Theorem declti 9829

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declti.a	|- A e. NN
declti.b	|- B e. NN0
declti.c	|- C e. NN0
declti.l	|- C < ; 1 0

Assertion

Ref	Expression
declti	|- C < ; A B

Proof of Theorem declti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9806	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
2		declti.a	. . 3 |- A e. NN
3		declti.b	. . 3 |- B e. NN0
4		declti.c	. . 3 |- C e. NN0
5		declti.l	. . 3 |- C < ; 1 0
6	1, 2, 3, 4, 5	numlti 9828	. 2 |- C < ( (; 1 0 x. A ) + B )
7		dfdec10 9790	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	breqtrri 4158	1 |- C < ; A B

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   NNcn 9313   NN0cn0 9574  ;cdc 9787

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788

This theorem is used by:  decltdi  9830  5prm  13251  7prm  13253  11prm  13257  13prm  13258  17prm  13259  19prm  13260  23prm  13261  37prm  13263  43prm  13264  83prm  13265  139prm  13266  163prm  13267  317prm  13268  631prm  13269  1259lem5  13274  basendxnocndx  13625  basendxltdsndx  13631  dsndxnplusgndx  13633  dsndxnmulrndx  13634  slotsdnscsi  13635  dsndxntsetndx  13636  slotsdifdsndx  13637  basendxltunifndx  13641  unifndxntsetndx  13643  slotsdifunifndx  13644  setsmsdsg  15723  bpos1  16327  bposlem9  16336  basendxltedgfndx  16473