Theorem wunndx 17192

Description: Closure of the index extractor in an infinite weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunndx.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunndx.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunndx	⊢ (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 17191	. 2 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		wunndx.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3		wunndx.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
4	2, 3	wuncn 11204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ 𝑈)
5		nnsscn 12263	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ ℂ)
7	2, 4, 6	wunss 10746	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ 𝑈)
8		f1oi 6873	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ
9		f1of 6835	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℕ):ℕ–1-1-onto→ℕ → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
10	8, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℕ):ℕ⟶ℕ)
11	2, 7, 7, 10	wunf 10761	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℕ) ∈ 𝑈)
12	1, 11	eqeltrid 2830	1 ⊢ (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946   I cid 5571   ↾ cres 5676  ⟶wf 6542  –1-1-onto→wf1o 6545  ωcom 7868  WUnicwun 10734  ℂcc 11147  ℕcn 12258  ndxcnx 17190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-1cn 11207  ax-addcl 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-map 8849  df-pm 8850  df-wun 10736  df-ni 10906  df-pli 10907  df-mi 10908  df-lti 10909  df-plpq 10942  df-mpq 10943  df-ltpq 10944  df-enq 10945  df-nq 10946  df-erq 10947  df-plq 10948  df-mq 10949  df-1nq 10950  df-rq 10951  df-ltnq 10952  df-np 11015  df-plp 11017  df-ltp 11019  df-enr 11089  df-nr 11090  df-c 11155  df-nn 12259  df-ndx 17191

This theorem is referenced by:  basndxelwund  17220  1strwunOLD  17229  wunressOLD  17260  catcoppccl  18134  catcoppcclOLD  18135  catcfuccl  18136  catcfucclOLD  18137  catcxpccl  18226  catcxpcclOLD  18227