Theorem plendxnn 13557

Description: The index value of the order slot is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 30-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnn	|- ( le ` ndx ) e. NN

Proof of Theorem plendxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plendx 13554	. 2 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
2		10nn 9792	. 2 |- ; 1 0 e. NN
3	1, 2	eqeltri 2311	1 |- ( le ` ndx ) e. NN

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   ` cfv 5377   0cc0 8179   1c1 8180   NNcn 9304  ;cdc 9777   ndxcnx 13349   lecple 13438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-dec 9778  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-ple 13451

This theorem is used by:  prdsex  14172  prdsval  14173  znval  14971  znbaslemnn  14974