Theorem wunndx 17242

Description: Closure of the index extractor in an infinite weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunndx.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunndx.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunndx	⊢ (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 17241	. 2 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		wunndx.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3		wunndx.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
4	2, 3	wuncn 11239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
5		nnsscn 12298	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ ℂ)
7	2, 4, 6	wunss 10781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ 𝑈)
8		f1oi 6900	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ
9		f1of 6862	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
10	8, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
11	2, 7, 7, 10	wunf 10796	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℕ) ∈ 𝑈)
12	1, 11	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   I cid 5592   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ωcom 7903  WUnicwun 10769  ℂcc 11182  ℕcn 12293  ndxcnx 17240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-wun 10771  df-ni 10941  df-pli 10942  df-mi 10943  df-lti 10944  df-plpq 10977  df-mpq 10978  df-ltpq 10979  df-enq 10980  df-nq 10981  df-erq 10982  df-plq 10983  df-mq 10984  df-1nq 10985  df-rq 10986  df-ltnq 10987  df-np 11050  df-plp 11052  df-ltp 11054  df-enr 11124  df-nr 11125  df-c 11190  df-nn 12294  df-ndx 17241

This theorem is referenced by:  basndxelwund  17270  1strwunOLD  17279  wunressOLD  17310  catcoppccl  18184  catcoppcclOLD  18185  catcfuccl  18186  catcfucclOLD  18187  catcxpccl  18276  catcxpcclOLD  18277