Theorem 10nn 8892

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 8879	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 8584	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 8434	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2161	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 1438  (class class class)co 5652  0cc0 7350  1c1 7351   + caddc 7353  ℕcn 8422  9c9 8480  ;cdc 8877

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-cnre 7456

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-5 8484  df-6 8485  df-7 8486  df-8 8487  df-9 8488  df-dec 8878

This theorem is referenced by:  10pos  8893  10re  8895  decnncl2  8900  declt  8904  decltc  8905  declti  8914  dec10p  8919