Theorem wunxp 10738

Description: A weak universe is closed under cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunxp	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		wunop.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunun 10724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
5	1, 4	wunpw 10721	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
6	1, 5	wunpw 10721	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
7		xpsspw 5788	. . 3 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
9	1, 6, 8	wunss 10726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   × cxp 5652  WUnicwun 10714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-opab 5182  df-tr 5230  df-xp 5660  df-rel 5661  df-wun 10716

This theorem is referenced by:  wunpm  10739  wuncnv  10744  wunco  10747  wuntpos  10748  tskxp  10801  wuncn  11184  wunfunc  17914  wunnat  17972  catcoppccl  18130  catcfuccl  18131  catcxpccl  18219