MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncn 11065
Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wuncn (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 11016 . 2 ℂ = (R × R)
2 wuncn.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 df-nr 10951 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ni 10767 . . . . . . . . . . . 12 N = (ω ∖ {∅})
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 5wundif 10609 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
74, 6eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑N𝑈)
82, 7, 7wunxp 10619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9 elpqn 10820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
109ssriv 3947 . . . . . . . . . . 11 Q ⊆ (N × N)
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑Q ⊆ (N × N))
122, 8, 11wunss 10607 . . . . . . . . 9 (𝜑Q𝑈)
132, 12wunpw 10602 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 Q𝑈)
14 prpssnq 10885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥P𝑥Q)
1514pssssd 4056 . . . . . . . . . . 11 (𝑥P𝑥Q)
16 velpw 4564 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 Q𝑥Q)
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑥P𝑥 ∈ 𝒫 Q)
1817ssriv 3947 . . . . . . . . 9 P ⊆ 𝒫 Q
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑P ⊆ 𝒫 Q)
202, 13, 19wunss 10607 . . . . . . 7 (𝜑P𝑈)
212, 20, 20wunxp 10619 . . . . . 6 (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
222, 21wunpw 10602 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23 enrer 10958 . . . . . . 7 ~R Er (P × P)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ~R Er (P × P))
2524qsss 8676 . . . . 5 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
262, 22, 25wunss 10607 . . . 4 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
273, 26eqeltrid 2843 . . 3 (𝜑R𝑈)
282, 27, 27wunxp 10619 . 2 (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
291, 28eqeltrid 2843 1 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cdif 3906  wss 3909  c0 4281  𝒫 cpw 4559  {csn 4585   × cxp 5630  ωcom 7795   Er wer 8604   / cqs 8606  WUnicwun 10595  Ncnpi 10739  Qcnq 10747  Pcnp 10754   ~R cer 10759  Rcnr 10760  cc 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8607  df-ec 8609  df-qs 8613  df-wun 10597  df-ni 10767  df-pli 10768  df-mi 10769  df-lti 10770  df-plpq 10803  df-mpq 10804  df-ltpq 10805  df-enq 10806  df-nq 10807  df-erq 10808  df-plq 10809  df-mq 10810  df-1nq 10811  df-rq 10812  df-ltnq 10813  df-np 10876  df-plp 10878  df-ltp 10880  df-enr 10950  df-nr 10951  df-c 11016
This theorem is referenced by:  wunndx  17027
  Copyright terms: Public domain W3C validator