Theorem wunpm 10698

Description: A weak universe is closed under partial mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunop.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunpm	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
3		wunop.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 2, 3	wunxp 10697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
5	1, 4	wunpw 10680	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
6		pmsspw 8863	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
8	1, 5, 7	wunss 10685	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑pm 𝐵) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558   × cxp 5650  (class class class)co 7400   ↑_pm cpm 8813  WUnicwun 10673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-pm 8815  df-wun 10675

This theorem is referenced by:  wunmap  10699  catcfuccl  18165  catcxpccl  18253