Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem1 24801
 Description: Lemma for basel 24810. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised ba Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 12367 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ)
21nnrpd 11867 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ+)
3 pirp 24207 . . . . 5 π ∈ ℝ+
4 rpmulcl 11852 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
52, 3, 4sylancl 694 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
6 basel.n . . . . . 6 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
7 2nn 11182 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
8 nnmulcl 11040 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
97, 8mpan 706 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
109peano2nnd 11034 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
116, 10syl5eqel 2704 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
1211nnrpd 11867 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
13 rpdivcl 11853 . . . 4 (((𝐾 · π) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
145, 12, 13syl2anr 495 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
1514rpred 11869 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
1614rpgt0d 11872 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁))
171adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
18 nnmulcl 11040 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
1917, 7, 18sylancl 694 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
2019nnred 11032 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℝ)
219adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2221nnred 11032 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
2311adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423nnred 11032 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
256, 24syl5eqelr 2705 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
2617nncnd 11033 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27 2cn 11088 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
28 mulcom 10019 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
2926, 27, 28sylancl 694 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
30 elfzle2 12342 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾𝑀)
3130adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾𝑀)
3217nnred 11032 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33 nnre 11024 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
35 2re 11087 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
36 2pos 11109 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3735, 36pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
39 lemul2 10873 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
4032, 34, 38, 39syl3anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
4131, 40mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀))
4229, 41eqbrtrd 4673 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ≤ (2 · 𝑀))
4322ltp1d 10951 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) < ((2 · 𝑀) + 1))
4420, 22, 25, 42, 43lelttrd 10192 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < ((2 · 𝑀) + 1))
4544, 6syl6breqr 4693 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < 𝑁)
4619nngt0d 11061 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · 2))
4723nngt0d 11061 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < 𝑁)
48 pire 24204 . . . . . 6 π ∈ ℝ
49 remulcl 10018 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
5032, 48, 49sylancl 694 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
515adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
5251rpgt0d 11872 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · π))
53 ltdiv2 10906 . . . . 5 ((((𝐾 · 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · 2)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · π))) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
5420, 46, 24, 47, 50, 52, 53syl222anc 1341 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
5545, 54mpbid 222 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)))
56 picn 24205 . . . . 5 π ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
58 2cnne0 11239 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5958a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
6017nnne0d 11062 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≠ 0)
61 divcan5 10724 . . . 4 ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
6257, 59, 26, 60, 61syl112anc 1329 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
6355, 62breqtrd 4677 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))
64 0xr 10083 . . 3 0 ∈ ℝ*
65 rehalfcl 11255 . . . 4 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
66 rexr 10082 . . . 4 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
6748, 65, 66mp2b 10 . . 3 (π / 2) ∈ ℝ*
68 elioo2 12213 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))))
6964, 67, 68mp2an 708 . 2 (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
7015, 16, 63, 69syl3anbrc 1245 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936   · cmul 9938  ℝ*cxr 10070   < clt 10071   ≤ cle 10072   / cdiv 10681  ℕcn 11017  2c2 11067  ℝ+crp 11829  (,)cioo 12172  ...cfz 12323  πcpi 14791 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cncf 22675  df-limc 23624  df-dv 23625 This theorem is referenced by:  basellem4  24804  basellem8  24808
 Copyright terms: Public domain W3C validator