Theorem wunxp 10411

Description: A weak universe is closed under cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunxp	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3		wunop.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunun 10397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
5	1, 4	wunpw 10394	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
6	1, 5	wunpw 10394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑈)
7		xpsspw 5708	. . 3 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
9	1, 6, 8	wunss 10399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   × cxp 5578  WUnicwun 10387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-opab 5133  df-tr 5188  df-xp 5586  df-rel 5587  df-wun 10389

This theorem is referenced by:  wunpm  10412  wuncnv  10417  wunco  10420  wuntpos  10421  tskxp  10474  wuncn  10857  wunfunc  17530  wunfuncOLD  17531  wunnat  17588  wunnatOLD  17589  catcoppccl  17748  catcoppcclOLD  17749  catcfuccl  17750  catcfucclOLD  17751  catcxpccl  17840  catcxpcclOLD  17841