuncn (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 11115 . 2 ℂ = (R × R)
2 wuncn.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 df-nr 11050 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ni 10866 . . . . . . . . . . . 12 N = (ω ∖ {∅})
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 5wundif 10708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
74, 6eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑N𝑈)
82, 7, 7wunxp 10718 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9 elpqn 10919 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
109ssriv 3986 . . . . . . . . . . 11 Q ⊆ (N × N)
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑Q ⊆ (N × N))
122, 8, 11wunss 10706 . . . . . . . . 9 (𝜑Q𝑈)
132, 12wunpw 10701 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 Q𝑈)
14 prpssnq 10984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥P𝑥Q)
1514pssssd 4097 . . . . . . . . . . 11 (𝑥P𝑥Q)
16 velpw 4607 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 Q𝑥Q)
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑥P𝑥 ∈ 𝒫 Q)
1817ssriv 3986 . . . . . . . . 9 P ⊆ 𝒫 Q
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑P ⊆ 𝒫 Q)
202, 13, 19wunss 10706 . . . . . . 7 (𝜑P𝑈)
212, 20, 20wunxp 10718 . . . . . 6 (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
222, 21wunpw 10701 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23 enrer 11057 . . . . . . 7 ~R Er (P × P)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ~R Er (P × P))
2524qsss 8771 . . . . 5 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
262, 22, 25wunss 10706 . . . 4 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
273, 26eqeltrid 2837 . . 3 (𝜑R𝑈)
282, 27, 27wunxp 10718 . 2 (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
291, 28eqeltrid 2837 1 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  cdif 3945  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   × cxp 5674  ωcom 7854   Er wer 8699   / cqs 8701  WUnicwun 10694  Ncnpi 10838  Qcnq 10846  Pcnp 10853   ~R cer 10858  Rcnr 10859  cc 11107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-wun 10696  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-plp 10977  df-ltp 10979  df-enr 11049  df-nr 11050  df-c 11115
This theorem is referenced by:  wunndx  17127
  Copyright terms: Public domain W3C validator