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Theorem wallispi 39591
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispi.2 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
Assertion
Ref Expression
wallispi 𝑊 ⇝ (π / 2)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11667 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11352 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 wallispi.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
4 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
5 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘(2 · 𝑛)) / ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)‘((2 · 𝑛) + 1))))
6 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
7 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
83, 4, 5, 6, 7wallispilem5 39590 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) ⇝ 1)
10 2cnd 11037 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
11 picn 24115 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → π ∈ ℂ)
13 pire 24114 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
14 pipos 24116 . . . . . . . . 9 0 < π
1513, 14gt0ne0ii 10508 . . . . . . . 8 π ≠ 0
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → π ≠ 0)
1710, 12, 16divcld 10745 . . . . . 6 (⊤ → (2 / π) ∈ ℂ)
18 nnex 10970 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1918mptex 6440 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ V)
2111a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
2221halfcld 11221 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
23 elnnuz 11668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
2423biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))
26 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑗 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑗))
2726oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑗) − 1))
2826, 27oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)))
2926oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑗) + 1))
3026, 29oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)))
3128, 30oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
33 elfznn 12312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℕ)
34 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
35 nncn 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
3634, 35mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℂ)
37 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3836, 37subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℂ)
39 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
40 1t1e1 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 · 1) = 1
4139, 39remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) ∈ ℝ)
42 2re 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
4443, 39remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
45 nnre 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
4643, 45remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
47 1rp 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ+
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
49 1lt2 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 2
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < 2)
5139, 43, 48, 50ltmul1dd 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 1))
52 0le2 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ≤ 2
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
54 nnge1 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
5539, 45, 43, 53, 54lemul2ad 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑗))
5641, 44, 46, 51, 55ltletrd 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · 1) < (2 · 𝑗))
5740, 56syl5eqbrr 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑗))
5839, 57gtned 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ≠ 1)
5936, 37, 58subne0d 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ≠ 0)
6036, 38, 59divcld 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℂ)
6136, 37addcld 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℂ)
62 0red 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
6346, 39readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ)
6448rpgt0d 11819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < 1)
65 2rp 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
67 nnrp 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
6866, 67rpmulcld 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
6939, 68ltaddrp2d 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑗) + 1))
7062, 39, 63, 64, 69lttrd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) + 1))
7162, 70gtned 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) + 1) ≠ 0)
7236, 61, 71divcld 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℂ)
7360, 72mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
7433, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℂ)
7525, 32, 33, 74fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑗) = (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))))
7665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ+)
7733nnrpd 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ+)
7876, 77rpmulcld 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ+)
7946, 39resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ)
80 1m1e0 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 − 1) = 0
8139, 46, 39, 57ltsub1dd 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (1 − 1) < ((2 · 𝑗) − 1))
8280, 81syl5eqbrr 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑗) − 1))
8379, 82elrpd 11813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
8433, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) − 1) ∈ ℝ+)
8578, 84rpdivcld 11833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) ∈ ℝ+)
8642a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
8733nnred 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 𝑗 ∈ ℝ)
8886, 87remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑗) ∈ ℝ)
8976rpge0d 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
9077rpge0d 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 𝑗)
9186, 87, 89, 90mulge0d 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ (2 · 𝑗))
9288, 91ge0p1rpd 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
9378, 92rpdivcld 11833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
9485, 93rpmulcld 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) − 1)) · ((2 · 𝑗) / ((2 · 𝑗) + 1))) ∈ ℝ+)
9575, 94eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ+)
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ+)
97 rpmulcl 11799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑗 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑗 · 𝑤) ∈ ℝ+)
9924, 96, 98seqcl 12761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+)
10099rpcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
10199rpne0d 11821 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
102100, 101reccld 10738 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℂ)
10322, 102mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ∈ ℂ)
1046, 103fmpti 6339 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ
105104a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))):ℕ⟶ℂ)
106105ffvelrnda 6315 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
107 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
108107eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ+ ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+))
109108, 99vtoclga 3258 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ+)
110109rpcnd 11818 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
111109rpne0d 11821 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑗) ≠ 0)
11237, 110, 111divrecd 10748 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
11311a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
11466rpne0d 11821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
11515a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → π ≠ 0)
11634, 113, 114, 115divcan6d 10764 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · (π / 2)) = 1)
117116eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 1 = ((2 / π) · (π / 2)))
118117oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
11934, 113, 115divcld 10745 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (2 / π) ∈ ℂ)
120113halfcld 11221 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
121110, 111reccld 10738 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
122119, 120, 121mulassd 10007 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 / π) · (π / 2)) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
123112, 118, 1223eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
124 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
125107oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
126125adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
127 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
128109rpreccld 11826 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ+)
129124, 126, 127, 128fvmptd 6245 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
130 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
131126oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑗) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
132120, 121mulcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℂ)
133130, 131, 127, 132fvmptd 6245 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
134133oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)) = ((2 / π) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))))
135123, 129, 1343eqtr4d 2665 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
136135adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = ((2 / π) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))‘𝑗)))
1371, 2, 9, 17, 20, 106, 136climmulc2 14301 . . . . 5 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ ((2 / π) · 1))
138 2cn 11035 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
139138, 11, 15divcli 10711 . . . . . 6 (2 / π) ∈ ℂ
140139mulid1i 9986 . . . . 5 ((2 / π) · 1) = (2 / π)
141137, 140syl6breq 4654 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))) ⇝ (2 / π))
142 2ne0 11057 . . . . . 6 2 ≠ 0
143138, 11, 142, 15divne0i 10717 . . . . 5 (2 / π) ≠ 0
144143a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2 / π) ≠ 0)
145129, 121eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ ℂ)
146110, 111recne0d 10739 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)) ≠ 0)
147129, 146eqnetrd 2857 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0)
148 nelsn 4183 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ≠ 0 → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
149147, 148syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ {0})
150145, 149eldifd 3566 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
151150adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
152110, 111recrecd 10742 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
153124, 126, 127, 121fvmptd 6245 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗)))
154153oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)) = (1 / (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))))
155 wallispi.2 . . . . . . 7 𝑊 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
156107, 155, 99fvmpt3 6243 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊𝑗) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑗))
157152, 154, 1563eqtr4rd 2666 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑊𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
158157adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑊𝑗) = (1 / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))‘𝑗)))
15918mptex 6440 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)) ∈ V
160155, 159eqeltri 2694 . . . . 5 𝑊 ∈ V
161160a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝑊 ∈ V)
1621, 2, 141, 144, 151, 158, 161climrec 39236 . . 3 (⊤ → 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π)))
163162trud 1490 . 2 𝑊 ⇝ (1 / (2 / π))
164 recdiv 10675 . . 3 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (1 / (2 / π)) = (π / 2))
165138, 142, 11, 15, 164mp4an 708 . 2 (1 / (2 / π)) = (π / 2)
166163, 165breqtri 4638 1 𝑊 ⇝ (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cdif 3552  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cuz 11631  +crp 11776  (,)cioo 12117  ...cfz 12268  seqcseq 12741  cexp 12800  cli 14149  sincsin 14719  πcpi 14722  citg 23293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343  df-limc 23536  df-dv 23537
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