Theorem wunpm 10648

Description: A weak universe is closed under partial mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunpm	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
3		wunop.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunxp 10647	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
5	1, 4	wunpw 10630	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
6		pmsspw 8825	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
8	1, 5, 7	wunss 10635	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541   × cxp 5629  (class class class)co 7367   ↑_pm cpm 8774  WUnicwun 10623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-pm 8776  df-wun 10625

This theorem is referenced by:  wunmap  10649  catcfuccl  18085  catcxpccl  18173