Theorem declt 9530

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	|- A e. NN0
declt.b	|- B e. NN0
declt.c	|- C e. NN
declt.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
declt	|- ; A B < ; A C

Proof of Theorem declt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9518	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
2		declt.a	. . 3 |- A e. NN0
3		declt.b	. . 3 |- B e. NN0
4		declt.c	. . 3 |- C e. NN
5		declt.l	. . 3 |- B < C
6	1, 2, 3, 4, 5	numlt 9527	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + B ) < ( (; 1 0 x. A ) + C )
7		dfdec10 9506	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		dfdec10 9506	. 2 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
9	6, 7, 8	3brtr4i 4073	1 |- ; A B < ; A C

Syntax hints:   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   0cc0 7924   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   < clt 8106   NNcn 9035   NN0cn0 9294  ;cdc 9503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-sub 8244  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-dec 9504

This theorem is referenced by:  plendxnocndx  13017  slotsdifdsndx  13028  slotsdifunifndx  13035  imasvalstrd  13073  prdsvalstrd  13074  cnfldstr  14291