Theorem vmasum 25792

Description: The sum of the von Mangoldt function over the divisors of 𝑛. Equation 9.2.4 of [Shapiro], p. 328 and theorem 2.10 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmasum	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem vmasum

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6670	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
2		fzfid 13342	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
3		dvdsssfz1 15668	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
4	2, 3	ssfid 8741	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
5		ssrab2 4056	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ ℕ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ⊆ ℕ)
7		inss1 4205	. . . 4 ⊢ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
8		ssfi 8738	. . . 4 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)) → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
9	2, 7, 8	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
10		pccl 16186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
11	10	ancoms 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
13		fznn 12976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
15	14	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))))
16		an12 643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
17		prmz 16019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
18	17	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
19		iddvdsexp 15633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘))
20	18, 19	sylan 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘))
21	17	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
22		prmnn 16018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
23	22	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
24		nnnn0 11905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
25		nnexpcl 13443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
26	23, 24, 25	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ)
28		nnz 12005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
29	28	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30		dvdstr 15646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝐴))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∥ (𝑝↑𝑘) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝 ∥ 𝐴))
32	20, 31	mpand 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ∥ 𝐴))
33		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
34		dvdsle 15660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
35	21, 33, 34	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
36	32, 35	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ≤ 𝐴))
37	22	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
38		fznn 12976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
39	38	baibd 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝 ≤ 𝐴))
40	29, 37, 39	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝 ≤ 𝐴))
41	36, 40	sylibrd 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 → 𝑝 ∈ (1...𝐴)))
42	41	pm4.71rd 565	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴)))
43		breq1 5069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑝↑𝑘) → (𝑥 ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
44	43	elrab3 3681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝↑𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
45	26, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
46		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
47	24	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
48		pcdvdsb 16205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
49	46, 29, 47, 48	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴))
50	49	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝↑𝑘) ∥ 𝐴)))
51	42, 45, 50	3bitr4rd 314	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}))
52	51	pm5.32da 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
53	16, 52	syl5bb 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
54	15, 53	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
55	54	pm5.32da 581	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}))))
56		elin 4169	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
57	56	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))))
58		anass 471	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
59		an12 643	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
60	57, 58, 59	3bitri 299	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
61		anass 471	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
62	55, 60, 61	3bitr4g 316	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴})))
63	6	sselda 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → 𝑛 ∈ ℕ)
64		vmacl 25695	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
65	63, 64	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
66	65	recnd 10669	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
67		simprr 771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
68	1, 4, 6, 9, 62, 66, 67	fsumvma 25789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)))
69		elinel2 4173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
70	69	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑝 ∈ ℙ)
71		elfznn 12937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
72	71	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
73		vmappw 25693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
74	70, 72, 73	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
75	74	sumeq2dv 15060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝))
76		fzfid 13342	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin)
77	69, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
78	77	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
79	78	nnrpd 12430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
80	79	relogcld 25206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
81	80	recnd 10669	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
82		fsumconst 15145	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
83	76, 81, 82	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
84	69, 11	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
85		hashfz1 13707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
87	86	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → ((♯‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
88	75, 83, 87	3eqtrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
89	88	sumeq2dv 15060	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝↑𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
90		pclogsum 25791	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
91	68, 89, 90	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   ≤ cle 10676  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ↑cexp 13430  ♯chash 13691  Σcsu 15042   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16015   pCnt cpc 16173  logclog 25138  Λcvma 25669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-pc 16174  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140  df-vma 25675

This theorem is referenced by:  logfac2  25793  dchrvmasumlem1  26071  vmalogdivsum2  26114  logsqvma  26118