Theorem plendxnn 13433

Description: The index value of the order slot is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 30-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnn	|- ( le ` ndx ) e. NN

Proof of Theorem plendxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plendx 13430	. 2 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
2		10nn 9727	. 2 |- ; 1 0 e. NN
3	1, 2	eqeltri 2307	1 |- ( le ` ndx ) e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2205   ` cfv 5354   0cc0 8129   1c1 8130   NNcn 9239  ;cdc 9712   ndxcnx 13226   lecple 13314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-dec 9713  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-ple 13327

This theorem is referenced by:  prdsex  13499  prdsval  13503  znval  14801  znbaslemnn  14804