Theorem decltc 9594

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	|- A e. NN0
declt.b	|- B e. NN0
decltc.c	|- C e. NN0
decltc.d	|- D e. NN0
decltc.s	|- C < ; 1 0
decltc.l	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
decltc	|- ; A C < ; B D

Proof of Theorem decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9581	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
2		declt.a	. . 3 |- A e. NN0
3		declt.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decltc.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decltc.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decltc.s	. . 3 |- C < ; 1 0
7		decltc.l	. . 3 |- A < B
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	numltc 9591	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + C ) < ( (; 1 0 x. B ) + D )
9		dfdec10 9569	. 2 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
10		dfdec10 9569	. 2 |- ; B D = ( (; 1 0 x. B ) + D )
11	8, 9, 10	3brtr4i 4112	1 |- ; A C < ; B D

Syntax hints:   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   0cc0 7987   1c1 7988   + caddc 7990   x. cmul 7992   < clt 8169   NN0cn0 9357  ;cdc 9566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567

This theorem is referenced by:  declth  9595  3decltc  9598  2expltfac  12948