MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem1 24496
Description: Lemma for basel 24505. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised ba Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 12109 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ)
21nnrpd 11612 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ+)
3 pirp 23904 . . . . 5 π ∈ ℝ+
4 rpmulcl 11597 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
52, 3, 4sylancl 692 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
6 basel.n . . . . . 6 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
7 2nn 10940 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
8 nnmulcl 10798 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
97, 8mpan 701 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
109peano2nnd 10792 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
116, 10syl5eqel 2596 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
1211nnrpd 11612 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
13 rpdivcl 11598 . . . 4 (((𝐾 · π) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
145, 12, 13syl2anr 493 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
1514rpred 11614 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
1614rpgt0d 11617 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁))
171adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
18 nnmulcl 10798 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
1917, 7, 18sylancl 692 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
2019nnred 10790 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℝ)
219adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2221nnred 10790 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
2311adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423nnred 10790 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
256, 24syl5eqelr 2597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
2617nncnd 10791 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27 2cn 10846 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
28 mulcom 9777 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
2926, 27, 28sylancl 692 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
30 elfzle2 12084 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾𝑀)
3130adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾𝑀)
3217nnred 10790 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33 nnre 10782 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3433adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
35 2re 10845 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
36 2pos 10867 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3735, 36pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
39 lemul2 10625 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
4032, 34, 38, 39syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
4131, 40mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀))
4229, 41eqbrtrd 4503 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ≤ (2 · 𝑀))
4322ltp1d 10704 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) < ((2 · 𝑀) + 1))
4420, 22, 25, 42, 43lelttrd 9946 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < ((2 · 𝑀) + 1))
4544, 6syl6breqr 4523 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < 𝑁)
4619nngt0d 10819 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · 2))
4723nngt0d 10819 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < 𝑁)
48 pire 23901 . . . . . 6 π ∈ ℝ
49 remulcl 9776 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
5032, 48, 49sylancl 692 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
515adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
5251rpgt0d 11617 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · π))
53 ltdiv2 10659 . . . . 5 ((((𝐾 · 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · 2)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · π))) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
5420, 46, 24, 47, 50, 52, 53syl222anc 1333 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
5545, 54mpbid 220 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)))
56 picn 23902 . . . . 5 π ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
58 2cnne0 10997 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5958a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
6017nnne0d 10820 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≠ 0)
61 divcan5 10476 . . . 4 ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
6257, 59, 26, 60, 61syl112anc 1321 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
6355, 62breqtrd 4507 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))
64 0xr 9841 . . 3 0 ∈ ℝ*
65 rehalfcl 11013 . . . 4 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
66 rexr 9840 . . . 4 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
6748, 65, 66mp2b 10 . . 3 (π / 2) ∈ ℝ*
68 elioo2 11956 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))))
6964, 67, 68mp2an 703 . 2 (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
7015, 16, 63, 69syl3anbrc 1238 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684   class class class wbr 4481  (class class class)co 6426  cc 9689  cr 9690  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696  *cxr 9828   < clt 9829  cle 9830   / cdiv 10433  cn 10775  2c2 10825  +crp 11574  (,)cioo 11915  ...cfz 12065  πcpi 14505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ioc 11920  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-seq 12532  df-exp 12591  df-fac 12791  df-bc 12820  df-hash 12848  df-shft 13514  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-limsup 13910  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-ef 14506  df-sin 14508  df-cos 14509  df-pi 14511  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-lp 20653  df-perf 20654  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cncf 22412  df-limc 23311  df-dv 23312
This theorem is referenced by:  basellem4  24499  basellem8  24503
  Copyright terms: Public domain W3C validator