Theorem decltc 9547

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	|- A e. NN0
declt.b	|- B e. NN0
decltc.c	|- C e. NN0
decltc.d	|- D e. NN0
decltc.s	|- C < ; 1 0
decltc.l	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
decltc	|- ; A C < ; B D

Proof of Theorem decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9534	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
2		declt.a	. . 3 |- A e. NN0
3		declt.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decltc.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decltc.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decltc.s	. . 3 |- C < ; 1 0
7		decltc.l	. . 3 |- A < B
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	numltc 9544	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + C ) < ( (; 1 0 x. B ) + D )
9		dfdec10 9522	. 2 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
10		dfdec10 9522	. 2 |- ; B D = ( (; 1 0 x. B ) + D )
11	8, 9, 10	3brtr4i 4080	1 |- ; A C < ; B D

Syntax hints:   e. wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956   0cc0 7940   1c1 7941   + caddc 7943   x. cmul 7945   < clt 8122   NN0cn0 9310  ;cdc 9519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-7 9115  df-8 9116  df-9 9117  df-n0 9311  df-z 9388  df-dec 9520

This theorem is referenced by:  declth  9548  3decltc  9551  2expltfac  12832