MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunndx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunndx 16494
Description: Closure of the index extractor in an infinite weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunndx.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunndx.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunndx (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunndx
StepHypRef Expression
1 df-ndx 16476 . 2 ndx = ( I ↾ ℕ)
2 wunndx.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
3 wunndx.2 . . . . 5 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
42, 3wuncn 10581 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
5 nnsscn 11632 . . . . 5 ℕ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ⊆ ℂ)
72, 4, 6wunss 10123 . . 3 (𝜑 → ℕ ∈ 𝑈)
8 f1oi 6646 . . . 4 ( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ
9 f1of 6609 . . . 4 (( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
108, 9mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
112, 7, 7, 10wunf 10138 . 2 (𝜑 → ( I ↾ ℕ) ∈ 𝑈)
121, 11eqeltrid 2917 1 (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wss 3935   I cid 5453  cres 5551  wf 6345  1-1-ontowf1o 6348  ωcom 7568  WUnicwun 10111  cc 10524  cn 11627  ndxcnx 16470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-1cn 10584  ax-addcl 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-map 8398  df-pm 8399  df-wun 10113  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-mpq 10320  df-ltpq 10321  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-mq 10326  df-1nq 10327  df-rq 10328  df-ltnq 10329  df-np 10392  df-plp 10394  df-ltp 10396  df-enr 10466  df-nr 10467  df-c 10532  df-nn 11628  df-ndx 16476
This theorem is referenced by:  wunress  16554  1strwun  16591  catcoppccl  17358  catcfuccl  17359  catcxpccl  17447
  Copyright terms: Public domain W3C validator