Theorem declti 9647

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declti.a	|- A e. NN
declti.b	|- B e. NN0
declti.c	|- C e. NN0
declti.l	|- C < ; 1 0

Assertion

Ref	Expression
declti	|- C < ; A B

Proof of Theorem declti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9625	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
2		declti.a	. . 3 |- A e. NN
3		declti.b	. . 3 |- B e. NN0
4		declti.c	. . 3 |- C e. NN0
5		declti.l	. . 3 |- C < ; 1 0
6	1, 2, 3, 4, 5	numlti 9646	. 2 |- C < ( (; 1 0 x. A ) + B )
7		dfdec10 9613	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	breqtrri 4115	1 |- C < ; A B

Syntax hints:   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   NNcn 9142   NN0cn0 9401  ;cdc 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611

This theorem is referenced by:  decltdi  9648  basendxnocndx  13295  basendxltdsndx  13301  dsndxnplusgndx  13303  dsndxnmulrndx  13304  slotsdnscsi  13305  dsndxntsetndx  13306  slotsdifdsndx  13307  basendxltunifndx  13311  unifndxntsetndx  13313  slotsdifunifndx  13314  setsmsdsg  15203  basendxltedgfndx  15860