Theorem 10nn 9556

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 9543	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 9242	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 9085	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2281	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2178  (class class class)co 5969  0cc0 7962  1c1 7963   + caddc 7965  ℕcn 9073  9c9 9131  ;cdc 9541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-cnre 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-iota 5252  df-fv 5299  df-ov 5972  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-dec 9542

This theorem is referenced by:  10pos  9557  10re  9559  decnncl2  9564  declt  9568  decltc  9569  declti  9578  dec10p  9583  3dvds  12336  plendx  13193  pleid  13194  pleslid  13195  plendxnn  13196  imasvalstrd  13263  cnfldstr  14481