MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunndx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunndx 16205
Description: Closure of the index extractor in an infinite weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunndx.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunndx.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunndx (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunndx
StepHypRef Expression
1 df-ndx 16187 . 2 ndx = ( I ↾ ℕ)
2 wunndx.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 wunndx.2 . . . . 5 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
42, 3wuncn 10279 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
5 nnsscn 11317 . . . . 5 ℕ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ⊆ ℂ)
72, 4, 6wunss 9822 . . 3 (𝜑 → ℕ ∈ 𝑈)
8 f1oi 6393 . . . 4 ( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ
9 f1of 6356 . . . 4 (( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
108, 9mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
112, 7, 7, 10wunf 9837 . 2 (𝜑 → ( I ↾ ℕ) ∈ 𝑈)
121, 11syl5eqel 2882 1 (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  wss 3769   I cid 5219  cres 5314  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  ωcom 7299  WUnicwun 9810  cc 10222  cn 11312  ndxcnx 16181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-1cn 10282  ax-addcl 10284
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-ec 7984  df-qs 7988  df-map 8097  df-pm 8098  df-wun 9812  df-ni 9982  df-pli 9983  df-mi 9984  df-lti 9985  df-plpq 10018  df-mpq 10019  df-ltpq 10020  df-enq 10021  df-nq 10022  df-erq 10023  df-plq 10024  df-mq 10025  df-1nq 10026  df-rq 10027  df-ltnq 10028  df-np 10091  df-plp 10093  df-ltp 10095  df-enr 10165  df-nr 10166  df-c 10230  df-nn 11313  df-ndx 16187
This theorem is referenced by:  wunress  16266  1strwun  16303  catcoppccl  17072  catcfuccl  17073  catcxpccl  17162
  Copyright terms: Public domain W3C validator