MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp1d 12823
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
exp1d (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 exp1 12686 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9791  1c1 9794  cexp 12680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-seq 12622  df-exp 12681
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  12900  fsumcube  14579  sin01gt0  14708  rplpwr  15063  prmdvdsexp  15214  phiprm  15269  eulerthlem2  15274  pcelnn  15361  expnprm  15393  prmpwdvds  15395  pockthg  15397  odcau  17791  plyco  23746  dgrcolem1  23778  vieta1  23816  taylthlem1  23876  ftalem2  24545  vmaprm  24588  vma1  24637  1sgmprm  24669  chtublem  24681  fsumvma2  24684  chpchtsum  24689  logfacrlim2  24696  bposlem2  24755  bposlem6  24759  lgsval2lem  24777  2sqblem  24901  chebbnd1lem1  24903  rplogsumlem2  24919  rpvmasumlem  24921  ostth3  25072  nn0prpwlem  31321  nn0prpw  31322  bfplem1  32615  rmxy1  36329  jm2.18  36397  jm2.23  36405  jm3.1lem2  36427  areaquad  36645  radcnvrat  37359  stoweidlem3  38720  wallispilem2  38783  stirlinglem1  38791  stirlinglem7  38797  stirlinglem10  38800  lighneal  39891  blenpw2m1  42193
  Copyright terms: Public domain W3C validator