MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncn 11113
Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncn.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wuncn (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn
StepHypRef Expression
1 df-c 11064 . 2 ℂ = (R × R)
2 wuncn.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 df-nr 10999 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ni 10815 . . . . . . . . . . . 12 N = (ω ∖ {∅})
5 wuncn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
62, 5wundif 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
74, 6eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑N𝑈)
82, 7, 7wunxp 10667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9 elpqn 10868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q𝑥 ∈ (N × N))
109ssriv 3953 . . . . . . . . . . 11 Q ⊆ (N × N)
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑Q ⊆ (N × N))
122, 8, 11wunss 10655 . . . . . . . . 9 (𝜑Q𝑈)
132, 12wunpw 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 Q𝑈)
14 prpssnq 10933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥P𝑥Q)
1514pssssd 4062 . . . . . . . . . . 11 (𝑥P𝑥Q)
16 velpw 4570 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 Q𝑥Q)
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑥P𝑥 ∈ 𝒫 Q)
1817ssriv 3953 . . . . . . . . 9 P ⊆ 𝒫 Q
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑P ⊆ 𝒫 Q)
202, 13, 19wunss 10655 . . . . . . 7 (𝜑P𝑈)
212, 20, 20wunxp 10667 . . . . . 6 (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
222, 21wunpw 10650 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23 enrer 11006 . . . . . . 7 ~R Er (P × P)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ~R Er (P × P))
2524qsss 8724 . . . . 5 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
262, 22, 25wunss 10655 . . . 4 (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
273, 26eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑R𝑈)
282, 27, 27wunxp 10667 . 2 (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
291, 28eqeltrid 2842 1 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cdif 3912  wss 3915  c0 4287  𝒫 cpw 4565  {csn 4591   × cxp 5636  ωcom 7807   Er wer 8652   / cqs 8654  WUnicwun 10643  Ncnpi 10787  Qcnq 10795  Pcnp 10802   ~R cer 10807  Rcnr 10808  cc 11056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-wun 10645  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-plp 10926  df-ltp 10928  df-enr 10998  df-nr 10999  df-c 11064
This theorem is referenced by:  wunndx  17074
  Copyright terms: Public domain W3C validator