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Theorem fourierdlem30 39661
Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem30.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierlemreimleblemlte22.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem30.g ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem30.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem30.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem30.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem30.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem30.z 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
fourierdlem30.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem30.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
fourierdlem30.ler (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
fourierdlem30.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem30.12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem30.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem30.14 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem30 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem30
StepHypRef Expression
1 fourierdlem30.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 fourierdlem30.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
32recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
4 0red 9985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 1red 9999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 10494 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
8 fourierdlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 = (abs‘𝐴)
9 fourierdlem30.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
118, 10syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem30.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑌 = (abs‘𝐶)
13 fourierdlem30.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
1512, 14syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1611, 15readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
17 fourierdlem30.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
18 fourierlemreimleblemlte22.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
19 fourierdlem30.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
2019negcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
22 fourierdlem30.ibl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
2321, 22itgcl 23456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
2423abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
2517, 24syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2616, 25readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
27 fourierdlem30.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2827rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2927rpne0d 11821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ≠ 0)
3026, 28, 29redivcld 10797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
3130, 5readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
329absge0d 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3332, 8syl6breqr 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3413absge0d 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3534, 12syl6breqr 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
3611, 15, 33, 35addge0d 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3723absge0d 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
3837, 17syl6breqr 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3916, 25, 36, 38addge0d 10547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4026, 27, 39divge0d 11856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
415, 30addge02d 10560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ↔ 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
4240, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
43 fourierdlem30.ler . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑅)
445, 31, 2, 42, 43letrd 10138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑅)
454, 5, 2, 7, 44ltletrd 10141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4645gt0ne0d 10536 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≠ 0)
471, 3, 46divnegd 10758 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐵 / 𝑅) = (-𝐵 / 𝑅))
4847oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
491negcld 10323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
509, 49, 3, 46divassd 10780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝑅)))
5148, 50eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) = ((𝐴 · -𝐵) / 𝑅))
52 fourierdlem30.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5352, 3, 46divnegd 10758 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐷 / 𝑅) = (-𝐷 / 𝑅))
5453oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5552negcld 10323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
5613, 55, 3, 46divassd 10780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅) = (𝐶 · (-𝐷 / 𝑅)))
5754, 56eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅)) = ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅))
5851, 57oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
599, 49mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) ∈ ℂ)
6013, 55mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · -𝐷) ∈ ℂ)
6159, 60, 3, 46divsubdird 10784 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) = (((𝐴 · -𝐵) / 𝑅) − ((𝐶 · -𝐷) / 𝑅)))
6258, 61eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) = (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅))
633, 46reccld 10738 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
6463, 21, 22itgmulc2 23506 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
6523, 3, 46divrec2d 10749 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
663adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ ℂ)
6746adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ≠ 0)
6819, 66, 67divnegd 10758 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → -(𝐺 / 𝑅) = (-𝐺 / 𝑅))
6968oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7018, 20, 66, 67divassd 10780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = (𝐹 · (-𝐺 / 𝑅)))
7121, 66, 67divrec2d 10749 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹 · -𝐺) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7269, 70, 713eqtr2d 2661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)))
7372itgeq2dv 23454 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = ∫𝐼((1 / 𝑅) · (𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
7464, 65, 733eqtr4rd 2666 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥 = (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅))
7562, 74oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7659, 60subcld 10336 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) ∈ ℂ)
7776, 23, 3, 46divsubdird 10784 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) / 𝑅) − (∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 / 𝑅)))
7875, 77eqtr4d 2658 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥) = ((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅))
7978fveq2d 6152 . . 3 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)))
8076, 23subcld 10336 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℂ)
8180, 3, 46absdivd 14128 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) / 𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)))
824, 2, 45ltled 10129 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
832, 82absidd 14095 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
8483oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8579, 81, 843eqtrd 2659 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) = ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
8680abscld 14109 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8786, 2, 46redivcld 10797 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
8810, 14readdcld 10013 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8988, 24readdcld 10013 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9089, 2, 46redivcld 10797 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
912, 45elrpd 11813 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
9276abscld 14109 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9392, 24readdcld 10013 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
9476, 23abs2dif2d 14131 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
9559abscld 14109 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ∈ ℝ)
9660abscld 14109 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ∈ ℝ)
9795, 96readdcld 10013 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ∈ ℝ)
9859, 60abs2dif2d 14131 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))))
999, 49absmuld 14127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)))
10049abscld 14109 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ∈ ℝ)
1011absnegd 14122 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐵) = (abs‘𝐵))
102 fourierdlem30.12 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ≤ 1)
103101, 102eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐵) ≤ 1)
104100, 5, 10, 32, 103lemul2ad 10908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10510recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
106105mulid1d 10001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
107104, 106breqtrd 4639 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘-𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10899, 107eqbrtrd 4635 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · -𝐵)) ≤ (abs‘𝐴))
10913, 55absmuld 14127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)))
11055abscld 14109 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ∈ ℝ)
11152absnegd 14122 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
112 fourierdlem30.14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐷) ≤ 1)
113111, 112eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-𝐷) ≤ 1)
114110, 5, 14, 34, 113lemul2ad 10908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ ((abs‘𝐶) · 1))
11514recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
116115mulid1d 10001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 1) = (abs‘𝐶))
117114, 116breqtrd 4639 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (abs‘-𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
118109, 117eqbrtrd 4635 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶 · -𝐷)) ≤ (abs‘𝐶))
11995, 96, 10, 14, 108, 118le2addd 10590 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 · -𝐵)) + (abs‘(𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12092, 97, 88, 98, 119letrd 10138 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)))
12192, 88, 24, 120leadd1dd 10585 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷))) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12286, 93, 89, 94, 121letrd 10138 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
12386, 89, 91, 122lediv1dd 11874 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅))
12430ltp1d 10898 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
1254, 30, 31, 40, 124lelttrd 10139 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
126125gt0ne0d 10536 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
12789, 31, 126redivcld 10797 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
12830, 40ge0p1rpd 11846 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
1298eqcomi 2630 . . . . . . . 8 (abs‘𝐴) = 𝑋
13012eqcomi 2630 . . . . . . . 8 (abs‘𝐶) = 𝑌
131129, 130oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
13217eqcomi 2630 . . . . . . 7 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = 𝑍
133131, 132oveq12i 6616 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)
13439, 133syl6breqr 4655 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)))
135128, 91, 89, 134, 43lediv2ad 11838 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) ≤ ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
136133oveq1i 6614 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
137 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
138137adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13930recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℂ)
1405recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141139, 140addcld 10003 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
142141adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℂ)
143 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = (0 / 𝐸))
14527rpcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
146145adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℂ)
14729adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ≠ 0)
148146, 147div0d 10744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / 𝐸) = 0)
149144, 148eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) = 0)
150149oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = (0 + 1))
151 0p1e1 11076 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
152150, 151syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) = 1)
153 ax-1ne0 9949 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ≠ 0)
155152, 154eqnetrd 2857 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ≠ 0)
156142, 155div0d 10744 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (0 / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
157138, 156eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = 0)
15827rpgt0d 11819 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐸)
159158adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < 𝐸)
160157, 159eqbrtrd 4635 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
16126adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
16227adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 𝐸 ∈ ℝ+)
16339adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
164 neqne 2798 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
165164adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ≠ 0)
166161, 163, 165ne0gt0d 10118 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 0 < ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
167161, 166elrpd 11813 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ+)
168167, 162rpdivcld 11833 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ+)
169 1rp 11780 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
170169a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → 1 ∈ ℝ+)
171168, 170rpaddcld 11831 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ+)
172124adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))
173161, 162, 171, 172ltdiv23d 11881 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = 0) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
174160, 173pm2.61dan 831 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
175136, 174syl5eqbr 4648 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) < 𝐸)
17690, 127, 28, 135, 175lelttrd 10139 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17787, 90, 28, 123, 176lelttrd 10139 . 2 (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · -𝐵) − (𝐶 · -𝐷)) − ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝑅) < 𝐸)
17885, 177eqbrtrd 4635 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑅)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑅))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑅)) d𝑥)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  +crp 11776  abscabs 13908  𝐿1cibl 23292  citg 23293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343
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