Theorem wuncn 10926

Description: A weak universe containing ω contains the complex number construction. This theorem is construction-dependent in the literal sense, but will also be satisfied by any other reasonable implementation of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wuncn.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wuncn.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuncn	⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 10877	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		wuncn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3		df-nr 10812	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
4		df-ni 10628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
5		wuncn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6	2, 5	wundif 10470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ω ∖ {∅}) ∈ 𝑈)
7	4, 6	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → N ∈ 𝑈)
8	2, 7, 7	wunxp 10480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (N × N) ∈ 𝑈)
9		elpqn 10681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → 𝑥 ∈ (N × N))
10	9	ssriv 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Q ⊆ (N × N)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Q ⊆ (N × N))
12	2, 8, 11	wunss 10468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Q ∈ 𝑈)
13	2, 12	wunpw 10463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝒫 Q ∈ 𝑈)
14		prpssnq 10746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ⊊ Q)
15	14	pssssd 4032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ⊆ Q)
16		velpw 4538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 Q ↔ 𝑥 ⊆ Q)
17	15, 16	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ P → 𝑥 ∈ 𝒫 Q)
18	17	ssriv 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → P ⊆ 𝒫 Q)
20	2, 13, 19	wunss 10468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → P ∈ 𝑈)
21	2, 20, 20	wunxp 10480	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (P × P) ∈ 𝑈)
22	2, 21	wunpw 10463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (P × P) ∈ 𝑈)
23		enrer 10819	. . . . . . 7 ⊢ ~R Er (P × P)
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ~R Er (P × P))
25	24	qsss 8567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
26	2, 22, 25	wunss 10468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((P × P) / ~R ) ∈ 𝑈)
27	3, 26	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → R ∈ 𝑈)
28	2, 27, 27	wunxp 10480	. 2 ⊢ (𝜑 → (R × R) ∈ 𝑈)
29	1, 28	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   × cxp 5587  ωcom 7712   Er wer 8495   / cqs 8497  WUnicwun 10456  Ncnpi 10600  Qcnq 10608  Pcnp 10615   ~_R cer 10620  Rcnr 10621  ℂcc 10869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-wun 10458  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737  df-plp 10739  df-ltp 10741  df-enr 10811  df-nr 10812  df-c 10877

This theorem is referenced by:  wunndx  16896