Theorem wuncn 11156

Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncn.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuncn	⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 11107	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		wuncn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3		df-nr 11042	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
4		df-ni 10858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
5		wuncn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6	2, 5	wundif 10700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
7	4, 6	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → N ∈ 𝑈)
8	2, 7, 7	wunxp 10710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9		elpqn 10911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
10	9	ssriv 3942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Q ⊆ (N × N)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Q ⊆ (N × N))
12	2, 8, 11	wunss 10698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Q ∈ 𝑈)
13	2, 12	wunpw 10693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 Q ∈ 𝑈)
14		prpssnq 10976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ⊊ Q)
15	14	pssssd 4055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ⊆ Q)
16		velpw 4568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 Q ↔ 𝑥 ⊆ Q)
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ∈ 𝒫 Q)
18	17	ssriv 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → P ⊆ 𝒫 Q)
20	2, 13, 19	wunss 10698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → P ∈ 𝑈)
21	2, 20, 20	wunxp 10710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
22	2, 21	wunpw 10693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23		enrer 11049	. . . . . . 7 ⊢ ~R Er (P × P)
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ~R Er (P × P))
25	24	qsss 8774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
26	2, 22, 25	wunss 10698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
27	3, 26	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → R ∈ 𝑈)
28	2, 27, 27	wunxp 10710	. 2 ⊢ (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
29	1, 28	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  {csn 4590   × cxp 5661  ωcom 7863   Er wer 8692   / cqs 8694  WUnicwun 10686  Ncnpi 10830  Qcnq 10838  Pcnp 10845   ~_R cer 10850  Rcnr 10851  ℂcc 11099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-wun 10688  df-ni 10858  df-pli 10859  df-mi 10860  df-lti 10861  df-plpq 10894  df-mpq 10895  df-ltpq 10896  df-enq 10897  df-nq 10898  df-erq 10899  df-plq 10900  df-mq 10901  df-1nq 10902  df-rq 10903  df-ltnq 10904  df-np 10967  df-plp 10969  df-ltp 10971  df-enr 11041  df-nr 11042  df-c 11107

This theorem is referenced by:  wunndx  17256