Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitmcl 29541
Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmcl.0 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitmcl.3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sitmcl (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl
Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2604 . . 3 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2 sitmcl.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
3 sitmcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
4 sitmcl.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5 sitmcl.4 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
61, 2, 3, 4, 5sitmfval 29540 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺)))
7 xrge0base 28817 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
8 xrge0topn 29118 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
98eqcomi 2613 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
10 eqid 2604 . . 3 (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11 xrge00 28818 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
12 ovex 6550 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
13 eqid 2604 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
14 ax-xrsvsca 28806 . . . . 5 ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressvsca 15796 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . 3 ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 ax-xrssca 28805 . . . . . 6 fld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
1813, 17resssca 15795 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1912, 18ax-mp 5 . . . 4 fld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2019fveq2i 6086 . . 3 (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
21 ovex 6550 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
23 eqid 2604 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
24 eqid 2604 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
25 eqid 2604 . . . . . . 7 (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
26 eqid 2604 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
27 eqid 2604 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
28 eqid 2604 . . . . . . 7 (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
2923, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 4sibff 29526 . . . . . 6 (𝜑𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
30 xmstps 22004 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
3123, 24tpsuni 20490 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
322, 30, 313syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
33 feq3 5922 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3529, 34mpbird 245 . . . . 5 (𝜑𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 5sibff 29526 . . . . . 6 (𝜑𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
37 feq3 5922 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3832, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3936, 38mpbird 245 . . . . 5 (𝜑𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
40 dmexg 6961 . . . . . 6 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
41 uniexg 6825 . . . . . 6 (dom 𝑀 ∈ V → dom 𝑀 ∈ V)
423, 40, 413syl 18 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑀 ∈ V)
4335, 39, 42ofresid 28625 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹𝑓 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
442, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
45 eqid 2604 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
4623, 45xmsxmet 22007 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
47 xmetpsmet 21899 . . . . . . 7 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
482, 46, 473syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
49 psmetxrge0 21865 . . . . . 6 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
51 xrge0tps 29117 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5251a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
5324, 23, 45xmstopn 22002 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
542, 53syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
55 eqid 2604 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
5655methaus 22071 . . . . . . . 8 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
572, 46, 563syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
5854, 57eqeltrd 2682 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
59 haust1 20903 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
6058, 59syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
612, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
62 sitmcl.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
6323, 26mndidcl 17072 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6462, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
65 xmet0 21893 . . . . . . 7 ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6661, 64, 65syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6766, 11syl6eq 2654 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
6823, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 4, 7, 44, 50, 5, 52, 60, 67sibfof 29530 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
6943, 68eqeltrd 2682 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
70 rebase 19711 . . . . 5 ℝ = (Base‘ℝfld)
7170, 70xpeq12i 5046 . . . 4 (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
7271reseq2i 5296 . . 3 ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
73 xrge0cmn 19548 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7473a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
75 rerrext 29182 . . . . 5 fld ∈ ℝExt
7619, 75eqeltrri 2679 . . . 4 (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
7776a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
78 rrhre 29194 . . . . . . . . 9 (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
7978imaeq1i 5364 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
80 0re 9891 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
81 pnfxr 11776 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
82 icossre 12076 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
8380, 81, 82mp2an 703 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
84 resiima 5381 . . . . . . . . 9 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
8679, 85eqtri 2626 . . . . . . 7 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
87 icossicc 12082 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
8886, 87eqsstri 3592 . . . . . 6 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
8988sseli 3558 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90893ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
91 simp3 1055 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
92 ge0xmulcl 12109 . . . 4 ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9390, 91, 92syl2anc 690 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
947, 9, 10, 11, 16, 20, 22, 3, 69, 19, 72, 52, 74, 77, 93sitgclg 29532 . 2 (𝜑 → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
956, 94eqeltrd 2682 1 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3167  wss 3534   cuni 4361   I cid 4933   × cxp 5021  dom cdm 5023  ran crn 5024  cres 5025  cima 5026  wf 5781  cfv 5785  (class class class)co 6522  𝑓 cof 6765  cr 9786  0cc0 9787  +∞cpnf 9922  *cxr 9924  cle 9926   ·e cxmu 11772  [,)cico 11999  [,]cicc 12000  Basecbs 15636  s cress 15637  Scalarcsca 15712   ·𝑠 cvsca 15713  distcds 15718  t crest 15845  TopOpenctopn 15846  0gc0g 15864  ordTopcordt 15923  *𝑠cxrs 15924  Mndcmnd 17058  CMndccmn 17957  PsMetcpsmet 19492  ∞Metcxmt 19493  MetOpencmopn 19498  fldcrefld 19709  TopSpctps 20456  Frect1 20858  Hauscha 20859  ∞MetSpcxme 21868  ℝHomcrrh 29166   ℝExt crrext 29167  sigaGencsigagen 29329  measurescmeas 29386  sitmcsitm 29518  sitgcsitg 29519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-ac2 9140  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867  ax-xrssca 28805  ax-xrsvsca 28806
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-disj 4543  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-tpos 7211  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-fi 8172  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-acn 8623  df-ac 8794  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-q 11616  df-rp 11660  df-xneg 11773  df-xadd 11774  df-xmul 11775  df-ioo 12001  df-ioc 12002  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-mod 12481  df-seq 12614  df-exp 12673  df-fac 12873  df-bc 12902  df-hash 12930  df-shft 13596  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-limsup 13991  df-clim 14008  df-rlim 14009  df-sum 14206  df-ef 14578  df-sin 14580  df-cos 14581  df-pi 14583  df-dvds 14763  df-gcd 14996  df-numer 15222  df-denom 15223  df-gz 15413  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-starv 15724  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-unif 15733  df-hom 15734  df-cco 15735  df-rest 15847  df-topn 15848  df-0g 15866  df-gsum 15867  df-topgen 15868  df-pt 15869  df-prds 15872  df-ordt 15925  df-xrs 15926  df-qtop 15931  df-imas 15932  df-xps 15934  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-toset 16798  df-ps 16964  df-tsr 16965  df-plusf 17005  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-mhm 17099  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-mulg 17305  df-subg 17355  df-ghm 17422  df-cntz 17514  df-od 17712  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-cring 18314  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447  df-rnghom 18479  df-drng 18513  df-field 18514  df-subrg 18542  df-abv 18581  df-lmod 18629  df-scaf 18630  df-sra 18934  df-rgmod 18935  df-nzr 19020  df-psmet 19500  df-xmet 19501  df-met 19502  df-bl 19503  df-mopn 19504  df-fbas 19505  df-fg 19506  df-metu 19507  df-cnfld 19509  df-zring 19579  df-zrh 19611  df-zlm 19612  df-chr 19613  df-refld 19710  df-top 20458  df-bases 20459  df-topon 20460  df-topsp 20461  df-cld 20570  df-ntr 20571  df-cls 20572  df-nei 20649  df-lp 20687  df-perf 20688  df-cn 20778  df-cnp 20779  df-t1 20865  df-haus 20866  df-reg 20867  df-cmp 20937  df-tx 21112  df-hmeo 21305  df-fil 21397  df-fm 21489  df-flim 21490  df-flf 21491  df-fcls 21492  df-cnext 21611  df-tmd 21623  df-tgp 21624  df-tsms 21677  df-trg 21710  df-ust 21751  df-utop 21782  df-uss 21807  df-usp 21808  df-ucn 21827  df-cfilu 21838  df-cusp 21849  df-xms 21871  df-ms 21872  df-tms 21873  df-nm 22133  df-ngp 22134  df-nrg 22136  df-nlm 22137  df-ii 22414  df-cncf 22415  df-cfil 22774  df-cmet 22776  df-cms 22852  df-limc 23348  df-dv 23349  df-log 24019  df-omnd 28831  df-ogrp 28832  df-orng 28929  df-ofld 28930  df-qqh 29146  df-rrh 29168  df-rrext 29172  df-esum 29218  df-siga 29299  df-sigagen 29330  df-meas 29387  df-mbfm 29441  df-sitg 29520  df-sitm 29521
This theorem is referenced by:  sitmf  29542
  Copyright terms: Public domain W3C validator