Theorem wunndx 17106

Description: Closure of the index extractor in an infinite weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunndx.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunndx.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunndx	⊢ (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 17105	. 2 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		wunndx.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3		wunndx.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
4	2, 3	wuncn 11061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
5		nnsscn 12130	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ ℂ)
7	2, 4, 6	wunss 10603	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ 𝑈)
8		f1oi 6801	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ
9		f1of 6763	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
10	8, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
11	2, 7, 7, 10	wunf 10618	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℕ) ∈ 𝑈)
12	1, 11	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   I cid 5508   ↾ cres 5616  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ωcom 7796  WUnicwun 10591  ℂcc 11004  ℕcn 12125  ndxcnx 17104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-pm 8753  df-wun 10593  df-ni 10763  df-pli 10764  df-mi 10765  df-lti 10766  df-plpq 10799  df-mpq 10800  df-ltpq 10801  df-enq 10802  df-nq 10803  df-erq 10804  df-plq 10805  df-mq 10806  df-1nq 10807  df-rq 10808  df-ltnq 10809  df-np 10872  df-plp 10874  df-ltp 10876  df-enr 10946  df-nr 10947  df-c 11012  df-nn 12126  df-ndx 17105

This theorem is referenced by:  basndxelwund  17131  catcoppccl  18024  catcfuccl  18025  catcxpccl  18113