MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odzdvds 15435
Description: The only powers of 𝐴 that are congruent to 1 are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
odzdvds (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ ((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem odzdvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 11253 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
21adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3 odzcl 15433 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
54nnrpd 11822 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+)
6 modlt 12627 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴))
72, 5, 6syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴))
8 nn0z 11352 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
98adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
109, 4zmodcld 12639 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1110nn0red 11304 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
124nnred 10987 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 10136 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
147, 13mpbid 222 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
15 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
1615oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → ((𝐴𝑛) − 1) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1))
1716breq2d 4630 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
1817elrab 3350 . . . . . . . . 9 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ↔ ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
19 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
20 nnuz 11675 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
2119, 20sseqtri 3621 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1)
22 infssuzle 11723 . . . . . . . . . 10 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2321, 22mpan 705 . . . . . . . . 9 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2418, 23sylbir 225 . . . . . . . 8 (((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2524ancoms 469 . . . . . . 7 ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
26 odzval 15431 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2726adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2827breq1d 4628 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ↔ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
2925, 28syl5ibr 236 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
3014, 29mtod 189 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
31 imnan 438 . . . . 5 ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
3230, 31sylibr 224 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
33 elnn0 11246 . . . . . 6 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3410, 33sylib 208 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3534ord 392 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3632, 35syld 47 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
37 simpl1 1062 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
3837nnzd 11433 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 dvds0 14932 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ 0)
41 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4241zcnd 11435 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342exp0d 12950 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
4443oveq1d 6625 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = (1 − 1))
45 1m1e0 11041 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
4644, 45syl6eq 2671 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = 0)
4740, 46breqtrrd 4646 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1))
48 oveq2 6618 . . . . . 6 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = (𝐴↑0))
4948oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) = ((𝐴↑0) − 1))
5049breq2d 4630 . . . 4 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1)))
5147, 50syl5ibrcom 237 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
5236, 51impbid 202 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
534nnnn0d 11303 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0)
542, 4nndivred 11021 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
55 nn0ge0 11270 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
574nngt0d 11016 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < ((od𝑁)‘𝐴))
58 ge0div 10842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((od𝑁)‘𝐴)) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))
592, 12, 57, 58syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))
6056, 59mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))
61 flge0nn0 12569 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
6254, 60, 61syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
6353, 62nn0mulcld 11308 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
64 zexpcl 12823 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
6541, 63, 64syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
6665zred 11434 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ)
67 1red 10007 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
68 zexpcl 12823 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
6941, 10, 68syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
7037nnrpd 11822 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
7142, 62, 53expmuld 12959 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) = ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))
7271oveq1d 6625 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
73 zexpcl 12823 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
7441, 53, 73syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
75 1zzd 11360 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
76 odzid 15434 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
7776adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
78 moddvds 14926 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
7937, 74, 75, 78syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
8077, 79mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
81 modexp 12947 . . . . . . . 8 ((((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8274, 75, 62, 70, 80, 81syl221anc 1334 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8354flcld 12547 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
84 1exp 12837 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) = 1)
8583, 84syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) = 1)
8685oveq1d 6625 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
8772, 82, 863eqtrd 2659 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
88 modmul1 12671 . . . . . 6 ((((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8966, 67, 69, 70, 87, 88syl221anc 1334 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
9042, 10, 63expaddd 12958 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))))
91 modval 12618 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))))
922, 5, 91syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))))
9392oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))))
9463nn0cnd 11305 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℂ)
952recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
9694, 95pncan3d 10347 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))) = 𝐾)
9793, 96eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = 𝐾)
9897oveq2d 6626 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴𝐾))
9990, 98eqtr3d 2657 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴𝐾))
10099oveq1d 6625 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴𝐾) mod 𝑁))
10169zcnd 11435 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℂ)
102101mulid2d 10010 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
103102oveq1d 6625 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
10489, 100, 1033eqtr3d 2663 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
105104eqeq1d 2623 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
106 zexpcl 12823 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
10741, 106sylancom 700 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
108 moddvds 14926 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1)))
10937, 107, 75, 108syl3anc 1323 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1)))
110 moddvds 14926 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
11137, 69, 75, 110syl3anc 1323 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
112105, 109, 1113bitr3d 298 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
113 dvdsval3 14922 . . 3 ((((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
1144, 9, 113syl2anc 692 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
11552, 112, 1143bitr4d 300 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ ((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  infcinf 8299  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  +crp 11784  cfl 12539   mod cmo 12616  cexp 12808  cdvds 14918   gcd cgcd 15151  odcodz 15403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-odz 15405  df-phi 15406
This theorem is referenced by:  odzphi  15436  pockthlem  15544  odz2prm2pw  40800  fmtnoprmfac2  40804
  Copyright terms: Public domain W3C validator