Theorem wunxp 10638

Description: A weak universe is closed under cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunxp	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		wunop.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunun 10624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
5	1, 4	wunpw 10621	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
6	1, 5	wunpw 10621	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
7		xpsspw 5752	. . 3 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
9	1, 6, 8	wunss 10626	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529   × cxp 5616  WUnicwun 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-opab 5135  df-tr 5180  df-xp 5624  df-rel 5625  df-wun 10616

This theorem is referenced by:  wunpm  10639  wuncnv  10644  wunco  10647  wuntpos  10648  tskxp  10701  wuncn  11084  wunfunc  17859  wunnat  17917  catcoppccl  18075  catcfuccl  18076  catcxpccl  18164