Theorem wunpm 10238

Description: A weak universe is closed under partial mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunpm	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
3		wunop.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunxp 10237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
5	1, 4	wunpw 10220	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
6		pmsspw 8500	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
8	1, 5, 7	wunss 10225	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4498   × cxp 5533  (class class class)co 7183   ↑_pm cpm 8451  WUnicwun 10213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-pm 8453  df-wun 10215

This theorem is referenced by:  wunmap  10239  catcfuccl  17498  catcxpccl  17586