MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunpm 10768
Description: A weak universe is closed under partial mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wun0.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunop.2 (𝜑𝐴𝑈)
wunop.3 (𝜑𝐵𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunpm (𝜑 → (𝐴pm 𝐵) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunpm
StepHypRef Expression
1 wun0.1 . 2 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
2 wunop.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
3 wunop.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
41, 2, 3wunxp 10767 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
51, 4wunpw 10750 . 2 (𝜑 → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
6 pmsspw 8906 . . 3 (𝐴pm 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴pm 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))
81, 5, 7wunss 10755 1 (𝜑 → (𝐴pm 𝐵) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099  wss 3947  𝒫 cpw 4607   × cxp 5680  (class class class)co 7424  pm cpm 8856  WUnicwun 10743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-pm 8858  df-wun 10745
This theorem is referenced by:  wunmap  10769  catcfuccl  18141  catcfucclOLD  18142  catcxpccl  18231  catcxpcclOLD  18232
  Copyright terms: Public domain W3C validator